১। \(A=\left(\begin{array}{c}1 & 4\\ 0 & 1\end{array}\right), \ B=\left(\begin{array}{c}1 & m\\ 0 & n\end{array}\right), \ C=\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4\end{array}\right)\)
এবং \(f(x)=x^2+5x+6\)
ক. \(P=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \ Q=\left(\begin{array}{c}4 & 5 & 6\end{array}\right)\) হলে, \((PQ)^{T}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(AB=I_{2}\) হলে, \(m\) ও \(n\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. \(f(c)\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(A=\left(\begin{array}{c}(b+c)^2 & a^2 & bc\\ (c+a)^2 & b^2 & ca \\ (a+b)^2 & c^2 & ab \end{array}\right), \ B=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right), \ C=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right), \ D=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)\)
ক. বিস্তার না করে প্রমাণ কর যে, \(\left|\begin{array}{c}1& bc & bc(b+c) \\1& ca & ca(c+a) \\1& ab & ab(a+b) \end{array}\right|=0\) ২
খ. দেখাও যে, \(det A=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\) ৪
গ. \(BC=D\) হলে, ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোট সমাধান কর। ৪
সমাধান

৩। \(L\equiv{(4, 3)}, \ M\equiv{(3, 5)}, \ N\equiv{(6, 4)}\)
ক. \(L\) বিন্দুর পোলার স্থানাংক নির্ণয় কর। ২
খ. \(LM\) রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(MN\) ও \(NL\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(P(1, 2), \ Q(2, 3)\) দুইটি বিন্দু এবং \(x^2+y^2-6x-4y+1=0\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(3x^2+3y^2-6x-12y+1=0\) বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। ২
খ. \(P\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। ৪
গ. \(P\) ও \(Q\) বিন্দুগামী এবং \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫।

ক. দেখাও য, \(\sin{\frac{\pi}{16}}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\) ২
খ. \(\angle{B}=60^{o}\) হলে দেখাও যে, \(2\cos{\frac{C-A}{2}}=\frac{c+a}{b}\) ৪
গ. \(ABC\) ত্রিভুজ হতে, \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(f(x)=\sin{x}\)

ক. \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-f(x)}{f^{\prime}(x)}\] এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(\frac{1}{f(3x)}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(y=f(a\sin^{-1}{x})\) হলে দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+ay^2=0\) ৪
সমাধান

৭। \(f(x, y)=y^2-4x-6y+20\)
\(g(x)=x^3-6x^2+9x+1\)

ক. \(\frac{d}{dx}\left\{(x^x)^x\right\}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(f(x, y)=0\) বক্ররেখার \((3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(g(x)\) ফাংশনটির লঘুমান ও গুরুমান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(f(x)=\sin{x}\)
\(g(x, y)=25x^+36y^2-900\)

ক. \(\int{\tan^{-1}{x}dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{9-\{f(x)\}^2}dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(g(x, y)=0\) বক্ররেখা এবং \(x=3\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান