১। \(\blacktriangleright\) \(a=4, \ b=\sqrt{-4}, \ z=\frac{1}{n}(l+im)\) একটি জটিল সংখ্যা।
ক. \(\frac{2-3i}{4-4i}\) কে \(A+iB\) আকারে প্রকাশ কর। ২
খ. \(\sqrt{a+b}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(l=m=3, \ n=\sqrt{18}\) হলে, \(|z|\) এর ঘনমূলগুলোর যোগফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=x^2-4x+5, \ g(x)=x+1,\) \(\phi(x)=lx^2+mx+n, \ \psi(x)=nx^2+mx+l\)
ক. দেখাও যে, \(2x^2+6x-8=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ হবে। ২
খ. \(\phi(x)=0\) এবং \(\psi(x)=0\) সমীকরণদ্বয়ের একটিমাত্র সাধারণ মূল থাকলে, \(m\) কে \(l\) ও \(n\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ৪
গ. \(f(x).g(x)=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(p, \ q, \ r\) হলে, \(\sum{p^3q}\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) \(f_{1}(x)=4x^2-7x+3, \ f_{2}(x)=\alpha{x^2}+\beta{x}+\gamma\)
ক. \(z=-4+4i\) এর মডুলাস ও মুখ্য আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর। ২
খ. \(f_{2}(x)=0\) সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হলে \(a\) এর মান নির্ণয় কর, যেখানে \(\alpha=9, \ \beta=2\) এবং \(\gamma=-\frac{1}{3}(a+2)\) ৪
গ. \(f_{1}(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(p, \ q\) হলে, \(\frac{1}{p^3}\) ও \(\frac{1}{q^3}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(A=\sec^{-1}{\sqrt{5}}, \ B=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{p}{q}}, \ C=\sin^{-1}{r}\)
\(f(x)=\sin{(\alpha{x})}, \ g(x)=\sin{(\beta{x})}\)
ক. দেখাও যে, \(2\tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{2x}{1-x^2}}\) ২
খ. \(p=3, \ q=5, \ r=\frac{1}{\sqrt{10}}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(A-B+C=\cot^{-1}{\frac{1}{2}}\) ৪
গ. \(\alpha=1, \ \beta=3\) হলে \(-\pi\) হতে \(\pi\) ব্যবধির মধ্যে \(2f(x).g(x)=1\) সমীকরণের সমাধান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\)

ক. \(3x^2-4y^2=12\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ঃ এ নিয়ামক রেখা \(MZM^{\prime}\) এ্রর সমীকরণ \(x=3\) হলে, পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ঃ এ বর্ণিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) এর স্থানাংক \((0, 4)\) হলে এর নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\)

ক. \(y^2=80x\) কণিকের উপকেন্দ্রের স্থানাংক নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ঃ এ বর্ণিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ঃ এর আলোকে অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ
দৃশ্যকল্প-২ঃ

ক. কোনো বিন্দুতে পরস্পর \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত \(P\) মানের দুইটি সমান বলের লব্ধির মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ নির্দেশিত সদৃশ, সমান্তরাল বলদ্বয় পরস্পর স্থান বিনিময় করলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(AB\) বরাবর \(d\) দূরত্বে সরে যায়। প্রমাণ কর যে, \(d=\frac{10}{7}\) মিটার। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এ \(P=6N, \ Q=9N\) ও \(R=5N\) হলে বলগুলোর লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ সোজাসুজি একটি নদী পার হতে সাঁতারুর \(t_{1}\) সেকেন্ড সময় লাগে। স্রোতের অনুকূলে তীর বরাবর একই দূরত্ব অতিক্রম করতে তার \(t_{2}\) সেকেন্ড সময় লাগে।
দৃশ্যকল্প-২ঃ

ক. স্থির অবস্থা থেকে একটি বস্তু \(3 m/s^2\) সমত্বরণে যাত্রা শুরু করলে কতক্ষণ পর বেগ \(60 m/s\) হবে? ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী সাঁতারুর গতিবেগ \(20 cm/s\) এবং স্রোতের গতিবেগ \(10 cm/s\) হলে, \(t_{1}:t_{2}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এ \(OA=49\) মিটার হলে, \(OB\) এর দূরত্ব নির্ণয় কর। ৪
সমাধান