১। \(\overrightarrow{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overrightarrow{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{R}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
ক. \(\overrightarrow{P}\) বিন্দুগামী এবং \(\overrightarrow{Q}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. দেখাও যে, \(\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}\) ভেক্টরটি \(\overrightarrow{P}\) এবং \(\overrightarrow{Q}\) ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টরের সাথে লম্ব। ৪
গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত ভেক্টরগুলির \(\hat{i}, \ \hat{j}, \ \hat{k}\) -এর সহগ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স \(A\) হলে \(A^{-1}\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(A(2, 4), \ B(3, 1), \ C(4, 5); \ 2x-y+2=0, \ x-2y+3=0\)

ক. \(y\) অক্ষ এবং \((k, 4)\) বিন্দু থেকে \(A(2, 4)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে \(k\) এর মাণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(C\) বিন্দু থেকে \(AB\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণের সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(f(x)=x^2+3x, \ g(x)=2x-3\) এবং \(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & 1 & -1 \\ \ \ 2 & 3 & \ \ 4 \\-4 & 5 & \ \ 6 \end{bmatrix}\)
ক. নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান করঃ \(x+3y+2=0, \ 2x+y+3=0\) ২
খ. \(f(A)+1\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(gof(x)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। ৪
সমাধান

৪। \(x^2+y^2+6x+8y+21=0, \ x^2+y^2=9, \ x+y=6\)
ক. উদ্দীপকের ১ম বৃত্তের \(x^2, \ y^2, \ x\) এবং \(y\)এর সহগগুলি একত্রে ব্যবহার করে কতটি সংখ্যা গঠন করা যায়? ২
খ. দেখাও যে, উদ্দীপকের বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে \( \left(-\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right)\) বিন্দুতে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। ৪
গ. উদ্দীপকের ১ম বৃত্ত ও রেখাটির ছেদবিন্দুগামী এবং ২য় বৃত্তের কেন্দ্রগামী বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষ থেকে খন্ডিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫।

ক. \(x\) এর সাপেক্ষে \(x^3\sin{(\ln x)}\)এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের সাহায্যে মাণ নির্ণয় করঃ \(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}-2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}\) ৪
গ. উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(f(x)=\frac{1}{\sin{x}}, \ g(x)=\frac{1}{\tan{x}}, \ h(x)=x\)
ক. মাণ নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 2}\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}\] ২
খ. মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(\frac{f(x)}{g(x)}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. দেখাও যে, \(h(x)+\frac{1}{h(x)}\) এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। ৪
সমাধান

৭। \(f(x)=\frac{\ln{x}}{x^2+1}.....(i)\)
\( g(x)=x^2+1 ...(ii)\)
ক. \(\int{\left(\sin{\frac{x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}}\right)^2dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \((i)\) বক্ররেখার \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\int_{0}^{1} f(x)g(x)dx\) এর মাণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1, \ x=3; \ f(x)=xe^{x}; \ g(x)=(x+1)^3\)
ক. \(\cot{x}=\frac{1}{9}\) হলে \(\sec{2x}\)এর মাণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int_{0}^{3} \frac{f(x)}{\frac{d}{dx}\{g(x)\}}dx\)এর মাণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দিপকের উপবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান