১। \(f(x)=ax+by+c, \ g(x)=lx+my+n\)
ক. \(\frac{1}{3}>|2x-1|\) এর সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও। ২
খ. উদ্দীপকে \(a=1, \ b=c=0, \ \frac{1}{11}>|f(x)-1|\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{23}{121}>|\{f(x)\}^2-1|\) ৪
গ. \(a=1, \ b=-1, \ c=2, \ f(x)\ge{0}, \ l=1, \ m=1, \ n=-4, \ g(x)\ge{0}\) এবং \(x, \ y\ge{0}\) হলে, \(z=x+2y\) এর সর্বোচ্চ মাণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(z_{1}=2+3i, \ z_{2}=1+2i, \ a=p\omega^2+q+r\omega\) এবং \(b=p\omega+q+r\omega^2\) যেখানে \(\omega\) এককের ঘনমূলগুলোর একটি জটিল ঘনমূল।
ক. \(\frac{1}{2-i}\) এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে \(\overline{z_{1}-z_{2}}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকের সাহায্যে \( a^3+b^3=0\) হলে প্রমাণ কর যে, \(2p=q+r\) এবং \(2r=p+q\) ৪
সমাধান

৩। \(z=\alpha+\beta{i}\) যেখানে \(\alpha\) ও \(\beta\) বাস্তব সংখ্যা।
ক. \(\frac{x^3-8}{x-2}\) বহুপদীর ঘাত নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকে \(\alpha=2, \ \beta=\sqrt{3}\) হলে \(z\) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকে \(\beta=0\) এবং \(\alpha^5\) ও \(\alpha^{15}\) এর সহগ পরস্পর সমান হলে \(\left(2z^2+\frac{R}{z^3}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতি থেকে \(R\) এর মাণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(f(x)=\sin{x}, \ g(x)=\cos{x}, \ \sin{\theta}=\frac{4}{5}\)
ক. \(cosec^{-1}{\sqrt{5}}+\sec^{-1}{\frac{3}{\sqrt{10}}}\) এর মাণ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমণ কর যে, \(\sec^{-1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\theta-\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\tan^{-1}{2}\) ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে সমাধান কর \(\sqrt{3}g(x)+f(x)=\sqrt{3}\) ৪
সমাধান

৫। \(S^{'}\) এর স্থানাঙ্ক \((7, 3)\) এবং \(A\)বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 3)\)
ক. \(y^2=32x\) পরাবৃত্তস্থ কোন বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(10\); বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের \(S\) ও \(A\) যথাক্রমে উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু ধরে একটি কণিকের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(=1\) ৪
গ. উদ্দীপকের \(SA\) রেখাংশকে বৃহদাক্ষ ধরে কণিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ৪
সমাধান

৬।
করিম \(O\) বিন্দু হতে অনুভূমিকের সাথে \(45^{o}\) কোণে বন্দুকের গ্যলি করল। রহিম একই সময়ে স্থিরাবস্থা \(O\) হতে দৌড়ে \(20\) সেকেন্ডে \(200\) মিটার দূরে অবস্থিত একটি খাড়া দেওয়ালের পাদদেশ \(B\) বিন্দুতে থামে। রহিম যাত্রাপথের \(OA\) অংশ \(a\) সমত্বরণে এবং \(AB\) অংশ \(b\) সমমন্দনে যায়। অপরদিকে গুলিটি দেয়ালের ঠিক উপর দিয়ে গেল এবং দেয়ালের অপর পার্শে \(y\) দূরত্বে \(C\) বিন্দুতে পড়ল।
( এখানে দেয়ালের পুরুত্ব অগ্রায্য করা হয়েছে )
ক. একটি নৌকা \(10\) কি. মি. বেগে চলে \(6\) কি. মি. বেগে প্রবাহিত \(500\) মিটার চওড়া একটি নদী পাড়ি দিতে চায়। নৌকাটির ন্যূনতম পথে নদীটি পাড়ি দিতে কত সময় লাগবে। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\) ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, দেওয়ালের উচ্চতা \(=\frac{200y}{200+y}\) ৪
সমাধান

৭।
\(P, \ Q, \ R\) বলত্রয় \(\triangle{XYZ}\) এর লম্বকেন্দ্র হতে যথাক্রমে \(YZ, \ ZX\) ও \(XY\) বাহুর উপর লম্বভাবে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় থাকে। আবার বলত্রয় যথাক্রমে \(X, \ Y, \ Z\) বিন্দুতে সদৃশ সমান্তরালভাবে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধি ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্রে ক্রিয়া করে।
ক. " দুইটি সমান বলের লব্ধি তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে "- উক্তিটির সত্যতা যাচাই কর। ২
খ. উদ্দীপকের বলত্রয়ের সাম্যাবস্থায় থাকার ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(P:Q:R=x:y:z\) ৪
গ. উদ্দীপকের বলত্রয় সদৃশ সমান্তরালভাবে ক্রিয়া করার ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(P:Q:R=x:y:z\) ৪
সমাধান

৮। উপাত্তঃ

রং এর নাম	বলের সংখ্যা
সাদা	\(3\)
কালো	\(6\)
লাল	\(7\)
সবুজ	\(5\)
হলুদ	\(4\)
বেগুনি	\(9\)
নীল	\(8\)

ক. দুইটি নির্ভশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্র প্রতিপাদন কর। ২
খ. উদ্দীপকের বলগুলো একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে \(1\) টি করে বল দৈব্যভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাংক নির্ণয় কর। ৪
সমাধান