১। \(f(x)=x-2\)
ক. \(-1\le{f(x)}\le{11}\) অসমতাটি পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর। ২
খ. \(\frac{f(x)}{f(x+2)}\gt\frac{f(x+3)}{f(x+4)}\) সমতার সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও। ৪
গ. \(z=p+iq\) হলে, \(|f(z+6)|+|f(z-2)|=10\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। দৃশ্যকল্প-১ঃ \(z=3x+4y\)
শর্তসমূহঃ \(x+y\le{450}, \ 2x+y\le{600}, \ y\le{400}, \ x, y\ge{0}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(y^2+y+1=0\)
ক. \(5i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে লেখচিত্রের সাহায্যে \(z\) এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির মূলদ্বয় \(p, \ q\) হলে, দেখাও যে,
\(p^{m}+q^{n}=\begin{cases} \ \ 2, \ \text{যখন} \ m \ \text{এর মান } \ 3 \ \text{দ্বারা বিভাজ্য।} \\-1, \ \text{যখন} \ m \ \text{অপর কোনো পূর্ণ সংখ্যা।} \end{cases}\) ৪
সমাধান

৩। \(\phi(x)=lx^2+mx+n.\)
ক. \(x^3+x^2+4x+4=0\) সমীকরণের একটি মূল \(2i\) হলে, সমীকরণটি সমাধান কর। ২
খ. \(\phi(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(a, \ b\) হলে, \(nl(x^2+1)+(2nl-m^2)x=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়কে \(a, \ b\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ৪
গ. \(l=42, \ m=-13, \ n=1\) হলে, \(\{phi(x)\}^{-1}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{99}\) এর সহগ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(f(x)=\tan{x}\)
ক. দেখাও যে, \(\tan^{-1}\frac{5}{3}=\frac{\pi}{2}-\cos^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.\) ২
খ. প্রম্মাণ কর যে, \(\tan^{-1}\{(2+\sqrt{3})f(x)\}+\tan^{-1}\{(2-\sqrt{3})f(x)\}=\tan^{-1}\{2f(2x)\}.\) ৪
গ. সমাধান করঃ \(f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\cos{x}+\sin{x}\) ৪
সমাধান

৫।

ক. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}+1=0\) কণিকের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ২
খ. \(O\) কে উপকেন্দ্র এবং \(AB\) কে শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক ধরে অঙ্কিত পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(O\) কে কেন্দ্র এবং \(AB\) কে নিয়ামক ধরে অঙ্কিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ৪
সমাধান

৬। দৃশ্যকল্প-১ঃ
\(O\) হলো বৃত্তটির কেন্দ্র।
ক. \(S\) মানের দুইটি সমান বল পরস্পর \(120^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত হলে, এদের লব্ধির মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(X, \ Y, \ Z\) বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, \(X:Y:Z=a\cos{A}:b\cos{B}:c\cos{C}.\) ৪
গ. যদি \(X, \ Y, \ Z\) মানের বলত্রয় যথাক্রমে \(A, \ B, \ C\) বিন্দুতে সদৃশ সমান্তরালভাবে ক্রিয়া করে, তবে এদের লব্ধি \(O\) বিন্দুগামী হয়। দেখাও যে, \(X \ cosec \ 2A=Y \ cosec \ 2B=Z \ cosec \ 2C.\) ৪
সমাধান

৭। দৃশ্যকল্প-১ঃ আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে নিক্ষিপ্ত একটি বস্তু নিক্ষেপণ বিন্দু হতে যথাক্রমে \(q\) ও \(p\) দূরত্বে অবস্থিত \(p\) ও \(q\) উচ্চতাবিশিষ্ট দুইটি দেয়াল কোনো রকমে অতিক্রম করে।
দৃশ্যকল্প-২ঃ

ক. দেখাও যে, সমমানের দুইটি একবিন্দুগামী বেগের লব্ধি এদের অন্তর্গত কোণকে সমান দুইভাগে বিভক্ত করে। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্লা \(R\) হলে, দেখাও যে, \(R(p+q)=p^2+pq+q^2.\) ৪
গ. একখানা রেলগাড়ি \(A\) স্টেশন হতে ছেড়ে \(D\) স্টেশনে গিয়ে থামে। গাড়িখানা \(AB\) অংশ সমত্বরণে, \(CD\) অংশ সমমন্দনে এবং \(BC\) অংশ সমবেগে চলে। প্রমাণ কর যে, উহার গড়বেগ ও সর্বোচ্চ বেগের অনুপাত \(1:\left(1+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right).\) ৪
সমাধান

৮। \(20\) ওভারের একটি ইনিংসে একটি দলের অভারপ্রতি অর্জিত রান সংখ্যা নিম্নরূপঃ
\(5, \ 3, \ 9, \ 2, \ 1, \ 7, \ 8, \ 5, 11, \ 13, \ 4, \ 7, \ 8, \ 6, \ 13, \ 11, \ 1, \ 7, \ 9, \ 10\)
ক. একটি বাক্সে \(5\) টি নীল ও \(10\) টি কালো মার্বেল আছে। একজন বালক যেমন খুশি টানলে প্রতিবারে দুইটি একই রঙের মার্বেল পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত? ২
খ. উদ্দীপকের সংখ্যাগুলোর গাণিতিক গড় হতে প্রাপ্ত গড় ব্যবধান নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকের সংখ্যাগুলো হতে দৈবভাবে একটি সংখ্যা বাছাই করলে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা \(3\) এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা নির্ণয় কর। ৪
সমাধান