১। দৃশ্যকল্পঃ \(\begin{cases}x+y+z=3\\x+ay+a^2z=1\\x+a^2y+a^4z=m\end{cases}, C=\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 0 \end{bmatrix}\),
\(f(x)=x^2+3x-7\)
ক. প্রমাণ করঃ \(\left|\begin{array}{c}x+y & 3(y+z) & z+x\\ 1 & 3 & 1\\ z & 3x & y\end{array}\right|=0\) ২
খ. সমীকরণগুলোকে \(AX=B\) আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, \(Det(A)=a(a-1)^2(a^2-1)\) ৪
গ. \(f(C)\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। দৃশ্যকল্পঃ \(A=\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 0 & \ \ \ 2\\ -2 & 2 & -2\\ -2 & 1 & -6\end{bmatrix}, \ B=A^{-1}, \ C=\begin{bmatrix} \ \ \ 3\\ -2 \\ -7\end{bmatrix},\) \(X=\begin{bmatrix}x\\ y \\ z\end{bmatrix}\)
ক. \(\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & \ \ \ 7 & 10 \\-7 & \ \ \ 0 & 15 \\-10 & -15 & 0 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম কিনা যাচাই কর। ২
খ. \(B\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(AX=C\) হলে, \(x, \ y, \ z\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। দৃশ্যকল্পঃ
\(OA-OB=3\)
ক. \((-2, 3)\) ও \((1, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(3:2\) অনুপাতে বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর। ২
খ. \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(CD\) এর সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((4, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। দৃশ্যকল্পঃ \(3x+8y-24=0\)
ক. দৃশ্যকল্পের রেখাটির উপর লম্ব এবং \((3, 8)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. প্রদত্ত রেখাটির অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দু ও মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকের রেখা এবং \(8x+3y+48=0\) রেখার অন্তর্ভুক্ত স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডক দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। দৃশ্যকল্পঃ \(f(x)=\sin{x}\)
ক. \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-f(x)}{f^{\prime}(x)}\] এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. মূল নিয়মে \(f\left(\frac{\pi}{2}-7x\right)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(y=\sqrt{8+5f(2x)}\) হলে, \(y^2\frac{d^2y}{dx^2}+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+2y^2\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। দৃশ্যকল্পঃ \(f(z)=\frac{1}{3}z^3-\frac{13}{2}z^2+42z+1\)
\(g(x, \ y)=x^2-2y^2-7\)

ক. \(x\) এর সাপেক্ষে \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{10x}{1+25x^2}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ২
খ. \(g(x, \ y)=0\) বক্ররেখার \((3, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(f(x)\) ফাংশনটির গুরুমান এবং লঘুমান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। দৃশ্যকল্পঃ \(g(x)=\cot^{-1}{(x-1)}, \ f(x)=x\)
ক. \(\int{\frac{dx}{\sqrt{25x^2-36}}}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int{f(x)g(x)dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\int{\frac{f(x)}{\{f(x)-1\}\{f(x^2)+1\}}dx}\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। দৃশ্যকল্পঃ \(f(y)=y,\) \(g(x,y)=x^2+y^2-225\)
ক. \(\int{\ln{7x}}dx\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int_{0}^{8}{f(x^2)\sqrt{64-f(x^2)}}dx\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(g(x,y)=0\) দ্বারা \(x\) অক্ষের উপরিভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান