বিশেষ আকারের যোগজীকরণ-১ (Integration of spacial type-1)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • কতিপয় স্মরণীয় আকারের যোগজ
  • বিশেষ আকারের যোগজ
  • বিশেষ আকারের যোগজ নির্ণয়ের সূত্র
  • বিশেষ আকারের যোগজ নির্ণয়ের বিভিন্ন কৌশল
কতিপয় স্মরণীয় আকারের যোগজ
ক্রমিক নং যোগজীকরণের সূত্রাবলী
1 \(\int{f\{g(x)\}g^{\prime}(x)dx}=\int{f(t)dz}\)
2 \(\int{\{f(x)\}^{n}f^{\prime}(x)dx}=\frac{\{f(x)\}^{n+1}}{n+1}+c\)
3 \(\int{e^{f(x)}f^{\prime}(x)dx}=e^{f(x)}+c\)
4 \(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}dx}=2\sqrt{f(x)}+c\)
5 \(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx}=\ln{|f(x)|}+c\)
6 \(\int{\tan{x}dx}=\ln{|\sec{x}|}+c\)
7 \(\int{\cot{x}dx}=\ln{|\sin{x}|}+c\)
8 \(\int{\sec{x}dx}=\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+c=\ln{|\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}|}+c\)
9 \(\int{cosec \ {x}dx}=\ln{|cosec \ {x}-\cot{x}|}+c=\ln{|\tan{\frac{x}{2}}|}+c\)
10 \(\int{\tan{(ax+b)}dx}=\frac{1}{a}\ln{|\sec{(ax+b)}|}+c\)
11 \(\int{\cot{(ax+b)}dx}=\frac{1}{a}\ln{|\sin{(ax+b)}|}+c\)
12 \(\int{\sec{(ax+b)}dx}=\frac{1}{a}\ln{|\sec{(ax+b)}+\tan{(ax+b)}|}+c=\frac{1}{a}\ln{|\tan{\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{(ax+b)}{2}\right\}}|}+c\)
13 \(\int{cosec \ {(ax+b)}dx}=\frac{1}{a}\ln{|cosec \ {(ax+b)}-\cot{(ax+b)}|}+c=\frac{1}{a}\ln{|\tan{\frac{(ax+b)}{2}}|}+c\)

বিশেষ আকারের যোগজ
\(\int{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।

\(1.\) যদি, \(m\) অথবা \(n\) বিজোড় সংখ্যা হয় তবে,
\(1.(i)\) \(m\) বিজোড় সংখ্যা হলে, \(\cos{x}=t\) এবং
\(1.(ii)\) \(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে, \(\sin{x}=t\)
ধরে সরলীকরণ করার পর যোগজ নির্ণয় করতে হয়।

যেমনঃ
\(1.\) \(\int{\sin^{5}{x}\cos^{4}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(\int{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।

\(2.\) যদি, \(m\)এবং \(n\) উভয়ে বিজোড় সংখ্যা হয় তবে,
\(\sin{x}=t\)
ধরে সরলীকরণ করার পর যোগজ নির্ণয় করতে হয়।

যেমনঃ
\(2.\) \(\int{\sin^{5}{x}\cos^{3}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(\int{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।

\(3.\) যদি, \(m\)এবং \(n\) উভয়ে জোড় সংখ্যা হয় তবে,
এই ক্ষেত্রটি উচ্চমাধ্যমিক গণিতে আলোচনা করা হয়নি। পরবর্তি উচ্চতর শ্রেণীতে এর যথেষ্ট আলোচনা আছে।

\(\int{\sin^{n}{x}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।

\(4.(i)\) যদি, \(n\) বিজোড় সংখ্যা হয় তবে,
\(\cos{x}=t\) ধরে সরলীকরণ করার পর যোগজ নির্ণয় করতে হয়।
\(4.(ii)\) যদি, \(n\) জোড় সংখ্যা হয় তবে,
ইন্টিগ্র্যান্ডকে গুণিতক কোণে প্রকাশ করার পর যোগজীকরণ করতে হয়।

যেমনঃ
\(4.(i)\) \(\int{\sin^{7}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
যেমনঃ
\(4.(ii)\) \(\int{\sin^{6}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(\int{\cos^{n}{x}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।

\(5.(i)\) যদি, \(n\) বিজোড় সংখ্যা হয় তবে,
\(\sin{x}=t\) ধরে সরলীকরণ করার পর যোগজ নির্ণয় করতে হয়।
\(5.(ii)\) যদি, \(n\) জোড় সংখ্যা হয় তবে,
ইন্টিগ্র্যান্ডকে গুণিতক কোণে প্রকাশ করার পর যোগজীকরণ করতে হয়।

যেমনঃ
\(5.(i)\) \(\int{\cos^{5}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
যেমনঃ
\(5.(ii)\) \(\int{\cos^{4}{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
1 2 3 4 5

Leave a Reply