১। \(M=\begin{bmatrix} \ 2 & 1 & 1 \\-1 & 2 & 0 \\ \ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}\)
ক. \(f(x)=\frac{x^2-3}{x-\sqrt{3}}\) ফাংশনের রেঞ্জ নির্ণয় কর। ২
খ. \(M^{-1}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(M^{t}X=\begin{bmatrix}-1 \\ \ \ 0 \\ \ \ 2 \end{bmatrix}\) হলে নির্ণায়ক পদ্ধতিতে সমাধান কর। ৪
সমাধান

২। \(3x+2y-6=0\) এবং \(2x+3y-8=0\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।
ক. \(r\)-এর মাণ কত হলে \(\overrightarrow{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+r\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{B}=-\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে। ২
খ. উদ্দীপকে বর্ণিত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী এবং উভয় অক্ষের ধনাত্মক দিক থেকে সমান অংশ ছেদ করে, এইরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকে বর্ণিত রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক রেখা \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩।

ক. \(AC\) জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকে বর্ণিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(C\)বিন্দু হতে \(x^2+y^2-6x-8y+9=0\) বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(THESIS\) শব্দটিতে ছয়টি বর্ণ আছে।
ক. সম্পূরক সমাবেশ ব্যাখ্যা কর। ২
খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত শব্দটির স্বরবর্ণগুলো একত্রে না রেখে কতভাবে সাজানো যায় বের কর। ৪
গ. দেখাও যে, উদ্দীপকের শব্দটি হতে প্রতিবার \(4\) টি করে অক্ষর নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা \(11\) ৪
সমাধান

৫। দৃশ্যকল্প-১: \(f(\theta)=\frac{1+\cos^2{\theta}}{\cos{\theta}}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(g(x)=\cos x\)
ক. \(\sin^2{\alpha}-\cos{\alpha}=0\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\tan^4{\alpha}-\sec^2{\alpha}=0\) ২
খ. দৃশ্যকল্প-১: \(f(\theta)=\frac{5}{2}\) হলে দেখাও যে, \(\cos^n \theta+\sec^n \theta=2^n+2^{-n}\) ৪
গ. \(-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}\) ব্যবধিতে \(g(3x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। ৪
সমাধান

৬। দৃশ্যকল্প-১: \(\triangle ABC\) এ \(\cos A+\cos B=\sin C\).
দৃশ্যকল্প-২: \(\sqrt{2}\cos A-\cos B=\cos^3 B\) এবং \(\sqrt{2}\sin A+\sin^3 B=\sin B\)
ক. প্রমাণ কর যে, \(\tan{70^{o}}=\tan{20^{o}}+2\tan{50^{o}}\) ২
খ. দৃশ্যকল্প-১: হতে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২: হতে প্রমাণ কর যে, \( cosec (A-B)=\pm 3\) ৪
সমাধান

৭। \(g(x)=\sqrt{x}\) একটি বীজগণিতীয় ফাংশন।
ক. \(\theta\)-এর সাপেক্ষে \(\theta^{o}\sin \theta^{o}\)-এর অন্তরজ বের কর। ২
খ. \(\frac{2\ln{g(x)}}{\{g(x)\}^2}\) ফাংশনের সর্বোচ্চ মাণ বের কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(g(x)+g(y)=g(b)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক কতৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল \(b\) ৪
সমাধান

৮। \(f(x)=x^2 \) একটি কনিকের সমীকরণ।
ক. সমাকলন করঃ \(\int{\ln{x}dx}\) ২
খ. যোজক নির্ণয় করঃ \(\int \frac{dx}{f(x)\left(\sqrt{f(x)}+1\right)}\) ৪
গ. দেখাও যে, \(f(x)\) এবং \(x-y=0\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{6}\) বর্গ একক। ৪
সমাধান