১। \(A=\begin{bmatrix}4 & 2 \\3 & 5\end{bmatrix}; \ B=\begin{bmatrix}6 \\1 \end{bmatrix}\) এবং \(X=\begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix}\)
ক. \(P\)-এর মাণ কত হলে \(\begin{bmatrix}P-2 & 3 \\4 & 5\end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে, \(A^2-5A+6I\)-এর মাণ নির্ণয় কর যেখানে \(I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}\) ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে, \(AX=B\) হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে \(x, y\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। দৃশ্যকল্প-১: \(MUJIBNAGAR\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}, \ x\in \mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\)
ক. \(^nC_{3}=\frac{4}{5}\times ^nC_{2}\) হলে \(n\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১: এর আলোকে শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে না থাকে। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২: হতে দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\) ৪
সমাধান

৩। দৃশ্যকল্প-১: \(x-2y+1=0\)
দৃশ্যকল্প-২: \(\overrightarrow{P}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}; \ \overrightarrow{Q}=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\)
ক. \((1, 2)\) এবং \((3, 6)\) বন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখাকে যে বন্দু \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১: দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২: এর সাহায্যে \(\left(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\right)\) বরাবর \(\overrightarrow{Q}\)-এর উপাংশ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। দৃশ্যকল্প-১: \(x^2+y^2+3x-5y+6=0; \ x+2y+1=0\)
দৃশ্যকল্প-২: \(4x-3y-7=0\)
ক. \(3x^2+3y^2-12x+15y-6=0\) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। ২
খ. একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরুত্ব \((1, 2)\) বিন্দু হতে \(5\frac{1}{2}\) একক। ৪
সমাধান

৫। দৃশ্যকল্প-১:

দৃশ্যকল্প-২: \( \sin C+\sin D=p\)
\(\cos C+\cos D=q\)
ক. \(\tan \theta=\frac{b}{a} \) হলে \(\frac{a\cos \theta+b\sin \theta}{a\cos \theta-b\sin \theta}\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, \(\sin \frac{C-D}{2}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{4-p^2-q^2}\) ৪
সমাধান

৬। দৃশ্যকল্প-১: \(ABC\) ত্রিভুজে \(a=\sqrt{3}b\) এবং \(A=2B\)
দৃশ্যকল্প-২: \( \ln y=bz\)
ক. \[\lim_{x \rightarrow 0}(cosec x-\cot x)\]-এর মাণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে \(ABC\) ত্রিভুজের কোণগুলো নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \(\cos z=x\) হলে প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=b^2y\) ৪
সমাধান

৭। \(f(x)=x^3-9x^2+24x-12, \ \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{12-16x^2}}\) এবং \(\psi(x)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)\)
ক. \(x\)-এর সাপেক্ষে \(x^x\)-এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে \(f(x)\)-এর লঘিষ্ট ও গরিষ্ট মাণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে নির্ণয় করঃ \((i) \int \phi(x)dx; \ (ii) \int{\psi(x)dx}\) ৪
সমাধান

৮। দৃশ্যকল্প-১: \(f(\theta)=\cos^3 \theta\)
\(g(\theta)=\sin \theta\)
দৃশ্যকল্প-২: \( x^2+y^2=36\)
ক. \(\int \frac{dx}{1+e^x}\) নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় করঃ \((i) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+g(\theta)} \ d\theta\)
\((ii) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)\sqrt[3]{g(\theta)} \ d\theta\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর। ৪
সমাধান