১। \(Z\) একটি জটিল সংখ্যা এবং \(f(x)=5x+1\)
ক. \(S=\left\{x:x\in{\mathbb{R}}, \ -9\lt{f(x)}\lt{16}\right\}\) এর সুপ্রিমাম নির্ণয় কর। ২
খ. \(\frac{1}{|f(x)|}\gt{\frac{1}{9}}, \ x\ne{-\frac{1}{5}}\) সমাধান করে সংখ্যারেখায় উপস্থাপন কর। ৪
গ. \(|2Z+3|=|3Z+1|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(x^2+px+q=0, \ p,q\ne{0}\) এর মূলদ্বয় \(u\) এবং \(v\)
\(2x^3-9x^2+14x-5=0\) এর একটি মূল \(2-i.\)
ক. \(x^2-2mx+8m-15=0\) এর মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, \(m\) এর মান কত? ২
খ. দেখাও যে, \(qx^2+px+1=0\) এর মূলদ্বয় \(\frac{1}{u}\) এবং \(\frac{1}{v}\) ৪
গ. উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণের বাস্তব মূল এবং \(\frac{1}{4}\) মূলবিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(f(x)=a+bx\)
ক. \(\left(y^2-2+\frac{1}{y^2}\right)^8\) এর পদসংখ্যা কত? ২
খ. \(a=1, \ b=-2\) হলে, \(\{f(x)\}^{2m}\) এর মধ্যপদ নির্ণয় কর যেখানে, \(m\in{\mathbb{N}}\) ৪
গ. \(b=2\) এর জন্য \(\{f(x)\}^{m}\) এর প্রথম তিনটি পদ \(k, \ \frac{10}{3}kx\) এবং \(\frac{40}{9}kx^2\) হলে, \(a, \ k\) এবং \(m\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(f(x)=\sin^{-1}{x}\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
ক. \(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\) এর মান কত? ২
খ. \(f\left\{\sqrt{2}g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}+f\left\{\sqrt{g(2\theta)}\right\}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. সমাধান করঃ \(\sqrt{3}g(x)+g\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=1;\) যখন, \(-2\pi\lt{x}\lt{2\pi}\) ৪
সমাধান

৫।

ক. \(y^2-2x^2=2\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা কত? ২
খ. \(A\) এবং \(S\) কে যথাক্রমে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র ধরে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(S\) এবং \(S^{\prime}\) উপকেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\) ৪
সমাধান

৬। \(P\) ও \(Q\) দুইটি বল যেখানে, \(P\gt{Q}.\)
ক. যদি \(P,\ Q, \ R\) বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকে এবং \(\sqrt{2}P=\sqrt{2}Q=R\) হয় তবে \(P,\ Q\) এবং \(R,\ P\) এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর। ২
খ. যদি উদ্দীপকে উল্লেখিত বলগুলো সমবিন্দুগামী হয় এবং উহাদের লব্ধি অন্তর্ভুক্ত কোণকে সমত্রিখন্ডিত করে তবে বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ ও লব্ধি নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত বলদ্বয়ের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধি যথাক্রমে \(F\) ও \(G\) হয় এবং উহারা পরস্পর একটি বিন্দুতে \(\alpha\) কোণে ক্রিয়াশীল হয় তবে বল দুইটির লব্ধিকে \(F, \ G\) ও \(\frac{\alpha}{2}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ৪
সমাধান

৭। একটি ট্রেন এক স্টেশন হতে যাত্রা শুরু করে \(t\) মিনিট পর \(s\) কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে অপর একটি স্টেশনে থামে। ট্রেনটি যাত্রার প্রথম অংশ \(x\) সমত্বরণে এবং দ্বিতীয় অংশ \(y\) সমমন্দনে চলে।
ভূমি থেকে প্রক্ষিপ্ত একটি ক্রিকেট বল প্রক্ষিপ্ত বিন্দু হতে যথাক্রমে \(\frac{1}{b}\) এবং \(\frac{1}{a}\) দূরে অবস্থিত \(\frac{1}{a}\) এবং \(\frac{1}{b}\) উচ্চতায় দুইটি দেওয়াল কোনোরকমে অতিক্রম করে।
ক. সমতলে একটি বস্তুকণা যদি \(u\) আদিবেগে \(a\) সমত্বরণে \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে তাহলে \(t\) তম সময়ে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে? ২
খ. উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{t^2}{2s}\) ৪
গ. উদ্দীপক হতে দেখাও যে, অনুভুমিক পাল্লা, \(R=\frac{a+b}{ab}-\frac{1}{a+b}\) ৪
সমাধান

৮। একটি কলেজের দ্বাদশ শ্রেণির \(55\) জন ছাত্রের উচ্চতর গণিতের ফলাফল নিম্নরূপঃ

প্রাপ্ত নম্বর	ছাত্রসংখ্যা	গ্রেড
\(50-59\)	\(5\)	\(B\)
\(60-69\)	\(10\)	\(A^{-}\)
\(70-79\)	\(15\)	\(A\)
\(80-89\)	\(20\)	\(A^{+}\)
\(90-99\)	\(5\)	\(A^{+}\)

ক. একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্র তৈরি কর। ২
খ. উদ্দীপকের নিবেশনটির ভেদাংক নির্ণয় কর। ৪
গ. দৈবচয়নে একজন ছাত্রকে বেছে নেওয়া হলে ছাত্রটির \(A\) এবং \(A^{+}\) না পাওয়ার সম্ভাব্যতা নির্ণয় কর। ৪
সমাধান