১। \(f(x)=x^2-4x+5\)
\(B=\begin{bmatrix}a^2 & bc & ca+c^2\\ a^2+ab & b^2 & ca\\ ab & b^2+bc & c^2\end{bmatrix}\)
ক. যদি, \(\begin{bmatrix}x+3 & 6\\ 5 & x-4\end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমী হয়, তবে \(x\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. যদি, \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(f(A)\) নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(|B|=4a^2b^2c^2\) ৪
সমাধান

২।

ক. এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় যা \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর লম্ব এবং প্রদত্ত রেখাটি \(x\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুগামী। ২
খ. যদি \(\triangle{AOB}=8\) বর্গ একক হয়, তবে \(AB\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\angle{BAX}\) এর সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \((1, 1)\) বিন্দুটি \(x^2+y^2+4x+6y-12=0\) বৃত্তের উপর অবস্থিত। রেখাত্রয়ের সমীকরণ \(x=0, \ y=0, \ x=a\)
ক. যদি \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে তবে \(c\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তের স্থানাংক নির্ণয় কর। \(A\) বিন্দুগামী বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণও নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকে প্রদত্ত রেখাত্রয়কে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। দৃশ্যকল্প-১ঃ \(x^2+y^2-4x+8y-16=0\) বৃত্তের একটি জ্যা এর সমীকরণ \(4x+3y+26=0\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
ক. \(r=4\sin{\theta}\) বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ঃ এর বৃত্তটির দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত জ্যা এর উপর লম্ব। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ঃ হতে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। বৃত্তটি দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণও নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫।

ক. \(\cos{3A}\) কে \(\cos{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ২
খ. \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\) এর মান কত? ৪
গ. \(A=60^{o}\) হলে, দেখাও যে, \(\cos{\frac{B-C}{2}}=\frac{b+c}{2a}\) ৪
সমাধান

৬। \(z=\sin{x}\)
ক. \(\frac{d}{dz}(z^x)\) নির্ণয় কর। ২
খ. মূলনিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(\frac{1}{z}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. যদি \(y=x^2\) হয়, তবে \((1-z^2)\frac{d^2y}{dz^2}-z\frac{dy}{dz}-2\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(f(x)=e^x, \ g(x, y)=x^2-y^2-7\)
ক. \(a\) এর মান কত হলে, \(y=ax(1-x)\) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে স্পর্শকটি \(x\) অক্ষের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে? ২
খ. \(g(x, y)=0\) বক্ররেখার \((4, -3)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(4f(x)+9f(-x)\) এর লঘুমান কত? ৪
সমাধান

৮। \(f(x, y)=9x^2+4y^2-36,\) \(g(x)=\cos{x}\)
ক. \(\int{\sin^{-1}{x}}dx\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int_{1}^{5}{\frac{1}{x}\sqrt{1-\{g(\ln{x})\}^2}}dx\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. \(f(x,y)=0\) কনিক দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান