১। \(f(x)=ax^2+bx+c, \ g(x)=px^2+qx+r.\)
ক. \(x-\frac{1}{x}=k\) এর একটি মূল \(\sqrt{5}-2\) হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, \(a^2x^2-(b^2-2ac)x+c^2=0\) সমীকরণের মূলোদ্বয়কে \(\alpha\) ও \(\beta\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ৪
গ. যদি \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদুইটির অনুপাত \(g(x)=0\) সমীকরণের মূলদুইটির অনুপাতের সমান হয়, তাহলে দেখাও যে, \(b:q=\sqrt{6}:\sqrt{35}\) যখন \(a=2, \ c=3, \ p=5, \ r=7.\) ৪
সমাধান

২। \(px^2+qx+1=0 .........(1)\)
\(x^3-11x^2+47x-85=0 .........(2)\)
ক. \(m\) এর মান কত হলে, \((m-1)x^2-(m+2)x+4=0\) সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে? ২
খ. \((1)\) সমীকরণের মূলদুইটি \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে দেখাও যে, \((p\alpha+q)^{-3}+(p\beta+q)^{-3}=\frac{q(q^2-3p)}{p^3}.\) ৪
গ. \((2)\) সমীকরণের মূলগুলি \(5, \ \alpha\) ও \(\beta\) হলে, \(\alpha+\frac{1}{\beta}\) এবং \(\beta+\frac{1}{\alpha}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(f(x)=cosec \ x-\cot{x}, \ g(x)=\sin{x}.\)
ক. দেখাও যে, \(cosec \ {\sin^{-1}{\tan{\sec^{-1}{\frac{x}{y}}}}}=\frac{y}{\sqrt{x^2-y^2}}.\) ২
খ. \(f(\theta)=\frac{3}{4}\) দেখাও যে, \(\theta=\pm\sin^{-1}{\left(\frac{24}{25}\right)}.\) ৪
গ. \(g(5\theta)-\sqrt{3}g(\theta)=g(3\theta)\) সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(f(x)=\cos{x}, \ A=\sec^{-1}{\frac{2}{x}}, \ B=\sec^{-1}{\frac{3}{y}}.\)
ক. সমাধান করঃ \(\tan{2x}-\tan{x}=0.\) ২
খ. সমাধান করঃ \(\sqrt{2}f(x)-\sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1;\) যখন \(-\pi\lt{x}\lt{\pi}.\) ৪
গ. দেখাও যে, \(A+B=\frac{\pi}{2}\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। ৪
সমাধান

৫।

ক. \(3x-2y+5=0\) রেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে \(a\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ঃ এ \(SS^{\prime}=4\sqrt{3}\) এবং \(ZZ^{\prime}=14\sqrt{3}\) হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ঃ হতে পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(f(x)=ax^2+bx+c\)
ক. \(3x^2+5y^2=1\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২
খ. (y=f(x)\) সমীকরণটি একটি পরাবৃত্ত হলে পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র নির্ণয় কর। যখন \(a=3, \ b=12, \ c=5.\) ৪
গ. \(a=0, \ b=3, \ c=5.\) ধরে \(y=f(x)\) সমীকরণটি কোনো অধিবৃত্তের নিয়ামক রেখা হলে অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-3, 1)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}.\) ৪
সমাধান

৭।

ক. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(Q\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(20N\) যা \(P\) বলের সাথে লম্ব। \(Q\) এর মান \(25N\) হলে \(P\) এর মান কত? ২
খ. চিত্র-১ঃ এ বলগুলির ক্রিয়ারেখা কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলির সমান্তরাল বরাবর হলে, তাদের লব্ধির মান নির্ণয় কর। ৪
গ. চিত্র-২ঃ এ \(AB\) সুতার \(A\) প্রান্ত একটি খাড়া দেওয়ালে আটকানো এবং গোলকটির ওজন \(W\) হলে \(AB\) সুতাটির টান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। দৃশ্যকল্প-১ঃ একটি কাঁঠাল গাছের তিনটি ডালের \(A, \ B, \ C\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(8 kg, \ 7 kg\) ও \(5 kg\) ওজনের তিনটি কাঁঠাল ঝুলছে।
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(AB=15\) মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি হালকা তক্তা দুইটি খুঁটির উপর অনুভূমিকভাবে অবস্থিত। \(A\) ও \(B\) প্রান্তে যথাক্রমে \(24 kg\) ও \(32 kg\) ওজনের দুইজন বালক ঝুলছে।
ক. \(3N, \ 7N\) ও \(5N\) বলত্রয় একটি বস্তুর উপর ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করলে \(3N\) ও \(5N\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ঃ এ কাঁঠালগুলোর ওজনের লব্ধি \(ABC\) ত্রিভুজের লম্ববিন্দুগামী হলে দেখাও যে, \(\cos{A}:\cos{B}:\cos{C}=35:50:28\) যেখানে \(a=4, \ b=5, c=2.\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ঃ এ খুঁটি দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(AB\) এর একতৃতীয়াংশ হলে খুঁটি দুইটির অবস্থান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান