১। \(x+y+z=1 .......(i)\)
\(lx+my+nz=k .......(ii)\)
\(l^2x+m^2y+n^2z=k^2 .......(iii)\)
ক. \(2\begin{bmatrix}1 & -2\\2 & -1\end{bmatrix}+F=I_{2}\) হলে, \(F\) ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। যেখানে, \(I_{2}\) একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স। ২
খ. সমীকরণগুলোকে \(AX=B\) আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, \(det(A)=(l-m)(m-n)(n-l)\) ৪
গ. \(x, y, z\) এর সহগ নিয়ে গঠিত \(A\) ম্যাট্রিক্স। \(A\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর। যেখানে, \(l=1, \ m=2, \ n=-1\) ৪
সমাধান

২। \(SYLHET\) থেকে \(BANDARBAN\) এ \(10\) জন শিক্ষার্থীর একটি দল শিক্ষাসফরে আসল। তাদেরকে দুইটি গাড়িতে ভ্রমণ করতে হবে, যার একটিতে \(7\) জনের বেশী ও অন্যটিতে \(4\) জনের বেশী শিক্ষার্থী ধরে না।
ক. \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \((gof)(2)\) নির্ণয় কর। ২
খ. দেখাও যে, ২য় স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা ১ম স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যার \(21\) গুণ। ৪
গ. দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে? ৪
সমাধান

৩।
চিত্রেঃ \(G, \ \triangle{ABC}\) এর ভরকেন্দ্র ; \(D, \ BC\) এর মধ্যবিন্দু, \(EB\perp{BC}\)
ক. \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ২
খ. দেখাও যে, \(G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। ৪
গ. \(\angle{EBC}\) এর সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪।

ক. \(\overline{P}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}, \ \overline{Q}=3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, দেখাও যে, \(\overline{P}+\overline{Q}\) এবং \(\overline{P}-\overline{Q}\)পরস্পর লম্ব। ২
খ. এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(C, E\) ও \(F\) বিন্দু দিয়ে যায়। ৪
গ. বৃত্তটির \(AB\) স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। দৃশ্যকল্প-১ : \(\triangle{XYZ}\) এ \(\cos{X}=\sin{Y}-\cos{Z}\).
দৃশ্যকল্প-২ : \(\sqrt{1+n}\tan{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{1-n}\tan{\frac{\beta}{2}}\)
ক. প্রমাণ কর যে, \(\tan{75^{o}}=2+\sqrt{3}\) ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, \(\cos{\beta}=\frac{\cos{\alpha}-n}{1-n\cos{\alpha}}\) ৪
সমাধান

৬। \(\angle{E}+\angle{F}=65^{o}, \ \angle{F}-\angle{E}=25^{o}\)
ক. \(\tan{\beta}=\frac{1}{3}\) হলে, \(\sin{2\beta}\) এর মাণ নির্ণয় কর। ২
খ. দেখাও যে, \(2\sin{\left(\pi+\frac{F}{4}\right)}=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\) ৪
গ. দেখাও যে, \(\tan{\angle{E}}\tan{2\angle{E}}\tan{3\angle{E}}\tan{4\angle{E}}=3\) ৪
সমাধান

৭। \(f(x)=x^{\tan^{-1}{x}}; \ g(x)=\log_x{a}; \ h(x)=\sqrt{a+b\cos{x}}\)
ক. \[\lim_{y \rightarrow 0}\frac{1-\cos{y}}{y}\] এর মাণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(f(x)\) এবং \(g(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(y=h(x)\) হলে, দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=a^2\) ৪
সমাধান

৮। \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}, \ H(x)=\frac{xe^x}{(x+1)^2}\)
ক. \(y=(x-2)(x+1)\) বক্ররেখার \(x=2\)বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর। ২
খ. দেখাও যে, \(F(x)\) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর। ৪
গ. \(\int_{0}^{1}H(x)dx\) এর মাণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান