১। \(A=\begin{bmatrix}2 & \ \ \ 3 & -1 \\2 & \ \ \ 0 & \ \ \ 2 \\1 & -2 & \ \ \ 0 \end{bmatrix}\)
\(f(t)=t^2-3t+2\)
সমীকরণ জোটঃ
\(x+y+z=6\)
\(x-2y+2z=3\)
\(2x+y-z=1\)
ক. বিস্তার না করে প্রমাণ কর যে,
\(\left|\begin{array}{c}xy(x+y) & yz(y+z) & zx(z+x)\\ xy & yz & zx\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=xyz\left|\begin{array}{c}x+y & y+z & z+x\\ 1 & 1 & 1\\ z & x & y\end{array}\right|\) ২
খ. \(f(A)\) নির্ণয় কর। ৪
গ. সমীকরণজোটটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান কর। ৪
সমাধান

২।

ক. \(A(1, 5, 2)\) এবং \(B(2, -3, 4)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(AB\) রেখাংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার কেন্দ্র \(AB\) রেখার উপর এবং যা মূলবিন্দু ও \(x^2+y^2-4x-8y-5=0\) বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। ৪
সমাধান

৩। \(NAMITA\) তার ক্লাসে জার্মান পদার্থবিদ \('EINSTEIN'\) এর থিওরি অব রিলেটিভিটি সম্পর্কে আলোচনা করে।
ক. \(^{2n+1}P_{n+1}:^{2n}P_{n+2}=5:2\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের দ্বিতীয় নামটির স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়? ৪
গ. উদ্দীপকের প্রথম নামটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার \(4\) টি বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়? ৪
সমাধান

৪। দৃশ্যকল্প-১ঃ \(g(x)=\frac{x+2}{5x-1}, \ \left(x\ne{\frac{1}{5}}\right)\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(f(x)\sqrt{-x^2-6x+16}\)
ক. \(P:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, P(x)=x^2-2x+3 \) এবং \(Q:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, Q(x)=2x-3 \) হলে, \(P_{O}Q(4)\) নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর ক্ষেত্রে, এক-এক ও সার্বিক ফাংশন যাচাইপূর্বক \(g^{-1}(x)\) নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এ \(y=f(x)\) বক্ররেখাটির প্রকৃতি নির্ণয়পূর্বক তার স্কেচ অঙ্কন কর। ৪
সমাধান

৫। দৃশ্যকল্প-১ঃ
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(f(x)=\cos{x}\)
ক. দেখাও যে, \(\tan{65^{o}}=\tan{25^{o}}+2\tan{40^{o}}\) ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(49\pi\) হলে, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে \(0\le{x}\le{\pi}\) ব্যবধিতে \(f(2x)\) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। ৪
সমাধান

৬। \(K=\cos{P}+\cos{R}.\)
ক. প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sqrt{3}}{\sin{20^{o}}}-\frac{1}{\cos{20^{o}}}=4\) ২
খ. \(P+Q+R=\pi\) হলে, দেখাও যে, \(K-1+\cos{Q}=4\sin{\frac{P}{2}}\sin{\frac{Q}{2}}\sin{\frac{R}{2}}\) ৪
গ. \(K=\sin{Q}\) হলে, দেখাও যে, \(PQR\) ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ। ৪
সমাধান

৭। \(f(x)=\cos^{-1}{2x}.\)
ক. \(e^{\sin{\{f(x)\}}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ২
খ. \(\ln{y}=f(x)\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-4x^2)y_{2}-4xy_{1}-4y=0\) ৪
গ. \(\int{xf(x)dx}\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(g(x)=\sin{x}, \ f(x, y)=x^2+y^2-16\)
ক. \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{g(x)}-1}{g(x)}\] নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\{g(x)\}^5\left\{\sqrt{1-\{g(x)\}^2}\right\}^4dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. \(f(x, y)=0\) বক্ররেখা এবং \(x=2\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান