১। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=ax^2+bx+c.\)
উদ্দীপকের আলোকে নিচের (খ) ও (গ) প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
ক. দেখাও যে, \(b=p\) না হলে, \(2x^2-2(b+p)x+b^2+p^2=0\) সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না। ২
খ. \(b=c\) এবং \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত \(p:q\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{c}{a}}=0\) ৪
গ. \(f(x)=0\) সমীকরণের মূল দুইটি \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\alpha+\frac{1}{\beta}\) ও \(\beta+\frac{1}{\alpha}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
ক. \(p\) এর মান কত হলে, \(px^2+4x+3\) রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে? ২
খ. যদি \(a=3, \ b=-2, \ c=0\) এবং \(d=1\) হয় এবং সমীকরণটির মূলগুলো \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হয় তবে, \(\sum{\alpha^2\beta}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. যদি \(a=1, \ b=-9, \ c=23\) এবং \(d=-15\) হয় এবং সমীকরণটির একটি মূল \(3\) হয়, তবে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(P=\sec^{-1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{5}}+\cot^{-1}{3}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(\cos^{-1}{\frac{m}{a}}+\cos^{-1}{\frac{n}{b}}=x\)
ক. \(\sec^2{\left(\cot^{-1}{\frac{1}{4}}\right)}+\tan^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{3}}\right)}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \(P=\tan^{-1}{2}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ ের সাহায্যে দেখাও যে, \(\frac{m^2}{a^2}-\frac{2mn}{ab}\cos{x}+\frac{n^2}{b^2}=\sin^2{x}\) ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\sin{x}\) ও \(g(x)=\cos{x}\)
ক. সমাধান করঃ \(2(\cos^2{x}-\sin^2{x})=\sqrt{3}\) ২
খ. সমাধান করঃ \(f(x)+g(x)=f(2x)+g(2x)\) ৪
গ. সমাধান করঃ \(4g(x)g(2x)g(3x)=1\) যখন \(0\lt{x}\lt{\pi}\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) \(ax^2+bx+cy+d=0\) একটি কণিকের সমীকরণ।
উদ্দীপকের আলোকে নিচের (খ) ও (গ) প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
ক. \((y+3)^2=8(x-2)\) কণিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(a=1, \ b=-8, \ c=-2, \ d=6\) হলে, কণিকটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ৪
গ. \(a=0, \ b=3, \ c=4, \ d=-1\) এর জন্য সমীকরণটিকে নিয়ামক ও \((1, 1)\) বিন্দুকে উপকেন্দ্র ধরে অংকিত পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করে তার অক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(25x^2+ky^2-25k=0\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(x+2y=1\)
ক. \(25x^2+16y^2=400\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দুগামী হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর। আবার উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্রের স্থানাংক বের কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটিকে নিয়ামক ধরে \((1, 1)\) উপকেন্দ্র ও \(\sqrt{3}\) উৎকেন্দ্রিকতা বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(\triangle{ABC}\) এর \(A, \ B, \ C\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(P, \ Q, \ R\) সদৃশ সমান্তরাল বলত্রয় কার্যরত এবং ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র \(O\)

ক. দুইটি বলের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন লব্ধির মান যথাক্রমে \(9N\) ও \(4N\) হলে বলদ্বয় নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \(P=Q\) ও \(P=2Q\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে এদের লব্ধির ক্রিয়ারেখা \(O\) বিন্দুগামী হলে প্রমাণ কর যে, \(P:Q:R=\sin{2A}:\sin{2B}:\sin{2C}\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ
দৃশ্যকল্প-২ঃ\(P\) ও \(Q\) দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল।
ক. \(P\) ও \(Q; \ (P\gt{Q})\) অসদৃশ সমান্তরাল বলদুইটি যথাক্রমে \(L\) ও \(M\) বিন্দুতে কার্যরত হলে, প্রমাণ কর যে তাদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(\frac{Q}{P-Q}LM\) দূরত্বে কার্যরত হবে। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর বলত্রয়ের ত্রিভুজটির লম্ববিন্দুগামী হলে, প্রমাণ কর যে, \(X:Y:Z=\tan{A}:\tan{B}:\tan{C}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর \(P\) বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়ারেখা \(d\) দূরত্বে সরালে, দেখাও যে, এদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(\frac{Pd}{P+Q}\) দূরত্বে সরে যাবে। ৪
সমাধান