১। দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=x^4-3x^3-11x^2+23x-10\)
দৃশ্যকল্প-২: \(g(x)=x^3-3x^2-8x+30\)
ক. \(x^2+5x+3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\frac{1}{\beta}-\frac{1}{\alpha}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \(g(x)=0\) সমীকরণের একটি মূল \(3+i\) হলে, অপর মূলগুলি নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে \(f(x)=0\) সমীকরণের একটি মূল \(1\) এবং অপর মূলগুলি \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে, \(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\) নির্ণয় কর । ৪
সমাধান

২। দৃশ্যকল্পঃ \(f(x)=ax^2+bx+c, \ a\ne{0}\) একটি দ্বিঘাত ফাংশন।
ক. \(a=1, \ b=-2, \ c=1\) হলে, \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্পের আলোকে \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(cx^2-\left(\frac{b^2}{a}-2c\right)x+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্পে \(a=1, \ b=-2n, \ c=n^2-m^2\) হলে এমন একটি সমীকরণ গঠন কর যার মূলদ্বয়, \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল ও অন্তরফলের যোগবোধক মান হবে। ৪
সমাধান

৩। \(N=\tan^{-1}\left(cosec\tan^{-1}x-\tan\cot^{-1}x\right)\) এবং \(f(\theta)=\cos{\theta}\)
ক. যদি \(x=\frac{1}{2}\cos^{-1}\frac{3}{4}\) হয়, তবে \(\tan{x}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দেখাও যে, \(N=\frac{1}{2}\tan^{-1}x.\) ৪
গ. সমাধান করঃ \(f(\theta)+f(2\theta)+f(3\theta)=0\) যখন, \(-2\pi\le{x}\le{2\pi}\) ৪
সমাধান

৪। দৃশ্যকল্প-১: \(g(x)=\sin{x}.\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\cos^{-1}{x}.\)
ক. \(\cot^{-1}x+\cot^{-1}y=\frac{\pi}{2}\) হলে, দেখাও যে, \(xy=1\) ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ থেকে সমাধান করঃ \(2g(\pi-x)g(3x)=1,\) যখন, \(0\le{x}\le{2\pi}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২: এ \(f(x)+f(y)+f(z)=\pi\) হলে দেখাও যে, \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\) ৪
সমাধান

৫। দৃশ্যকল্প-১: তিনটি বিন্দু \(P(-1,3), \ Q(4,3), \ R(1,-1)\)
দৃশ্যকল্প-২: একটি সরলরেখার সমীকরণ, \(x-2y+2=0\)
ক. \(4x^2+5y^2=1\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর \(P(-1,3)\) ও \(Q(4,3)\) বিন্দুকে যথাক্রমে উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু ধরে, একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্পের সরলরেখাটিকেনিয়ামক রেখা এবং \(R\) বিন্দুকে উপকেন্দ্র ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ৪
সমাধান

৬। দৃশ্যকল্প-১: \(5x^2+9y^2-30x=0.\)
দৃশ্যকল্প-২: একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \((8,3)\) ও \((16,3)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(4\)
ক. \(\left(\sqrt{3}\sec{\theta}, 2\tan{\theta}\right)\) পরামিতিক স্থানাঙ্কবিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(W\) ওজনের বস্তুটি দুইটি সুতার সাহায্যে বেঁধে ঝুলিয়ে সাম্যাবস্থায় রাখা হলো।
ক. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়াশীল \(3P, \ 4P\) ও \(5P\) মানের বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রমাণ কর যে, প্রথম বল দুইটি পরস্পর লম্ব। ২
খ. \(\alpha\) এর মান কত হলে \(T_{2}\) টানের মান সর্বনিম্ন হবে? ৪
গ. \(\alpha=30^{o}\) হলে, \(T_{1}\) ও \(T_{2}\) নির্ণয় কর যখন, \(W=10N.\) ৪
সমাধান

৮। দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প-২:
ক. কোনো বিন্দুতে \(F\) মানের দুইটি সমান বল পরস্পর \(120^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত হলে, এদের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর বল দুইটির সাথে সমমানের কত বল যোগ করলে নতুন লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(10cm\) দূরে সরে যাবে? ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এ \(Q=13N\) এবং \(P\) ও \(Q\) এর লব্ধি \(R=12N\) হলে, \(P\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান