নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল (Area by using definite integral)

অনুশীলনী \(10.H\) উদাহরণ সমুহ
\((1.)\) সরলরেখায় চলন্ত একটি কণার বেগ \(t\) সেকেন্ড পরে \(v=3t^2+4t\) মিটার/সেঃ হলে, \(3\) সেকেন্ড পরে ত্বরণ, চতুর্থ ও পঞ্চম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ত্বরণ \(=22\) মিটার/সেঃ\(^2\); \(51\) মিটার; \(81\) মিটার;

\((2.)\) \(x^2+y^2=a^2\) সমীকরণ দ্বারা সূচিত বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pi{a^2}\) বর্গ একক।
[ বঃ২০১৩,২০০১; যঃ২০০৯; মাঃ২০০৪; বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫ ]

\((3.)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তীয়ক্ষেত্রের যে অংশ \(x=\frac{a}{2}\) জ্যা দ্বারা খন্ডিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{a^2}{12}\left(4\pi-3\sqrt{3}\right)\) বর্গ একক।

\((4.)\) \(y=\frac{1}{2}x^2+1\) বক্ররেখা এবং তার উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\) বর্গ একক।

\((5.)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তীয় ক্ষেত্রের যে অংশ ধনাত্মক, বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষ দ্বারা বেষ্টিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং তা থেকে সমগ্র উপবৃত্তীয় ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(ab\pi\) বর্গ একক।

\((6.)\) \(x^2+y^2=2ax\) এবং \(y^2=ax\) বক্ররেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}\right)\) বর্গ একক।

\((7.)\) \(y^2=4ax\) এবং \(x^2=4ay\) পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{16a^2}{3}\) বর্গ একক।
[ বঃ২০০১৫,২০১৪; দিঃ২০০৯; ঢাঃ,কুঃ২০০৮; সিঃ২০১৫,২০০৮; রাঃ২০১৩ ]

\((8.)\) \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\), \(x=3\); \(f(x)=xe^x\), \(g(x)=(x+1)^3\)
ক. \(\cot{x}=\frac{1}{9}\) হলে, \(\sec{2x}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
খ. \(\int_{0}^{3}{\frac{f(x)}{\frac{d}{dx}\{g(x)\}}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. উদ্দিপকের উপবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{41}{40}\), খ. \(\frac{1}{3}\left(\frac{e^3}{4}-1\right)\), গ. \(5\left(2\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) বর্গ একক।

\((9.)\) \(y=x-x^2\) পরাবৃত্ত এবং \(y=4x\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{9}{2}\) বর্গ একক।

\((10.)\) \(y=x(x-1)^2\) বক্ররেখা, \(y\) অক্ষ এবং \(y=2\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ স্থানের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{10}{3}\) বর্গ একক।
\((11.)\) \(f(x)=\sin{x}\) একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।
ক. উদ্দীপকের ফাংশনটির দ্বারা ১ম চতুর্ভাগে উৎপন্ন একটি লুপের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ. \( 4f(x)[1-\{f(x)\}^2]\) ফাংশনটির \(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\) ব্যবধিতে লঘু মাণ ও গুরুমান নির্ণয় কর।
গ. \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) ব্যবধিতে \(\int{e^xf(x)dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(2\) বর্গ একক;
খ. \(0, \frac{8}{3\sqrt{3}}\);
গ. \(\frac{1}{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}}+1\right)\).

\((12.)\) \(x^2+y^2=50\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(f(x)=x+\frac{1}{x}\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় তা নির্ণয় কর।
খ. \(y=x\) রেখা উদ্দীপকের বৃত্তকে ১ম চতুর্ভাগে যে বিন্দুতে ছেদ করে উক্ত বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. উদ্দীপকের বৃত্তটি \(x\) অক্ষের উপরে যে অংশ আবদ্ধ করে উক্ত অংশের ক্ষেত্রফল যোগজের সাহায্যে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-1>x\) ও \(x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়; \(1>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়;
খ. \(x+y-10=0\);
গ. \(25\pi\).

\((13.)\) \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) রেখা এবং \(x\) অক্ষ ও \(y\) অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}ab\) বর্গ একক।

\((14.)\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pi{r^2}\) বর্গ একক।
[ রুয়েটঃ২০০৫-২০০৫; বঃ২০০১; মাঃ২০০৪; যঃ২০০৯ ]

\((15.)\) দেখাও যে, \(y^2=4x\) প্যারাবোলা এবং \(y=2x-4\) রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল \(9\) বর্গ একক।

\((16.)\) দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=x+6\)
দৃশ্যকল্প-২: \(g(x)=x^2\)

ক. \(\int{\frac{1}{e^x+e^{-x}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\frac{xdx}{f(x)\{g(x)+4\}}}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. \(g(x)\) বক্ররেখা এবং \(f(x)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\tan^{-1}{(e^x)}+c\)
খ. \(-\frac{3}{20}\ln{|x+6|}+\frac{3}{40}\ln{|x^2+4|}+\frac{1}{20}\tan^{-1}{\frac{x}{2}}+c\);
গ. \(\frac{125}{6}\) বর্গ একক।
1 2 3 4 5 6

Leave a Reply