১। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(\begin{array}{c}x-2y+2z=1\\ 2x+6y-z=1 \\ x+3y-3z=1\end{array}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(\triangle=\left|\begin{array}{c}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{array}\right|, \ \triangle_{1}=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 \\ yz & zx & xy \\ x & y & z \end{array}\right|\)
ক. দেখাও যে, \(\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 & -2 \end{bmatrix}\) একটি অভেদঘাতি (involutary) ম্যাট্রিক্স। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি নির্ণায়ক পদ্ধতিতে সমাধান কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে দেখাও যে, \(\triangle+\triangle_{1}=0\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ 2 & \ \ \ 1 \\0 & \ \ \ 1 & -1 \\3 & -1 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}, \ \triangle=\begin{bmatrix}x-1 & 2 & 3 \\1 & x-1 & 1 \\3 & 2 & x-1 \end{bmatrix}\)
ক. \(K\) এর কোন মানের জন্য \(A=\begin{bmatrix} K-3 & -1 \\ -2 & K-2 \end{bmatrix}\) ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে? ২
খ. উদ্দীপক হতে \(A^3-3A^2-A+9I=0\) এর সাহায্যে \(A^{-1}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকের সাহায্যে \(|\triangle+I|=0\) সমীকরণের সমাধান কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\)
\(AD\parallel{BC}, \ \angle{ACD}=90^{o}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(A(8, 3)\) এবং \(B(p, q), \ AB\) এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ \(y=-2x+4\)
ক. \(x-2y+1=0\) এবং \(3x-y+5=0\) সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে \(D\) বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-2 ব্যবহার \(p\) এবং \(q\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(x^2+y^2-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(3x+4y-9=0\)
ক. বৃত্তের কেন্দ্র \(\left(6, \frac{\pi}{4}\right)\) ব্যাসার্ধ \(5\) একক হলে, বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত বৃত্তে এরূপ দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উদ্দীপকের স্পর্শকের উপর লম্ব। ৪
গ. \((4, -3)\) বিন্দু থেকে উদ্দীপকের বৃত্তটির উপর অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য এবং সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\)
\(ON\parallel{ON^{\prime}}\)
ক. \(\tan{\theta}=\frac{y}{x}\) হলে, দেখাও য, \(x\cos{2\theta}+y\sin{2\theta}=x\) ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ ব্যবহার করে \(AB\) দূরত্ব নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\frac{1}{T-m}+\frac{1}{T-l}=\frac{3}{T}\) হলে, দৃশ্যকল্প-2 এর ত্রিভুজের \(R\) কোণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=(ax)^n; \ g(x)=17-15x+9x^2-x^3\)
ক. \(y=\sqrt{\sin{\sqrt{x}}}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. লিমিটের সাহায্যে \(f(x)\) এ অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(g(x)\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং বৃদ্ধি পায় তা নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(f(x)=\frac{x}{(x+1)^2(x+2)}\)
ক. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\cos{x}}.\sin^3{x}dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-২ হতে \(\int{f(x)dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত চিত্রের ছায়াবৃত্ত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(f(x)=3x^2+2x+7\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(g(x)=54x-(2x-7)^3\)
ক. দেখাও যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-3x}}{x}=\frac{5}{2}\] ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((2, 23)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে ফাংশনটির লঘুমান ও গুরুমান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান