সীমা বা লিমিট (limit)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • সীমা বা লিমিটের ধারণা।
  • সীমা বা লিমিটের সংজ্ঞা।
  • লিমিটের সাহায্যে ঢালের ধারণা।
  • লেখ চিত্রের সাহায্যে ফাংশনের সীমা।
  • একদিকবর্তী লিমিটের ধারণা।
  • কতিপয় বিশেষ সীমার বর্ণনা।
  • অসীম লিমিটের ধারণা।
  • সীমার ধর্মাবলী ও ব্যখ্যা।
  • সীমার সাহায্যে ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা ও অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা।
সীমা
Limmit
আমরা প্রায়শই বলে থাকি সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অতিক্রম কর না, ফাজলামোর একটা সীমা (limit) আছে। এখানে ফাংশনের সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সম্পর্কে বলা হচ্ছে অর্থাৎ ফাংশনেরও সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। আছে। একটি ফাংশনে দুই বা ততোধীক চলক ব্যবহৃত হয়। উচ্চমাধ্যমিক গণিতে দুই চলক বিশিষ্ট ফাংশন আলোচনা করা হয়েছে। এই দুইটি চলকের একটি স্বাধীন চলক এবং অপরটি অধীন। \(y=f(x)\) ফাংশনে \(x\) স্বাধীন চলক এবং \(y\) অধীন। চলকেরও সীমা (limit) চলকের লিমিটঃ যদি \(x\) চলকের মাণ একটি ধ্রূবক \(a\) অপেক্ষা উভয় দিক হতে অর্থাৎ ছোট অথবা বড় হয়ে ক্রমশ \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে এত নিকটবর্তী হয় যে, \(x\) ও \(a\)-এর পার্থক্য অর্থাৎ \(|x-a|\) যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা \(\delta\) হতে ক্ষুদ্রতর অর্থাৎ \(\delta>|x-a|\) হয়, তবে \(a\) কে \(x\)-এর লিমিট বা সীমা বলা হয় এবং \(x\)-এর মাণ কে \(x\rightarrow a\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। আছে। স্বাধীন চলক \(x\)-এর সীমা (limit) চলকের লিমিটঃ যদি \(x\) চলকের মাণ একটি ধ্রূবক \(a\) অপেক্ষা উভয় দিক হতে অর্থাৎ ছোট অথবা বড় হয়ে ক্রমশ \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে এত নিকটবর্তী হয় যে, \(x\) ও \(a\)-এর পার্থক্য অর্থাৎ \(|x-a|\) যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা \(\delta\) হতে ক্ষুদ্রতর অর্থাৎ \(\delta>|x-a|\) হয়, তবে \(a\) কে \(x\)-এর লিমিট বা সীমা বলা হয় এবং \(x\)-এর মাণ কে \(x\rightarrow a\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(x\rightarrow a\) এবং অধীন চলক \(y\)-এর সীমা (limit) \(y\rightarrow b\)। তেমনিভাবে স্বাধীন চলকের সীমার (limit) সাপেক্ষে \(f(x)\)-এর সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। কোনো ফাংশনের মূল নিয়মে অন্তরজ নির্ণয় করতে সীমার (limit) ভুমিকা অপরিহার্য। একটি ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা ও অবিচ্ছিন্নতা দেখাতে সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ব্যবহার করা হয়। গণিত বিশ্লেষণে লিমিট বা সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। একটি মৌলিক ধারণা। বিশেষ করে কোনো ফাংশনের অন্তরকলন বিদ্যার ভিত্তি হচ্ছে লিমিট বা সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

Continue Reading →

অন্বয় ও ফাংশন-২ (Relation and Function-2)

mybarcode
অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) যদি, \(f(x)=x^2+ax+b\) এবং \(f(1)=1, f(2)=2\) হয়, তাহলে \(f(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(f(3)=5\) Continue Reading →

অন্বয় ও ফাংশন-১ (Relation and Function-1)

mybarcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • অন্বয় ও ফাংশনের উৎস।
  • অন্বয় ও ফাংশনের সংজ্ঞা।
  • ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ।
  • এক-এক ফাংশন, সার্বিক ফাংশন, সংযোজিত ফাংশন, অভেদ ফাংশন, স্থির ফাংশন ও বিপরীত ফাংশনের উদাহরণসহ ব্যাখ্যা।
  • ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন, বৈশিষ্ট ও ব্যাখ্যা।
  • ফাংশনের ও রূপান্তিরিত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন এবং তাদের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়।
  • ফাংশন ও তার বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন ও তুলুনা।
  • ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পর্যায় নির্ণয়।
  • বিভিন্ন ফাংশনের লেখচিত্র।
  • ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখচিত্র।
  • ফাংশন বিষয়ক সমস্যা ও তার সমাধান।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং তার সমাধান
  • ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমুহ এবং তার সমাধান
ফাংশন
Function
straight3

