১। \(x^2+cx+b=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)
ক. \(a\) এর মান কত হলে \(x^2-4ax+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে? ২
খ. \(b(x^2+1)-(c^2-2b)x=0\) সমীকরণের মূলোদ্বয়কে \(\alpha\) ও \(\beta\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ৪
গ. \(\alpha+\frac{1}{\beta}\) ও \(\beta+\frac{1}{\alpha}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। উদ্দীপক-১ঃ \(x^3-2x^2+1=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(a, \ b, \ c\)
উদ্দীপক-২ঃ \(px^2+qx+r=0\) সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান।
ক. \(x^2-x+k=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব হলে \(k\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে \(\sum{a^2b}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, \(r(p-q)^3=p(r-q)^3\) ৪
সমাধান

৩। \(f(a)=\tan^{-1}{a}, \ g(a)=\sin{a}\)
ক. \(f\left(\frac{1}{3}\right)+f\left(\frac{1}{5}\right)\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দেখাও যে, \(2f\left(\sqrt{\frac{x-y}{x+y}}\tan{\frac{\theta}{2}}\right)=\sec^{-1}{\left\{\frac{x+yg\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{y+xg\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}\right\}}\) ৪
গ. সমাধান করঃ \(g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+g(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ৪
সমাধান

৪। \(f(x)=\sin{x}\)
ক. \(\sin{\tan^{-1}{\cos{\sec^{-1}{y}}}}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(f\left\{\pi f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}=f\left\{\frac{\pi}{2}\pm{\pi f(\theta)}\right\}\) হলে দেখাও যে, \(\theta=\pm\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{4}}\) ৪
গ. সমাধান করঃ \(1+f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-6x\right)=0\) ৪
সমাধান

৫। উদ্দীপক-১ঃ একটি কণিকের উপকেন্দ্র \((0, \pm4)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\)
উদ্দীপক-২ঃ \(f(x, y)=4x^2+9y^2-8x-36y+4\)
ক. একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, 2)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-y=0\) হলে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. স্থানাংকের অক্ষদ্বয়কে কণিকের অক্ষ বিবেচনা করে উদ্দীপক-১ কণিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ সাহায্যে \(f(x, y)=0\) এর উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। উদ্দীপক-১ঃ \(y=ax^2+bx+c\) কণিকটি \((8, 7)\) বিন্দুগামী এবং উহার শীর্ষবিন্দু \((8, 7)\)
উদ্দীপক-২ঃ \(f(x, y)=4x^2-9y^2-8x-36y-68\)
ক. একটি উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উহার বৃহৎ অক্ষের এক-তৃতীয়াংশ। উহার উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এর \(a, \ b, \ c.\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে \(f(x, y)=0\) কণিকটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। একটি বিন্দুতে \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(Q \ (p\gt{Q})\) মানের বলদ্বয়ের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধির মান যথাক্রমে \(L\) ও \(M\)

ক. এক বিন্দুতে \(120^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের লব্ধি নির্ণয় কর। ২
খ. \(P\) এর দিক বরাবর লব্ধির লম্বাংশের পরিমাণ \(Q\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\alpha=\cos^{-1}{\frac{Q-P}{Q}}\) ৪
গ. দেখাও যে, বলদ্বয়ের লব্ধির মান \(\sqrt{L^2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}+M^2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}\) ৪
সমাধান

৮। উদ্দীপক-১ঃ তিনটি সদৃশ সমান্তরাল \(L, \ M, \ N\) যথাক্রমে \(\triangle{ABC}\) এর শীর্ষবিন্দু \(A, \ B, \ C\) তে কার্যরত এবং এদের লব্ধি ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্রগামী।
উদ্দীপক-২ঃ \(l\) দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি সুতার এক প্রান্ত একটি উল্লম্ব দেয়ালে আটকানো। অন্য প্রান্ত \('a'\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট ও \(W\) ওজনের একটি সুষম গোলকের সাথে যুক্ত আছে।
ক. একটি বস্তুর উপর \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল \(L\) ও \(M \ (L\gt{M})\) পরস্পর স্থান বিনিময় করলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(AB\) বরাবর \(x\) দূরত্বে সরে যায়। প্রমাণ কর যে, \(x=\frac{L-M}{L+M}AB\) ২
খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \(\frac{L}{a}=\frac{M}{b}=\frac{N}{c}\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, সুতার টান \(=\frac{w(a+l)}{\sqrt{l^2+2al}}\) ৪
সমাধান