১। \(z_{1}=1+ix, \ z_{2}=a+ib\) এবং \(z_{3}=x+iy\) তিনটি জটিল সংখ্যা।
ক. \(i-\sqrt{3}\) এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর। ২
খ. \(|z_{2}|^2=1\) হলে, দেখাও যে, \(x\) এর একটি বাস্তব মান \(\frac{\overline{z_{1}}}{z_{1}}=\overline{z_{2}}\) সমীকরণকে সিদ্ধ করে। ৪
গ. \(\sqrt[3]{z_{2}}=z_{3}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(|z_{3}|=\sqrt{\frac{b}{2y}-\frac{a}{2x}}\) ৪
সমাধান

২। \(8x^2+2x-(b+4)=0\) এবং \(y^2+y+1=0\) দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
ক. \(2-\sqrt{-3}\) মূলবিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. ১ম সমীকরণের একটি মূল যদি অপরটির বর্গের সমান হয় তবে \(b\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. ২য় সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে দেখাও যে, \(\alpha^2=\beta\) এবং \(\beta^2=\alpha\) ৪
সমাধান

৩। দৃশ্যকল্প-১ঃ \(p(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ\(ax^2+bx+c=0 ........(1)\) \(cx^2-2bx+4a=0 ........(2)\)
ক. \(-2i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর। ২
খ. \(p(x)\) রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে দেখাও যে, \(a=b=c\) ৪
গ. \((1)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) এবং \((2)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয় \(\beta\) ও \(\gamma\) হলে প্রমাণ কর যে, \(2a+c=0\) অথবা \((2a-c)^2+2b^2=0\) ৪
সমাধান

৪। \(f(x)=\cos{x}\) একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।
ক. \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\frac{\pi}{2}\) হলে দেখাও যে, \(x=\frac{1}{y}\) যেখানে \(x\gt{0}, \ y\gt{0}, \ 0\lt{xy}\lt{1}\) ২
খ. \(f^{-1}(2x)+f^{-1}(2y)=\frac{3\pi}{2}\) হলে দেখাও যে, \(x^2+y^2=\frac{1}{4}\) ৪
গ. \(f(x)+\sqrt{3}f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sqrt{2}\) হলে সমীকরণজোটটির সমাধান কর। ৪
সমাধান

৫।
উপরের চিত্রটি একটি কণিক নির্দেশ করে। যার উপকেন্দ্র \(S,\) শীর্ষবিন্দু \(A\) এবং \(MZM^{\prime}\) নিয়ামক রেখা।
ক. \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}+1=0\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের কণিকটির সমীকরণ \(y^2=6x\) এবং \(SP=6\) হলে, \(P\) বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকের কণিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((2, -3)\) ৪
সমাধান

৬। উদ্দীপক-১ঃ \(4x^2+6y^2-4x-36y+43=0\)
উদ্দীপক-১ঃ একটি কণিকের উপকেন্দ্রদ্বয় \((10, 5)\) ও \((8, 3)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)
ক. \(5x^2+4y^2=1\) কণিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ বর্ণিত সমীকরণকে প্রমিত আকারে প্রকাশ করে কণিকটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ বর্ণিত কণিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। দৃশ্যকল্প-১ঃ
দৃশ্যকল্প-২ঃ
\(AB=20\) মিটার
ক. \(P=Q, \ R=3\sqrt{3}N\) এবং \(\alpha=60^{o}\) হলে সমান বলদ্বয় নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ \(\alpha=30^{o}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(R=\frac{P^2-Q^2}{Q}; \ (P\gt{Q})\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে তাদের লব্ধি \(AB\) বরাবর কত মিটার দূরে সরে যাবে তা নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। দৃশ্যকল্প-১ঃ দুইটি বেগের বৃহত্তম লব্ধি এদের ক্ষুদ্রতম লব্ধির দ্বিগুণ। বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) হলে লব্ধি বেগের মান এদের সমষ্টির অর্ধেক হয়।
দৃশ্যকল্প-২ঃ\(u\) বেগে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণার একই আনুভূমিক পাল্লা \((R)\) এর জন্য দুইটি বিচরণ পথের বিচরণকাল \(t_{1}\) ও \(t_{2}\)
ক. \(u\) আদি বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর বিচরণকাল নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে \(\alpha\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, \(R=\frac{1}{2}gt_{1}t_{2}\) ৪
সমাধান