Rene Descartes
(১৫৯৬-১৬৫০)
প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে (Rene Descartes) আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন ।
প্রাত্যহিক জীবনের প্রায় সবক্ষেত্রেই আমরা ফাংশন ব্যাবহার করে থাকি। ছাইকেলে, মটর ছাইকেলে, বাসে ও ট্রেনে উঠে যাতায়াত করে থাকি, এই বিষয়গুলি ফাংশন। মোট কথা যান্তিক বিষয়গুলি এক একটি ফাংশন। ফাংশনের আবিধানিক অর্থ হলো অপেক্ষক। তাহলে এখানে অপেক্ষা করার বিষয় আছে। একজন অন্য এক বা একাধিক জনের অপেক্ষা করছে এটি ফাংশন। দুই বা ততধিক চলকের মধ্যে অধীন চলক যখন স্বাধীন চলকের উপর নির্ভরশীল হয় তখন এই প্রক্রিয়াকে ফাংশন বলে। আমরা জানি বায়বীয় পদার্থের উপর তাপ প্রয়োগ করলে এর আয়তন বেড়ে যায়, এখানে আয়তন তাপমাত্রার উপর নির্ভরশীল, ফলে এই আয়তন বেড়ে যাওয়ার বিষটি ফাংশন। আধুনিক যুগের আসীর্বাদ কম্পিটার ব্যবহারের ক্ষেত্রে যে এপ্লিকেশন সফটয়ারগুলি ব্যবহার হয় এগুলি অনেকগুলি ফাংশনের সমন্বয়ে তৈরী। এবার আসা যাক গণিত জগতে ফাংশনের আবির্ভাব ও অবদানের বিষয়টিতে। ফাংশন গণিত জগতে এক বিস্ময়কর আসীর্বাদ। ফাংশনকে গণিত জগতে এভাবে নিয়ে আসার পিছনে যাদের অক্লান্ত শ্রম ও নিরলস প্রচেষ্টা রয়েছে তাদের মধ্যে কয়েক জনের নাম না উল্লেখ করলে নয় যেমন: ওরাসমstraight3ওরাসম (Nicole Oresme)(১৩২০-১৩৮২)(Nicole Oresme)(১৩২০-১৩৮২),পণটিstraight3পণটি(Lorenzo da Ponte) (১৭৪৯-১৮৩৮)(Lorenzo da Ponte)(১৭৪৯-১৮৩৮),লিবনিজstraight3লিবনিজ(gottfried leibniz)(১৬৪৬-১৭১৬)(gottfried leibniz)(১৬৪৬-১৭১৬),জোহান বার্ণোলীstraight3জোহান বার্ণোলী(johann bernoulli)(১৬৬৭-১৭৪৮)(johann bernoulli) (১৬৬৭-১৭৪৮),এলেক্সিস ক্লাইড ক্লাইরটstraight3এলেক্সিস ক্লাইড ক্লাইরট(Alexis Claude Clairaut)(১৭১৩-১৭৬৫) (Alexis Claude Clairaut)(১৭১৩-১৭৬৫),ডিমরগানstraight3ডিমরগান(Augustus De Morgan)(১৮০৬-১৮৭১)(Augustus De Morgan) (১৮০৬-১৮৭১), জর্জ ক্যান্টরstraight3জর্জ ক্যান্টর(George Cantor) (১৮৪৫-১৯১৮) (George Cantor) (১৮৪৫-১৯১৮), ডিরিচলেট straight3ডিরিচলেট (Peter Gustav Lejeune Dirichlet)(১৮০৫-১৮৫৯)(Peter Gustav Lejeune Dirichlet) (১৮০৫-১৮৫৯),লুবাচেভস্কিstraight3লুবাচেভস্কি (Nikolai Lobachevsky)(১৭৯২-১৮৫৬)(Nikolai Lobachevsky)(১৭৯২-১৮৫৬)ও হার্ডিstraight3হার্ডি(Thomas Hardy)(১৮৪০-১৯২৮) (Thomas Hardy)(১৮৪০-১৯২৮) অন্যতম। প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে straight3প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । (Rene Descartes)(১৫৯৬-১৬৫০) আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । গটফ্রেড লিবনীজ (gottfried leibniz) ১৬৭৩ খ্রিস্টাব্দে প্রথম “ফাংশন” সব্দটি ব্যবহার করেন এবং ১৬৯৩ খ্রিস্টাব্দে তিনিই ফাংশনের গ্রহণযোগ্য সংজ্ঞা দেন। পরবর্তীকালে ডিরিচলেট ১৮৩৭ খ্রিস্টাব্দে ফাংশনের একটি সংজ্ঞা লিখেন। এই সঙ্গাকে ফাংশনের আধুনিক সংজ্ঞা হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

Continue Reading →

অধিবৃত্ত-২ (Hyperbola-2)



mybarcode

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q.4.(i)\) \((m) 3y^2-10x-12y-18=0\)
\((n)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px \) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
\((b)\) \((m)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) \((b) (-3, 2); \left(-\frac{13}{6}, 2\right); y-2=0; 6x+23=0\) \((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0; x-y+2=0; \sqrt{2} \). Continue Reading →