১। \(\blacktriangleright\) \(z_{1}=1+ia, \ z_{2}=a+i\)
এবং \(|z+2|+|z-2|=6, \ z=x+iy\) একটি কণিক।
ক. \(\sqrt{-1}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর। ২
খ. \(a=\sqrt{3}\) হলে দেখাও যে, \(arg\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=arg(z_{1})-arg(z_{2})\) ৪
গ. কণিকটির অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(x^2-bx-c=0\) সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান।
উদ্দীপক-২ঃ \(ax^2+2bx+c=0\) এর একটি মূল \(cx^2+2bx+a=0\) সমীকরণের একটি মূলের তিনগুণ।
ক. \(2x^2+x+1=0\) সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে দেখাও যে, \(b^3+c(3b+1)-c^2=0\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, \(c=3a\) \(12b^2=(c+3a)^2\) ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) দেওয়া আছে, \(\phi(x)=\cos^{-1}{x}\) এবং \(h(\theta)=\cos{\theta}-\sin{\theta}\)
ক. প্রমাণ কর যে, \(\sin^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{3}}\right)}-\cos^2{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}=\frac{2}{9}\) ২
খ. \(\phi(x)+\phi(y)+\phi(z)=\pi\) হলে দেখাও যে, \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\) ৪
গ. \((-\pi, \pi)\) ব্যবধিতে \(h(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}\) সমীকরণটির সমাধান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(ax^3+bx+c=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\)
উদ্দীপক-২ঃ \((y+ix)^{\frac{1}{3}}=a+ib\) একটি সমীকরণ।
ক. \(3x^2+2x++2=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে \(\frac{\gamma^2}{\alpha+\beta}, \frac{\alpha^2}{\beta+\gamma}\) ও \(\frac{\beta^2}{\gamma+\alpha}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, \(ax+by=4ab(a^2-b^2)\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ একটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((-1, 1)\) এবং উপকেন্দ্র \((2, -3)\)
উদ্দীপক-২ঃ \(4x^2+9y^2-40x-108y+388=0\) একটি কণিক।
ক. \(\frac{y^2}{2}-x^2=1\) অধিবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ এ উল্লেখিত কণিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(9x^2-4y^2+36x-8y-4=0\) একটি কণিকের সমীকরণ।
উদ্দীপক-১ঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) উৎকেন্দ্রিকতাবিশিষ্ট একটি কণিক যা \((4, -2\sqrt{6})\) বিন্দুগামী; যার অক্ষদ্বয় যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বরাবর অবস্থিত।
ক. \(y^2+4x+2y-11=0\) পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এ উল্লেখিত কণিকের উপকেন্দ্রের স্থানাংক নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ এ উল্লেখিত কণিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ দুইটি বল \(ABC\) ত্রিভুজের \(AB\) ও \(AC\) বাহু বরাবর ক্রিয়া করে এবং এদের মান যথাক্রমে \(\cos{B}\) ও \(\cos{C}\) এর সমানুপাতিক।
উদ্দীপক-২ঃ \(F_{1}\) ও \(F_{2}\) মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল একটি অনড় বস্তুর উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। \(F_{1}\) এর ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দু \('d'\) দূরত্বে সরানো হলো।
ক. \(5N, \ 7N\) ও \(8N\) মানের বলত্রয় একটি কণার উপর ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে। \(8N\) ও \(5N\) মানের বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ ব্যবহার করে দেখাও যে, বলদ্বয়ের লব্ধি \(A\) কোণকে \(\frac{1}{2}(A+B-C)\) ও \(\frac{1}{2}(C+A-B)\) এই দুই অংশে বিভক্ত করে। ৪
গ. উদ্দীপক-২ ব্যবহার করে দেখাও যে, বলদ্বয়ের লব্ধি \(\frac{F_{1}d}{F_{1}+F_{2}}\) দূরত্বে সরে যায়। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(u\) আদিবেগ এবং অনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে একটি বস্তুকণা নিক্ষেপ করা হলো। \(t\) সময় পরে \((x, y)\) বিন্দুতে পৌঁছায়।
উদ্দীপক-২ঃ একটি পাথর কুয়ার ভিতর ফেলার \(t\) সময় পরে পানিতে এর পতন শোনা গেল। শব্দের বেগ \(v\) এবং কুয়ার গভীরতা \(h\)।
ক. একজন সাঁতারু স্রোতের বেগের দ্বিগুণ বেগে সাঁতার দিয়ে একটি নদীর অপর তীরে যাত্রা বিন্দুর বিপরীত বিন্দুতে পৌঁছালো। স্রোতের দিকের সাথে সে যে কোণে যাত্রা করেছিল, তা নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ ব্যবহার করে দেখাও যে, \(x^2\tan{\alpha}-xR\tan{\alpha}+Ry=0\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ ব্যবহার করে দেখাও যে, \(vgt^2-2h(gt+v)=0\) ৪
সমাধান