১। \(\blacktriangleright\) \(A=\begin{bmatrix}x-1 & 1 & 2\\ -2 & x+1 & 3\\ 2 & 0 & x\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} \ \ \ 5 & \ \ \ 2\\ -10 & -4\end{bmatrix}\)
ক. দেখাও যে, \(B\) একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স। ২
খ. \(|A|=0\) হলে \(x\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. \((A^{T})^{-1}\) নির্ণয় কর যখন \(x=0\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(M=\begin{bmatrix} p-q-r & 2q & 2r\\ 2p & q-r-p & 2r\\ 2p & 2q & r-p-q\end{bmatrix}, \ N=\begin{bmatrix} -3\\ \ \ \ 0\\ \ \ \ 3\end{bmatrix}\) এবং \(X=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix}\)
ক. \(\begin{bmatrix} x & 3\\ 5 & x-2\end{bmatrix}\) ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে \(x\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(|M|=(p+q+r)^3\) ৪
গ. উদ্দীপকে \(p=q=r=1\) হলে, \(MX=N\) কে ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\)
\(AB\equiv4x+3y-12=0\) এবং \(AB\parallel{CD}\)
ক. \(AB\) কে ঢাল আকারে প্রকাশ করে ইহার ঢাল নির্ণয় কর। ২
খ. মূলবিন্দু হতে \(AB\) ও \(CD\) রেখার দূরত্ব সমান হলে \(CD\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দেখাও যে, \(ABCD\) একটি রম্বস। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(f(x,y)=3x-4y-5\) এবং \(g(x,y)=x^2+y^2-6x+8y+9\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \((5, 3)\) ও \((-5, 7)\) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু।
ক. \(g(x,y)=0\) বৃত্ত দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের পরিমাণ নির্ণয় কর। ২
খ. দেখাও যে, দৃশ্যকল্প-১ বর্ণিত \(f(x,y)=0\) রেখাটি \(g(x,y)=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। নির্ণেয় বৃত্ত ও \(f(x,y)=0\) রেখার ছেদবিন্দু ও মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণও নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) \(\sin{\theta}=\frac{3}{5}\) এবং \(A=\frac{\pi}{12}\)
ক. দেখাও যে, \(\cos{75^{o}}=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})\) ২
খ. \(\frac{\cot{\theta}+\cos{(-\theta)}}{cosec \ {(-\theta)}+\tan{\theta}}\) এর মান নির্ণয় কর; যখন \(\frac{\pi}{2}\lt{\theta}\lt{\pi}\) হয়। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(\tan{A}\tan{3A}\tan{5A}\tan{7A}\tan{11A}=1\) ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\)

ক. দেখাও যে, \(\frac{b+c}{b-c}=\frac{\sin{B}+\sin{C}}{\sin{B}-\sin{C}}\) ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(\frac{\cos{A}}{\sin{B}\sin{C}}+\frac{\cos{B}}{\sin{C}\sin{A}}+\frac{\cos{C}}{\sin{A}\sin{B}}=2\) ৪
গ. \(\alpha=45^{o}, \ \beta=60^{o}\) এবং \(a=(\sqrt{3}+1)\) সে.মি. হলে, \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=e^{x}\)
ক. \(f^{\prime}(x)\log{2x}f(2x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ২
খ. মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(mx)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(y=f(\sec^{-1}{x})\) হলে দেখাও যে, \(x^2(x^2-1)y_{2}+x(2x^2-1)y_{1}-y=0\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(f(x)=\sin{x}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(g(x)=e^{x}\)
ক. \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g(\sin{x})-1}{f(x)}\] এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int{g(x)f\left(\frac{\pi}{x}-x\right)dx}\) এর যোগজ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)f(2x)dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান