১। \(z=x+iy\)
এবং \(p^2+p+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)

ক. \(\sqrt[4]{-2401}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(|z+4|+|z-4|=10\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের নাম উল্লেখসহ সমীকরণটি নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(\alpha^s+\beta^s=-1,\) যখন \(s\) এর মান \(3\) দ্বারা বিভাজ্য নয় এরূপ পূর্ণসংখ্যা। ৪
সমাধান

২। দৃশ্যকল্প-১ঃ \(3x^2+4x+7=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(f(x)=x^3-px^2+qx-r\)
ক. \(\lambda\) এর কোণ মানের জন্য \((\lambda+1)x^2+2(\lambda+2)x+(\lambda-3)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে? ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে \(\alpha^{-2}\) ও \(\beta^{-2}\) মূলবিশীষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে, \(\sum{\frac{1}{\alpha^3}}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। দৃশ্যকল্প-১ঃ \(ax^2+bx+c=0\) এবং \(bx^2+cx+a=0\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(8x^3-36x^2+22x+21=0\)
ক. \(z_{1}=3+3i, \ z_{2}=4+5i\) হলে দেখাও যে, \(\overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}\) ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর দ্বিঘাত সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, \(a^3+b^3+c^3=3abc\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণের মূলত্রয় সমান্তর প্রগনভুক্ত হলে মূলগুলো নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। দৃশ্যকল্প-১ঃ \(q=\tan^{-1}{p}, \ -\infty\lt{p}\lt{\infty}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(f(x)=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\)
ক. \(\sin{\cos^{-1}{\tan{\sec^{-1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}}}}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর সাহায্যে \(\{f(x)\}^2+4\{f(x)\}-5=0\) সমীকরণটি সমাধান কর। ৪
সমাধান

৫। দৃশ্যকল্প-১ঃ \(4x^2-9y^2-16x+54y-101=0\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ

ক. \(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{3}=1\) অধিবৃত্তটির অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর কণিকটিকে প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। দৃশ্যকল্প-১ঃ একটি সুষম রডের এক প্রান্তে \(10\) কেজি ওজনের একটি বস্তু ঝুলানো হলে ঐ প্রান্ত হতে \(2\) মিটার দূরে একটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থির থাকে।
দৃশ্যকল্প-২ঃ একটি হেলানো মসৃন তলের দৈর্ঘ্য ও ভূমির সমান্তরাল বরাবর যথাক্রমে \(F_{1}\) ও \(F_{2}\) বলদ্বয় ক্রিয়ারত থেকে প্রত্যেকে এককভাবে তলের উপরস্থ \(W\) ওজনের একটি বস্তুকে স্থিরভাবে ধরে রাখতে পারে।
ক. একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(8N\) ও \(5N\) মানের বলদ্বয়ের লব্ধি \(7N\) হলে, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর। ২
খ. খুঁটির উপর চাপের পরিমাণ \(40\) কেজি ওজন হলে রডের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(W=\frac{F_{1}F_{2}}{\sqrt{F_{2}^2-F_{1}^2}}\) ৪
সমাধান

৭। দৃশ্যকল্প-১ঃ একজন সাঁতারু \(S\) মিটার প্রসশস্ত নদী স্রোত না থাকলে সোজাসুজি পাড়ি দিতে \(t\) মিনিট সময় লাগে। কিন্তু স্রোত থাকলে তা পার হতে \(t^{\prime}\) মিনিট সময় লাগে।
দৃশ্যকল্প-২ঃ একটি বুলেট কোনো দেওয়ালের ভিতর \(1\) সে.মি. ঢুকবার পর এর বেগ এক-তৃতীয়াংশ হারায়।
ক. একটি ট্রেন \(20 m/s\) আদিবেগে এবং \(4 m/s^2\) সমত্বরণে চলমান হলে ৪র্থ সেকেন্ডে ট্রেনটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে? ২
খ. প্রমাণ কর যে, স্রোতের বেগ \(=S\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^{\prime^2}}}\) ৪
গ. বুলেটটির বেগ শূন্য হওয়ার পূর্বে দেওয়ালের ভিতর আরও কতদূর ঢুকবে? ৪
সমাধান

৮। দৃশ্যকল্প-১ঃ একটি বাস স্থিরাবস্থা থেকে \(10\) সেকেন্ডে \(300\) মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। বাসটি যাত্রা পথের প্রথম অংশ \(P_{1}\) সমত্বরণে এবং দ্বিতীয় অংশ \(P_{2}\) সমমন্দনে চলে।
দৃশ্যকল্প-২ঃ

ক. স্থিরাবস্থা হতে \(4 m/s^2\) সমত্বরণে চলমান বস্তুর \(30\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \(\frac{1}{P_{1}}+\frac{1}{P_{2}}=\frac{1}{6}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর প্রক্ষেপকটির আনুভূমিক পাল্লা নির্ণয় কর। ৪
সমাধান