১। \(\blacktriangleright\) \(A=\begin{bmatrix}1 & 3 & 3\\ 3 & 1 & 3\\ 3 & 3 & 1\end{bmatrix}\)
ক. বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স ব্যাখ্যা কর। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \(A^2-5A-14I\) একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স। ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে \(A^{-1}\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(A=\begin{bmatrix}3+x & 4 & 1\\ 4 & 1+x & 3\\ 1 & 3 & 4+x\end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}2+x & b+x & c+x\\ 2+y & b+y & c+y\\ 4 & b^2 & c^2\end{bmatrix}\)

ক. \(B=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{bmatrix}\) হলে, \(B.B^{t}\) নির্ণয় কর। ২
খ. দেখাও যে, \(det(B)=(2-b)(b-c)(c-2)(x-y)\) ৪
গ. \(det(A)=0\) সমীকরণের বাস্তব মূল নিয়ে \(A\) এর ট্রেস নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\)

ক. \(2x-3y+k=0\) এবং \(2x-3y=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2\sqrt{13}\) একক হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(AC\) এবং \(BD\) রেখাদ্বয়ের ঢাল \(-2\) এবং \(-1\) হলে \(x\) অক্ষকে \(CD\) রেখা যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক নির্ণয় কর। ৪
গ. \(AB\) রেখাংশের লম্ব-দ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\)
\(OD\) হলো বৃত্তটির একটি ব্যাস
ক. \(r(1+\cos{\theta})=2\) সমীকরণকে কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর। ২
খ. \(OC\) জ্যাকে ব্যাস ধরে অংকিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(A\) এবং \(B\) বিন্দুগামী বৃত্ত \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\)

ক. \(a=\sqrt{3}+1, \ b=\sqrt{3}-1, \ C=60^{o}\) হলে \(\triangle{ABC}\) এ \(c\) বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ২
খ. \(A+B=120^{o}\) হলে উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, \(\sin^2{(\theta+\alpha)}+\sin^2{(\theta-\alpha)}-\cos^2{\alpha}=\frac{1}{2}\) ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \(\sin{2A}-\sin{2B}+\sin{2C}=-4\cos{A}\sin{B}\cos{2\theta}\) ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\)

ক. \(\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}=1\) হলে, দেখাও যে, \(\sin{\alpha} \ cossec \ {\beta}+\cos{\alpha}\sec{\beta}=0\) ২
খ. \(C=75^{o}\) হলে উদ্দীপক হতে দেখাও যে, \(\sec{2A}-\sqrt{3} \ cossec \ {2A}=4\) ৪
গ. উদ্দীপক ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, \(\frac{a^2}{bc}\sin{(B-C)}+\frac{b^2}{ca}\sin{(C-A)}+\frac{c^2}{ab}\sin{(A-B)}=0\) ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) \(h(x)=\cos{3x}, \ u=\tan^{-1}{2x}\)
ক. মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{3x}}{x^2}\] ২
খ. মূল নিয়মে \(h(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\ln{y}=u\) হলে উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \(\sec^2{(u)} \ y_{2}+2y_{1}(2\tan{(u)}-1)=0\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(g(x)=\cos{x}, \ h(x)=x^4\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) একটি উপবৃত্ত, \(x^2+y^2=9\) একটি বৃত্ত।
ক. \(x\) এর যে মানগুলোর জন্য \(f(x)=x+\frac{4}{x}\) ফাংশনের চরমমান বিদ্যমান তা নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ঃ এর আলোকে \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\{g(x)\}^2dx}+\int_{0}^{1}{\frac{x}{1+h(x)}dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ঃ এর উপবৃত্ত এবং বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ১ম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান