১। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\frac{2x}{1+x^2}\) এবং \(g(x)=p+qx+rx^2\) দুইটি ফাংশন।
ক. \(z=\frac{1+2i}{1-3i}\) এর মডুলাস বের কর। ২
খ. \(f(1)\) এর ঘনমূল নির্ণয় কর। ৪
গ. \(p+q+r=0\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\{g(\omega)\}^2+\{g(\omega^2)\}^2=3(p^2+2qr),\) যেখানে \(\omega\) এককের ঘনমূলগুলোর একটি জটিল মূল। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(P(x)=ax^2+bx+c\)
ক. \(x^2-4x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর। ২
খ. \(P(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে \(ax^2-2bx+4c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ৪
গ. \(P(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য \(2\pi\) হলে প্রমাণ কর যে, \(b^2-4ac=4a^2\pi^2\) ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) \(z=x+iy\) একটি জটিল রাশি এবং \(g(x)=x^2+2x+q\) একটি ফাংশন।
ক. \(2-3i\) মূলবিশিষ্ট একটি সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(|z+3|=4\) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(g(x)=0\) সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হলে প্রমাণ কর যে, \(q^2-5q+8=0\) ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(f(\theta)=\sin{\theta}\)
ক. \(\cos^2{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\) এর মান বের কর। ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(\sin^{-1}{\{\sqrt{2}f(\theta)\}}+\sin^{-1}{\left\{\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)}\right\}}=\frac{\pi}{2}\) ৪
গ. সমাধান করঃ \(f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\sqrt{3}f(\theta)=\sqrt{2}\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) \(A(1, -2)\) একটি বিন্দু এবং \(f(x, y)=x^2-8x-4y+20\) একটি ফাংশন।
ক. \(4x^2+7y^2=28\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২
খ. নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(3x-4y=1\) হলে পরাবৃত্তের সমীকরণ বের কর যার শীর্ষবিন্দু \(A\)। ৪
গ. \(f(x, y)=0\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, নিয়ামকের সমীকরণ ও অক্ষরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(4x^2+ay^2=1\) একটি কণিকের সমীকরণ।
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(\sqrt{3}\) উৎকেন্দ্রিকতাবিশিষ্ট একটি কণিকের নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(4\)।
ক. \((x-3)^2=4(y+2)\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাংক নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর কণিকটি \((0, \pm1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে কণিকটির অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য বের কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর কণিকের অক্ষদ্বয় স্থানাংকের অক্ষদ্বয় বরাবর হলে, কণিকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(\triangle{ABC}\) এর অন্তঃকেন্দ্র \(I\) বিন্দুতে \(P_{1}, \ P_{2}, \ P_{3}\) মানের তিনটি বল যথাক্রমে \(IA, \ IB, \ IC\) বরাবর ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে।
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(P\) ও \(Q\) মানের দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বল একটি কঠিন বস্তুর উপর ক্রিয়া করছে। \(P\) বলটির ক্রিয়া রেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দুকে \(Q\) এর দিকে \(b\) দূরত্বে সরানো হলো।
ক. \(F\) মানের দুইটি সমান বল কোনো বিন্দুতে \(60^{o}\) কোণে ক্রিয়া করে \(3\sqrt{3}N\) বলের সাহায্যে ভারসাম্য সৃষ্টি করে, \(F\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \(\frac{P_{1}}{\cos{\frac{A}{2}}}=\frac{P_{2}}{\cos{\frac{B}{2}}}=\frac{P_{3}}{\cos{\frac{C}{2}}}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, বলদ্বয়ের লব্ধি \(\frac{Pb}{P+Q}\) দূরে সরে যায়। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ একটি বস্তু কণা \(a\) সমত্বরণে একটি সরলরেখা বরাবর চলে \(t_{1}\) সময়ে \(y_{1}\) দূরত্ব এবং পরবর্তী \(t_{2}\) সময়ে \(y_{2}\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
দৃশ্যকল্প-২ঃএকটি বস্তু কণা \(u_{1}\) আদিবেগে প্রক্ষিপ্ত হলে বস্তুকণাটি সর্বাধিক \(y\) উচ্চতায় গমন করে।
ক. নির্দিষ্ট উচ্চতা \(h\) হতে \(5\) মি./সে. বেগে একটি বস্তুকণা খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করায় বস্তুকণাটি \(4\) সে. সময় পর ভূমিতে পতিত হয়। \(h\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, \(a=2\left(\frac{y_{2}}{t_{2}}-\frac{y_{1}}{t_{1}}\right)/(t_{1}+t_{2})\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-১ এ বস্তুকণার আনুভূমিক পাল্লা \(X\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(X=4\sqrt{\frac{y(u_{1}^2-2gy)}{2g}}\) ৪
সমাধান