অংশায়ন পদ্ধতিতে যোগজীকরণ (Integration by parts)

অনুশীলনী \(10.F / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\int{x\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\sin{x}-x\cos{x}+c\)

\(Q.1.(ii)\) \(\int{x\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\sin{x}+\cos{x}+c\)

\(Q.1.(iii)\) \(\int{x\sin{3x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{9}\sin{3x}-\frac{1}{3}x\cos{3x}+c\)

\(Q.1.(iv)\) \(\int{x^2\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(2x\sin{x}+2\cos{x}-x^2\cos{x}+c\)

\(Q.1.(v)\) \(\int{x^3\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(3x^2\sin{x}+6x\cos{x}-x^3\cos{x}-6\sin{x}+c\)

\(Q.1.(vi)\) \(\int{xe^{-x}dx}\)
উত্তরঃ \(-(x+1)e^{-x}+c\)

\(Q.1.(vii)\) \(\int{x^3e^{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{8}e^{2x}(4x^3-6x^2+6x-3)+c\)

\(Q.1.(viii)\) \(\int{x^2e^{x}dx}\)
উত্তরঃ \(e^{x}(x^2-2x+2)+c\)
[ বুয়েটঃ২০১১-২০১২; সিঃ ২০১৩,২০০৯; কুঃ২০০৪ ]

\(Q.1.(ix)\) \(\int{x^2e^{-3x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{27}e^{-3x}(9x^2+6x+2)+c\)

\(Q.1.(x)\) \(\int{xe^{ax}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{a^2}e^{ax}(ax-1)+c\)

\(Q.1.(xi)\) \(\int{xe^{x}dx}\)
উত্তরঃ \(e^{x}(x-1)+c\)

\(Q.1.(xii)\) \(\int{x^3\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}x^4(4\ln{|x|}-1)+c\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\int{(\ln{|x|})^2dx}\)
উত্তরঃ \(x(\ln{|x|})^2-2x\ln{|x|}+2x+c\)\)
[ যঃ২০০৫,২০০৭ ]

\(Q.1.(xiv)\) \(\int{\frac{\ln{|x|}}{x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{x}\ln{|xe|}+c\)
\(Q.1.(xv)\) \(\int{\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(x(\ln{|x|}-1)+c\)
[ ঢাঃ২০১৭; কুঃ২০১৭,২০০৬; চঃ২০০৮,২০০৪; বঃ২০০৪ ]

\(Q.1.(xvi)\) \(\int{x\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}x^2(2\ln{|x|}-1)+c\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\int{x^2(\ln{|x|})^2dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{27}x^3\{9(\ln{|x|})^2-6\ln{|x|}+2\}+c\)
[ বুয়েতঃ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.1.(xviii)\) \(\int{x\sqrt{1+x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}x(1+x)^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{15}(1+x)^{\frac{5}{2}}+c\)

\(Q.1.(xix)\) \(\int{x\sin{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}(\sin{2x}-2x\cos{2x})+c\)

\(Q.1.(xx)\) \(\int{x^2\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x^2\sin{x}+2x\cos{x}-2\sin{x}+c\)

\(Q.1.(xxi)\) \(\int{x(\ln{|x|})^2dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}x^2\{2(\ln{|x|})^2-2\ln{|x|}+1\}+c\)

\(Q.1.(xxii)\) \(\int{\frac{\ln{(\ln{|x|})}}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{|x|}\{\ln{(\ln{|x|})}-1\}+c\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(\int{\frac{x}{\cos^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(x\tan{x}-\ln{|\sec{x}|}+c\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(\int{x\sec{x}\tan{x}dx}\)
উত্তরঃ \(x\sec{x}-\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+c\)

\(Q.1.(xxv)\) \(\int{\frac{x}{\sin^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-x\cot{x}+\ln{|\sin{x}|}+c\)

\(Q.1.(xxvi)\) \(\int{x\cos^3{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{4}(x\sin{x}+\cos{x})\frac{1}{36}(3x\sin{3x}+\cos{3x})+c\)

\(Q.1.(xxvii)\) \(\int{xe^{ax}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{a^2}e^{ax}(ax-1)+c\)
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