১। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপকঃ \(f(x)=x, \ x\in{\mathbb{R}}\)
ক. \(-1\lt{2x-3}\lt{5}\) অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর। ২
খ. \(\frac{1}{|f(x)-2|}\ge{2}, \ x\ne{2}\) অসমতাটি সমাধান কর এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও। ৪
গ. \(|f(x)-1|\lt{\frac{1}{5}}\) হলে দেখাও যে, \(|\{f(x)\}^2-1|\lt{\frac{11}{25}}\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপকঃ \(z=x+iy\)
ক. \(-1+\sqrt{3}i\) এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর। ২
খ. \(\sqrt[3]{p+iq}=z\) হলে দেখাও যে, \(\sqrt[3]{p-iq}=\overline{z}\) ৪
গ. \(3|z-1|=2|z-2|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপকঃ \(f(x)=ax^2+bx+b\) এবং \(g(x)=3x^3-26x^2+52x-24\)
ক. \(x^2+7x+k=0\) সমীকরণের একটি মূল \(-8\) হলে, \(k\) এর মান ও অপর মূলটি নির্ণয় কর। ২
খ. যদি \(f(x)=0\) এর মূলদ্বয়ের অনুপাত \(p:q\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=0\) ৪
গ. \(g(x)=0\) সমীকরণের মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমনে হলে, সমীকরণটি সমাধান কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(M=\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}-\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{5}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\)
উদ্দীপক-২ঃ \(f(x)=\sin{x}\) ও \(g(x)=\cos{x}\)
ক. \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\frac{\pi}{2}\) হলে দেখাও যে, \(x^2+y^2=1\) ২
খ. উদ্দীপক-১ হতে দেখাও যে, \(M\) এর মান \(\cot^{-1}{\frac{1}{2}}\) ৪
গ. \(f(x)+g(x)=g(2x)+f(2x)\) সমীকরণটি সমাধান কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\)

ক. \(120^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের লব্ধি \(9N\) হলে, সমান বল দুইটি নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এ উল্লেখিত ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র \(O\)। \(P_{1}, \ P_{2}, \ P_{3}\) তিনটি বল যথাক্রমে \(OA, \ OB, \ OC\) বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় আছে। প্রমাণ কর যে, \(\frac{P_{1}}{a^2(b^2+c^2-a^2)}=\frac{P_{2}}{b^2(c^2+a^2-b^2)}=\frac{P_{3}}{c^2(a^2+b^2-c^2)}\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ এ প্রদত্ত বলগুলির লব্ধি উক্ত ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্রগামী হলে দেখাও যে, \(P_{1}:P_{2}:P_{3}=a:b:c\) ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(3x^2-4y-6x-5=0\)

ক. কণিক ও কণিকের উপকেন্দ্রের সংজ্ঞা দাও। ২
খ. উদ্দীপক-১ এ উল্লেখিত সমীকরণটিকে পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ আকারে প্রকাশ কর ও এর শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র এবং অক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ এ চিহ্নিত পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\)
\(2x+y=1\) হলো দিকাক্ষ \(MM^{\prime}\) এর সমীকরণ।
ক. \(2x^2+3y^2=1\) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এ উল্লেখিত উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ এ উল্লেখিত অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) হলে, এর সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\)
\(u\) সাঁতারুর বেগ এবং \(v\) স্রোতের বেগ
উদ্দীপক-২ঃ \(R\) পাল্লার জন্য একটি প্রক্ষেপকের দুইটি গতিপথের সর্বোচ্চ উচ্চতা \(h_{1}\) ও \(h_{2}\)
ক. একটি বুলেট একটি তক্তা ভেদ করতে এর বেগের \(\frac{1}{10}\) অংশ হারায়। মন্দন সুষম হলে, বুলেটটি থামার পূর্বে অনুরূপ কতগুলো তক্তা ভেদ করবে? ২
খ. একজন সাঁতারুর সোজাসুজি একটি নদী পার হতে \(t^{\prime}\) সময় লাগে। স্রোতের অনুকূলে একই দূরত্ব অতিক্রম করতে \(t^{\prime\prime}\) সময় লাগে। উদ্দীপক-১ এর আলোকে দেখাও যে, \(t^{\prime}:t^{\prime\prime}=\sqrt{u+v}:\sqrt{u-v}\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে দেখাও যে, \(R=4\sqrt{h_{1}h_{2}}\) ৪
সমাধান