১। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=x^2+2px+q, \ g(x)=x^2+mx+l\)
ক. \(m\) এর মান কত হলে \((m^2-3)x^2+3mx+3m+1=0\) সমীকরণের মূল দুইটি পরস্পর গৌণিক বিপরীতক হবে? ২
খ. \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলে, \(q(x+1)^2=4p^2x\) সমীকরণের মূল দুইটি \(\alpha\) এবং \(\beta\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ৪
গ. \(f(x)=0\) সমীকরণে \(p=\frac{l}{2}\) এবং \(q=m\) আবার, \(f(x)=0\) ও \(g(x)=0\) সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল বিদ্যমান হলে দেখাও যে, \(2x^2+(l+m-2)x=(l+m-2)^2\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(3\) এবং \(-\frac{3}{2}\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(\phi(x)=ax^3+bx^2+cx+d, \ \psi(x)=x^2-mx+l\)
ক. \(a\) এর মান কত হলে, \((a-1)x^2-(a+2)x+4=0\) সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব ও সমান হবে? ২
খ. \(\phi(x)=0\) সমীকরণে \(a=4, \ b=-2, \ c=0\) এবং \(d=3\) হলে এবং মূলগুলো \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে, \(\sum{\alpha^2\beta}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\phi(x)=0\) সমীকরণে \(a=0, \ b=1, \ c=-l\) এবং \(d=m\) হলে, \(\phi(x)=0\) এবং \(\psi(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য একটি ধ্রুবক রাশি হলে প্রমাণ কর যে, \(l+m+4=0\) ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) \(g(x)=\cos{x}, \ h(x)=\sin{x}\)
ক. \(\cos{2\theta}+\sin{\theta}=1\) এর সাধারণ সমাধান বের কর। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে \(\sqrt{3}g(\theta)+g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=1\) সমীকরণটি সমাধান কর যখন, \(0\lt{\theta}\lt{2\pi}\) ৪
গ. \(g\{\pi h(\theta)\}=h\{\pi g(\theta)\}\) হলে দেখাও যে, \(\theta=\pm\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}{\sqrt{7}}\) ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\cos{x}, \ h(x)=\tan^{-1}{x}\)
ক. \(\cot^{-1}{(\tan{2\phi})}+\cot^{-1}{(-\tan{3\phi})}=\phi\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের আলকে সমাধান করঃ \((2+\sqrt{3})f(2\theta)=1-f\left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)\) ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(2h\left(\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}\tan{\frac{\theta}{2}}\right)=\cos^{-1}{\frac{b+af(\theta)}{a+bf(\theta)}}\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -2)\) এবং \(2x-y+4=0\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক।
দৃশ্যকল্প-২ঃ উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \(S^{\prime}(-2, 0)\) এবং \(S(2, 0)\)
ক. \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর উপরস্থ কোনো বিন্দু \((4, 0)\) হলে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(x=ay^2+by+c\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \(S^{\prime}(-6, 0)\) এবং \(S(6, 0)\)
ক. \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{25}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দুগামী হলে উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য বের কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে পরাবৃত্তের শীর্ষ \((1, 2)\) এবং পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে \(a, \ b, \ c\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(10\) একক হলে অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\)

ক. \(2\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের লব্ধি, \(2\theta\) কোণে ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের লব্ধির দ্বিগুণ হলে প্রমাণ কর যে, \(\cos{\alpha}=2\cos{\theta}\) ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, \(T\tan{\theta}=S\tan{\frac{\alpha}{2}}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বলদ্বয়ের লব্ধি \(C\) বিন্দুতে এবং বলদ্বয় পরস্পর স্থান বিনিময় করলে লব্ধি \(D\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল হলে প্রমাণ কর যে, \(P:Q=2:1\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\)

ক. বলের লম্বাংশের সংজ্ঞা দাও। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে \(O, \ ABC\) ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র এবং বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, \(P_{1}^2:P_{2}^2:P_{3}^2=(1+\cos{A}):(1+\cos{B}):(1+\cos{C})\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বলদ্বয়ের প্রত্যেকের সাথে সমপরিমাণ কত বল যোগ করলে নতুন লব্ধি পূর্বের লব্ধি থেকে \(8 cm\) দূরে সরে যাবে? ৪
সমাধান