গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান (Maximum and Minimum value)

অনুশীলনী \(9.I\) উদাহরণ সমুহ
\((1.)\) \([2, 5]\) ব্যবধিতে \(f(x)=2x^2-7x+10\) ফাংশনের ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের বৈধতা যাচাই কর।

\((2.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+18x+15\) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন।

\((3.)\) দেখাও যে, \(f(x)=1-13x+6x^2-x^3\) একটি ক্রমহ্রাসমান ফাংশন।
[ যঃ২০০৯; ঢাঃ২০১২,২০০৯,২০০৪; সিঃ২০০৬; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭; বঃ২০১২; দিঃ২০১২ ]

\((4.)\) \(x\)এর মাণ কত হলে \(y=x(12-2x)^2\) ফাংশনের গুরুমান অথবা লঘুমান হবে?
উত্তরঃ \(\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩; যঃ২০০৫ ]

\((5.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-6x^2+24x+4\) এর কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
[ যঃ২০১১; বঃ২০০১ ]

\((6.)\) গুরুমান ও লঘুমানগুলি নির্ণয় করঃ \(1+2\sin{x}+3\cos^2{x}, \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\)
উত্তরঃ গুরুমান \(=4\frac{1}{3}\); লঘুমান \(=3\);
[ ঢাঃ ২০০৮; বঃ২০০১]

\((7.)\) \(y=4x(6-x)^2\) \(f(x)=e^{\tan^{-1}{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{2x}}{x}\] এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(y\) এর গরিষ্ঠমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+(2x-1)f^{\prime}(x)=0\)
[ কুঃ২০১৭]

\((8.)\) দেখাও যে, \(x=2\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2+3x\)ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।

\((9.)\) \(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\) ইহার চরমবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) ইহা কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((c)\) ইহার সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
\((d)\) ইহার লেখচিত্র অঙ্কন কর।

\((10.)\) \(f(x)=2x^3-21x^2+36x-20\) এর সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=-3\) ; সর্বনিম্ন মান \(=-128\)
[ বঃ, দিঃ, ঢাঃ২০১২; কুঃ,রাঃ ২০১৩; যঃ২০০৯, মাঃ২০১৪,২০১৫ ]
\((11.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+6x+3\) এর কোনো সর্বোচ্চ মান অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
[ সিঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১৩, মাঃ২০১৫ ]

\((12.)\) \(f(x)=3\sin^2{x}+4\cos^2{x}, 0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=4\) ; সর্বনিম্ন মান \(=3\)

\((13.)\) \((0, 9)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^3-18x^2+96x\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=160\) ; সর্বনিম্ন মান \(=128\)

\((14.)\) \(f(x)=3x^2-2x-4\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)=x^{\sin^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\((b)\) উদ্দীপকের বক্ররেখার বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ও হ্রাসপ্রাপ্ত অঞ্চল নির্ণয় পূর্বক চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\) ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়, \(x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়। লঘুমান \(=-\frac{13}{3}\)
\((c)\) বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+10y-7=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(10x-y-16=0\)

\((15.)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\tan{\theta}=\frac{a+bx}{a-bx}\)এবং দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\cos{x}\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে \(\frac{d\theta}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\((c)\) \(y=f(2\sin^{-1}{x})\) হলে, দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)

\((16.)\) \(f(x)=x^4-4x^3+4x^2+5\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =5\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =6\)

\((17.)\) দেখাও যে, \(x^3+\frac{1}{x^3}\) এর বৃহত্তম মান ক্ষুদ্রতম মান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
1 2 3 4 5 6 7