১। \(\blacktriangleright\) \(A=\begin{bmatrix}p & p+1 & p+1\\p+1 & p & p+1\\p+1 & p+1 & p\end{bmatrix}\)
ক. বিস্তার না করে \(\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\6 & 7 & 8\end{bmatrix}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে \(A^2-7A-8I_{3}\) নির্ণয় কর; যখন \(p=2\) ৪
গ. \(AX=B\) হলে নির্ণায়কের সাহায্যে \('X'\) নির্ণয় কর; যেখানে \(p=1, \ B=\begin{bmatrix}11\\10\\9\end{bmatrix}\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(px+qy+rz=1\)
\(p^2x+q^2y+r^2z=a\)
\((p^3-1)x+(q^3-1)y+(r^3-1)z=a^2\)

ক. প্রমাণ কর যে, \(\begin{bmatrix} \ \ \ 4 & \ \ \ 3\\-4 & -3\end{bmatrix}\) একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স। ২
খ. উদ্দীপকের সমীকরণগুলোকে \(AX=B\) য়াকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, \(pqr=1\) যখন \(Det(A)=0\) এবং \(p\ne{q}\ne{r}\) ৪
গ. \(p=1, \ q=2, \ r=-1\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\)

ক. \(X\) অক্ষ এবং \((5, 4)\) বিন্দু হতে \((1, t)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে \(t\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(ON\) রেখার সমান্তরাল এবং উহা হতে \(6\sqrt{2}\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(18\) বর্গ একক হলে \(AB\) এর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\)

ক. \(r-2\cos{\theta}+4\sin{\theta}=0\) বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয় কর। ২
খ. এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(y\) অক্ষকে \(B\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(x\) অক্ষ হতে \(AB\) এর সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে। ৪
গ. উদ্দীপকের বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) \(A+B+C=\frac{\pi}{2}\)
ক. প্রমাণ কর যে, \(\cos{5\theta}=16\cos^5{\theta}-20\cos^3{\theta}+5\cos{\theta}\) ২
খ. উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, \(\cos{(B+C)}+\cos{(C+A)}+\cos{(A+B)}=1+4\sin{\frac{\pi-2B}{4}}\sin{\frac{\pi-2A}{4}}\sin{\frac{\pi-2C}{4}}\) ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে যদি, \(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\sqrt{3}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(A=B=C\) ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) \(\phi(x)=\cos{x}\)
ক. কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য \(3a, \ 5a\) ও \(7a\) একক হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(\phi(2x)\phi(4x)\phi(8x)\phi(14x)\) এর মান নির্ণয় কর যখন \(x=\frac{\pi}{15}\)। ৪
গ. \(p\phi(x)+q\phi(y)=r=p\phi\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+q\phi\left(\frac{\pi}{2}-y\right)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi\left(\frac{x-y}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{2r^2-(p-q)^2}{4pq}}\) ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\sin{x}\)
ক. মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^2}{1-\cos{ax}}\] ২
খ. \(y=f\{f(x)\}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}\tan{x}+[1-\{f(x)\}^2]y=0\) ৪
গ. \(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\) হলে, \(3+2f(x)+3\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right\}^2\) এর চরম মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) \(g(x)=e^x\)
ক. \(x\) অক্ষের সাথে \(y=\sin{x}\) বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ যে কোনো একটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int{\frac{g(2x)}{\{g(x)-1\}\{g(2x)+1\}}dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}{\ln{|g(x)|}\sin^2{x}dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান