১। \(\blacktriangleright \ A=\begin{bmatrix}1+m & 2 & 3 \\2 & 3+m & 1 \\3 & 1 & 2+m \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix}6 \\0 \\8 \end{bmatrix}\)
ক. প্রমাণ কর যে, \(\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\ 1 & p & p^2\\ 1 & p^2 & p^4 \end{array}\right|=p(p-1)^2(p^2-1)\) ২
খ. \(m=0\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(AB=C\) হলে নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর, যখন \(m=1\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(P=\begin{bmatrix}1+x^2-y^2 & 2xy & 2y \\2xy & 1-x^2+y^2 & -2x \\-2y & 2x & 1-x^2-y^2 \end{bmatrix}\)
এবং \(f(x)=x^3-3x+2I\)
ক. \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}0 & \ \ \ 2 \\1 & \ \ \ 2 \\0 & -1 \end{bmatrix}\) হলে, \(BA\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(Det(P)=0\) হলে প্রমাণ কর যে, \(x^2+y^2=-1\) ৪
গ. \(x=1, \ y=2\) হলে, \(f(P)\) নির্ণয় কর, যেখানে \(I\) একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\)
\(AB\) রেখার সমীকরণ \(x+y=4, \ C, \ AB\) এর মধ্যবিন্দু।
ক. \(AB\) রেখা \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর। ২
খ. \(E\) বিন্দুগামী \(AB\) এর সমান্তরাল সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
গ. \(O\) বিন্দু এবং \(EC\) রেখার সমত্রিখন্ডন বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\)

ক. \(4x-3y+2=0\) এবং \(8x-6y-9=0\) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর। ২
খ. \(P,\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(CD\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(AE\) এবং \(CD\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\tan{x}\)
ক. \(y=\sin{\left\{2\tan^{-1}{\sqrt{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}}\right\}}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(3x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(y=f(x)+\sqrt{f^{\prime}(x)}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((1-\sin{x})y_{2}-y=0\) ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\tan^{-1}{x}\) এবং \(2g(x)=2\sin{x}+\sin{2x}\)
ক. \(y= cosec^{-1}{\frac{1+x^2}{2x}}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(y=\tan{\{mf(x)\}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)y_{2}+2xy_{1}=2myy_{1}\) ৪
গ. \(0\lt{x}\lt{\pi}\) ব্যাবধিতে \(g(x)\) ফাংশনটির চরমমান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\sin{x}-\cos{x}\)
\(g(x)=x^4\)
ক. \(\int{\{f(x)\}^2dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int{\frac{1-f(x)}{1+f(x)}dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{g(\cos{\theta})d\theta}=\frac{3\pi}{32}+\frac{1}{4} \) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=x^2\)
ক. \(\int{\frac{5e^{2x}}{1+e^{4x}}dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int{\left[\frac{1+\{f(x)\}^2}{1+f(x)}+\frac{1}{f(x)+\sqrt{f(x)}+1}\right]dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\int_{1}^{2}{\left[\sqrt{f(x)}e^{f(x)}+\frac{\{f(x)-1\}^2}{f(x)}\right]dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান