১। \(A=\begin{bmatrix}\ \ 1 & 2 & -3\\-2 & 1 & \ \ 0\end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}-1 & 2 \\-3 & 7 \\ \ \ 5 & 0\end{bmatrix}\), \( C=\begin{bmatrix}5 & \ \ 1 \\1 & -3\end{bmatrix}, \ D=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 \\0 & -2 & \ \ 2\\1 & \ \ 2 & \ \ \ 3\end{bmatrix}\)
ক. \(x\) এর যেসব মানের জন্য \(\begin{bmatrix}x^2 & 2x \\5 & 3\end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্স ব্যতিক্রমী হবে তা নির্ণয় কর। ২
খ. \(AB-C^2+2I_{2}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(D^{-1}\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(5x-4y-1=0\) ও \(-8x+7y+1=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু স্টেশনমাস্টারের কক্ষে অবস্থিত। \(4x+3y-5=0\)রেখা বরাবর রেল পথের একটি লাইন অবস্থিত।
ক. \((-1, 2)\) এবং \((3, -5)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. রেললাইনের সাথে \(3x-4y+6=0\) রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্ণকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। একটি রিক্সার সামনের চাকা \(x^2+y^2-2x-1=0\)সমীকরণ দ্বারা সূচিত।
ক. মূলবিন্দুগামী যে রেখা \(2x+5y+6=0\) রেখার উপর লম্ব তার সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. প্রমাণ কর যে, রিক্সার চাকার একটি স্পর্শক \(x+y+1=0\) ৪
গ. \(x\)অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা চাকাটির কেন্দ্র ও \((3, 0)\) বিন্দুগামী হবে। ৪
সমাধান

৪। প্রসিদ্ধ পদার্থবিজ্ঞানী Issac Newton ১৭৪২ সালে England এ জন্মগ্রহণ করেন।
ক. \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \) অঙ্কগুলো হতে \(3\) দ্বারা বিভাজ্য নয় এরূপ অঙ্কগুলোর মধ্য হতে \(4\) টি করে অঙ্ক কতভাবে বছাই করা যায়। ২
খ. দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বিজ্ঞানীর নামের শেষ অংশের বিন্যাস সংখ্যা নামের প্রথম অংশের বিন্যাস সংখ্যার \(6\) গুণ। ৪
গ. দৃশ্যকল্পে বিজ্ঞানীর জন্মভূমির নামের বর্ণগুলি থেকে পাঁচটি বর্ণ নিয়ে কতগুলি বিন্যাস গঠন করা যায়? ৪
সমাধান

৫। \(A=\frac{2\pi}{15}, \ \alpha +\beta +\gamma=\pi\) এবং \(\cos{\alpha}=\cos{\beta}+\cos{\gamma}\)
ক. প্রমাণ কর যে, \(\cos{2p}=\frac{1-\tan^2{p}}{1+\tan^2{p}}\) এর মাণ বের কর। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \(16\cos{A}\cos{2A}\cos{4A}\cos{7A}=1\) ৪
গ. উদ্দীপক থেকে দেখাও যে, \(\tan{\alpha}=\tan{\beta}+\tan{\gamma}\) ৪
সমাধান

৬। দৃশ্যকল্প-১ঃ \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) দুইটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(\triangle{ABC}\) এ \(A+B+C=\pi\)
\(\triangle{ABC}\) এর পরি ব্যসার্ধ \(R\)
ক. যদি \(\triangle{PQR}\) এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(p, q, r\) এবং \(p^2+q^2-r=\sqrt{2}pq\) হয় তবে \(R\) কোণের মাণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে \(\cos{(x+y)}\) এর মাণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(\sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin^2{C}=2\sin{A}\cos{B}\sin{C}\) ৪
সমাধান

৭। \(y=4x(6-x)^2\) এবং \(f(x)=e^{\tan^{-1}x}\)
ক. \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{2x}}{x}\] এর মাণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(y\) এর গরিষ্ঠ মাণ নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+(2x-1)f^{\prime}=0\) ৪
সমাধান

৮। \(u=e^{x}\) এবং \(4x^2+9y^2=36\)
ক. দেখাও যে, \(\int \ln{x}dx=x\ln{x}-x+c\) ২
খ. \(\int_{0}^{\ln{2}} \frac{u}{1+u}dx\)এর মাণ নির্ণয় কর। ৪
গ. যোগজীকরণের সাহায্যে প্রদত্ত উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান