১। \(\blacktriangleright\) \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & \ \ \ 4 \\2 & 2 & \ \ \ 3 \\4 & 3 & -5 \end{bmatrix}, \ f(x)=x^2-x+3\)
ক. \(P=\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & \ \ \ 3 \\-3 & -3 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(P\) একটি শূন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স। ২
খ. \(f(A)\) নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(A^{-1}.A=I_{3}\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(A=\begin{bmatrix}p & q & r \\p^2 & q^2 & r^2 \\p^3 & q^3 & r^3 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}2 & 2 & -1 \\4 & 2 & -3 \\1 & 4 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix}5 \\ 1 \\ 6 \end{bmatrix}\) এবং \(X=\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}\)

ক. \(\left(\begin{array}{c}-a & \ \ \ 6\\ \ \ \ 2 & -a+1\end{array}\right)\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে \(a\) এর মান বের কর। ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(|A|=pqr(p-q)(q-r)(r-p)\) ৪
গ. ক্রেমারের সূত্র ব্যবহার করে \(BX=C\) সমীকরণ জোটটি সমাধান কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\)

ক. একটি ত্রিভুজের দুইটি কৌনিক বিন্দুর স্থানাংক \((-3, 4)\) এবং \((5, 2)\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাংক \((1, 4)\) হলে তৃতীয় কৌনিক বিন্দুর স্থানাংক বের কর। ২
খ. \(C\) হতে \(AB\) এর উপর অংকিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর। ৪
গ. দেখাও যে, \((1, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) এর সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখা দুটি পরস্পর লম্ব। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\)
এখানে \(AP=BP\)
ক. \((0, -3)\) ও \((5, 0)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল এবং \((3, 5)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(Q\) বিন্দু হতে \(AB\) রেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর। ৪
গ. \(Q\) বিন্দুগামী এবং \(P\) বিন্দু হতে \(2\) একক দূরবর্তী রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\sin{x}\) এবং \(g(x)=\sqrt{x}\)
ক. প্রমাণ কর যে, \(\int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\sin^{-1}{\frac{x}{a}}+c\) যেখানে \(c\) একটি সমাকলিত ধ্রুবক। ২
খ. মূল নিয়মে \(\frac{f(2x)}{f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. দেখাও যে, \(\frac{2\ln{\{g(x)\}}}{\{g(x)\}^2}\) ফাংশনের সর্বোচ্চ মান \(\frac{1}{e}\) ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) \(f(x, y)=x^2+px+y^2, \ g(x)=\tan^{-1}{x}\)
ক. \(x^{\frac{1}{x}}\) এর অন্তরজ বের কর। ২
খ. দেখাও যে, \(f(x, y)=0\) বক্ররেখার যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলি \(x\) অক্ষের উপর লম্ব, সে সকল বিন্দুর স্থানাংক \((0, 0)\) এবং \((-p, 0)\) ৪
গ. \(\tan^{-1}{y}=ng(x)\) হলে প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)y_{2}-2(ny-x)y_{1}=0\) ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\sin{x}\)
ক. \(\frac{d}{dx}\left\{\ln{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\right\}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int{\frac{d\theta}{1+3\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}^{2}}}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. দেখাও যে, \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\{1+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right\}^2f(x)dx}=\frac{7}{3}\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) \(P(x)=4x+3, \ Q(x)=x\)
ক. \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}\] নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int{\frac{dx}{(2x+1)\sqrt{P(x)}}}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. ক্যালকুলাসের সাহায্যে \(4\{Q(x)\}^{2}+9\{Q(y)\}^{2}=36\) বক্ররেখাটির দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান