১। দৃশ্যকল্প-১: \(Z_{1}=1-3i, \ Z_{2}=1-i\)
দৃশ্যকল্প-২: \(|Z-3|-|Z+3|=4\)
ক. \((2+i)(x+iy)=1+3i\) হলে, \(x, \ y\) নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে \(\sqrt{Z_{1}Z_{2}}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর যখন \(Z=x+iy.\) ৪
সমাধান

২। দৃশ্যকল্প-১: \((p+1)x^2+2(p+3)x+2p+3\) একটি রাশি।
দৃশ্যকল্প-২: \(ax^2+3x+c=0\) এবং \(cx^2+3x+a=0\) দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
ক. \(2x^3-9x^2+9x+2\equiv{(x-2)(ax^2+bx+c)}\) হলে, \(a, \ b, \ c\) এর মান নির্ণয় কর যেখানে \(a, \ b\) এবং \(c\) ধ্রুবক। ২
খ. \(p\) এর মান কত হলে ১ম দৃশ্যকল্পে উল্লেখিত রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে? ৪
গ. যদি দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকে তাহলে প্রমাণ কর যে, \(c+a=\pm3.\) ৪
সমাধান

৩। \(x^2-2ax+a^2-b^2=0 ........(i)\)
\(x^4-9x^3+27x^2-33x+14=0 ........(ii)\)
ক. \(a, \ b\) মূলদ হলে, দেখাও যে, \((i)\) সমীকরণের মূলদ্বয় সর্বদা মূলদ হবে। ২
খ. \((i)\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে \(\alpha+\beta\) ও \(|\alpha-\beta|\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \((ii)\) সমীকরণের একটি মূল \(3-\sqrt{2}\) হলে সমীকরণটি সমাধান কর। ৪
সমাধান

৪। দৃশ্যকল্প-১: \(2\sin^2{\theta}-2=\cos{2\theta}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(y)=\tan^{-1}{y}.\)
ক. \(\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\) এর মূখ্যমান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ সমাধান কর যেখানে \(-2\pi\le{\theta}\le{2\pi}.\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হলে দেখাও যে, \(\tan{\{2f(x)\}}=2\tan{\{f(x)+f(x^3)\}}\) ৪
সমাধান

৫। \(A(1,-3), \ B(0,7), \ C(1,1)\)
ক. \(4x^2+5y^2=1\) উপবৃত্তের একটি উপকেন্দ্র ও এর অনুরূপ নিয়ামক রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর। ২
খ. \(y=ax^2+bx+c\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ \(A\) এবং এটি \(B\) বিন্দুগামী হলে \(a, \ b, \ c\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. \(A\) ও \(C\) কোনো উপবৃত্তের শীর্ষ এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬।

ক. \(M\) ও \(N\) বিন্দুদ্বয় কোনো উপবৃত্তের ফোকাস এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(6\) হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \(M\) এবং শীর্ষ \(O\)। ৪
গ. \(M\) ও \(N\) বিন্দুদ্বয় কোনো অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) হলে, অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭।

ক. প্রমাণ কর যে, দুইটি সমান বলের লব্ধি তাদের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে। ২
খ. চিত্র-১ এ বলগুলো \(P\) বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে \(F\) এবং \(\alpha\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. চিত্র-২ থেকে দেখাও যে, বল দুইটিকে সমপরিমাণে বৃদ্ধি করলে নতুন লব্ধি আরও দূরে সরে যাবে। ৪
সমাধান

৮। একজন ক্রিকেটার ভূমির সাথে \(35^{o}\) কোণে \(85.5\) মিটার\(/\)সে. বেগে একটি ক্রিকেট বল আঘাত করে।
ক. সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(t\)-তম সেকেন্ডে \(x\) দূরত্ব এবং \((t+n)\) তম সেকেন্ডে \(y\) দূরত্ব অতিক্রম করে। প্রমাণ কর যে, ত্বরণ \(f=\frac{y-x}{n}\) ২
খ. বলটির সর্বাধিক উচ্চতা নির্ণয় কর। ৪
গ. বলটি বাউন্ডারি লাইনের উপর পড়লে ক্রিকেটার হতে বাউন্ডারি লাইনের দূরত্ব নির্ণয় কর। ৪
সমাধান