১। \( f(x)=x-1\) যেখানে, \(x\in \mathbb{R}\)
ক. \(-2\lt{2-f(x)}\lt{8}\) অসমতাকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর। ২
খ. \(f(x)\lt{\frac{1}{10}}\) হলে, দেখাও যে, \(|f(x).f(x+2)|<\frac{21}{100}\) ৪
গ. \(|3f(x)-1|\lt{2}\) অসমতাকে সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও। ৪
সমাধান

২। যদি \(f(x)=ax^2+bx+c\) এবং \(g(x)=cx^2+bx+a\) হয়, তবে-
ক. \(f(x)=0\)-এর মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর। ২
খ. \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় যথাক্রমে \(\alpha, \beta\) হলে দেখাও যে, \((a\alpha+b)^{-3}+(a\beta+b)^{-3}=\frac{b^3-3abc}{a^3c^3}\) ৪
গ. \(f(x)=0\)-এর একটি মূল \(g(x)=0\)সমীকরণের একটি মূলের দ্বিগুণ হলে, দেখাও যে, \(2a=c\) অথবা \((2a+c)^2=2b^2\) ৪
সমাধান

৩। \(f(x)=\left(2-\frac{3}{x}\right)^{15}\)
ক. \(n=4\)-এর জন্য প্যাসকেলের ত্রিভুজ আঁক। ২
খ. \(f(x)\) -এর বিস্তৃতিতে কততম পদ \(x\) বর্জিত এবং পদটির মাণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(f(x)\) -এর বিস্তৃতিতে মদ্যপদ দুইটির পার্থক্য নির্ণয় কর যখন \(x=1\) ৪
সমাধান

৪। দৃশ্যকল্প-১: \(\sec^{-1}\frac{5}{3}+\cot^{-1}\frac{11}{5}+\sin^{-1}\frac{16}{65}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(\sqrt{3}\sin \theta=2+\cos \theta\)
ক. দেখাও যে, \(2\tan^{-1} x=\sin^{-1}\frac{2x}{1+x^2}\) ২
খ. দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-১ এর মাণ \(\frac{\pi}{2}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২-এর সমাধান কর যখন \(-2\pi <\theta\lt{2}\pi\) ৪
সমাধান

৫। \(16x^2+25y^2=400\)
ক. এমন একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((0, 2\sqrt{2})\) ও \((-3, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়। ২
খ. উৎকেন্দ্রিকতাসহ উদ্দীপকের কণিকটির শীর্ষদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, ফোকাস ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ নির্ণয় কর। ৪
গ. চিত্র অঙ্কনপূর্বক উদ্দীপকের কণিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বদ্বয় ও নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬।

ক. \(100N\) ও \(70N\) মানের দুইটি বলের লব্ধি কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করে। এদের মধ্যবর্তী কোণের পরিমান \(62^{o}\) হলে, বল দুইটির লব্ধির মাণ ও দিক নির্ণয় কর। ২
খ. \(P\) কে \(R+3\) এবং \(Q\) কে \(S+2\) পরিমাণে বৃদ্ধি করলেও লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে। আবার \(P, Q\)-এর পরিবর্তে যথাক্রমে \(Q, (R+3)\) ক্রিয়া করলেও লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে। প্রমাণ কর যে, \(R=S+\frac{(Q-R-3)^2}{P-Q}+1\) ৪
গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত বলদ্বয়ের সমতলে \(x\) দূরত্বের ব্যবধানে \(R\) মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল প্রয়োগ করা হলো। প্রমাণ কর যে, এদের লব্ধি \(\frac{xR}{P+Q}\) দূরত্বে সরে যাবে। ৪
সমাধান

৭।

ক. সচারচর সংকেতমালায় প্রমাণ কর যে, \(v=u+ft\) ২
খ. স্থিরাবস্থা হতে একটি ট্রেন \(A\) স্টেশন হতে \(4\) মিনিটে \(B\) স্টেশনে গিয়ে থামে। যদি উহা পথের প্রথম অংশ \(x\) সমত্বরনে এবং দ্বিতীয় অংশ \(y\) সমমন্দনে চলে তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\) যখন \(S=2\) ৪
গ. যদি দুইটি রেলগাড়ি \(A\) ও \(B\) -এর বিপরীত দিক হতে \(u_{1}\) ও \(u_{2}\) গতিবেগে অগ্রসর হওয়ার সময় একে অপরকে দেখতে পায় তখন তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(x\) । সংঘর্ষ এড়ানোর জন্য রেলগাড়ি দুইটি সর্বোচ্চ মন্দন যথাক্রমে \(a_{1}\) ও \(a_{2}\) প্রয়োগ করে। তাহলে দেখাও যে, কোনো রকমে সংঘর্ষ এড়ানো সম্ভব যদি \(u_{1}^2a_{2}+u_{2}^2a_{1}\le 2a_{1}a_{2}\) হয়। ৪
সমাধান

৮। \(S=\{1, 2, 3, ......., 50\}\)
ক. তিনটি মুদ্রা নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্র তৈরি কর। ২
খ. \(S\)-এর যেকোনো একটি সংখ্যা \(3\) অথবা \(5\) -এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা নির্ণয় কর। ৪
গ. \(S\)-এর জোড় সংখ্যাগুলোর ভেদাংক নির্ণয় কর। ৪
সমাধান