অন্তরীকরণ-৫ ( Differentiation-5 )

অনুশীলনী \(9.F\) উদাহরণ সমুহ
নিচের অব্যক্ত ফাংশনগুলি হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করঃ
\((1)\) \(\ln{xy}=x^2+y^2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{(2x^2-1)y}{(1-2y^2)x}\)

\((2)\) \(x^y=e^{x-y}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}}{(1\ln{x})^2}\)

\((3)\) \(\sqrt{x}+\sin{y}=x^2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{4x\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}\cos{y}}\)
\((4)\) \(4x^4-x^2y+2y^3=0\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2x(8x^2-y)}{x^2-6y^2}\)

\((5)\) \(x^y=y^x\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
নিচের পরামিতিক সমীকরণ হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করঃ
\((6)\) \(x=a(\theta-\sin{\theta})\) এবং \(y=a(1-\cos{\theta})\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\cot{\frac{\theta}{2}}\)

\((7)\) \(x=at^2\) এবং \(y=2at\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{t}\)

\((8)\) \(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\) এবং \(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=1\)
\((9)\) \(x=a\cos^3{\theta}\) এবং \(y=a\sin^3{\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\tan{\theta}\)

\((10)\) \(x=e^t\cos{t}\) এবং \(y=e^t\sin{t}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\sin{t}+\cos{t}}{\cos{t}-\sin{t}}\)
\((11)\) যদি \(x^yy^x=1\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)

\((12)\) যদি \(x^4+x^2y^2+y^4=1\) দ্বারা কোনো অব্যক্ত ফাংশন বর্ণিত হলে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{x(2x^2+y^2)}{y(x^2+2y^2)}\)
1 2 3 4 5