১। \(P=\frac{1+5i}{1+i}, \ Q=3-2i\), \(2x=-1+\sqrt{-3}, \ 2y=-1-\sqrt{-3}\)
ক. \(-3+4\sqrt{-1}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর। ২
খ. \(\overline{Q}-2P\) এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(3x^4+x^3y+xy^2+y^4=-3\) ৪
সমাধান

২। দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{l-x}-\frac{1}{m}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(g(x)=x^2+\frac{q}{p}x+\frac{r}{p}\)
ক. \(z=x+iy\) হলে \(Re\left(\frac{1}{\overline{z}}\right)=\frac{1}{2}\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথটি নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর \(n\) হলে প্রমাণ কর যে, \(l=2m\pm{\sqrt{4m^2+n^2}}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২: এ \(g(x)=0\) সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হলে দেখাও যে, \(\frac{p}{r}=\left(\frac{p-q}{r-q}\right)^3\) এবং \(3q-p-r=\frac{q^3}{pr}\) ৪
সমাধান

৩। দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=3x^3-2x^2+x-4\)
দৃশ্যকল্প-২: \(g(x)=x^4+3x^3+x^2+13x+30\)
ক. কোন শর্তে \(2x^2-2(a+b)x+a^2+b^2=0\) সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব হবে? ২
খ. দৃশ্যকল্প-১: এ \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(a, b, c\) হলে, \(\sum{\frac{1}{a^2b}}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২: এ \(g(x)=0\) সমীকরণের একটি মূল \(1-2i\) হলে সমীকরণটির সমাধান কর। ৪
সমাধান

৪। দৃশ্যকল্প-১: \(P=\cos^{-1}{\left(\frac{x}{3}\right)}, \ Q=\cos^{-1}{\left(\frac{y}{2}\right)}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\sin{x}\)
ক. \(\cos^2{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}-\sin^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১: এ \(P+Q=\theta\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(4x^2-12xy\cos{\theta}+9y^2=36\sin^2{\theta}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২: এ \((0, 2\pi)\) ব্যাবধিতে \(f(x)+f(2x)+f(3x)=1+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\) সমীকরণটির সমাধান কর। ৪
সমাধান

৫।

ক. \(x^2=8(1-y)\) পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে \(P\) এর সঞ্চারপথটির সমীকরণ নির্ণয় কর যেখানে উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) উপকেন্দ্র \(S\) এবং নিয়ামক রেখা \(MZM^{\prime}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এ \(S\) ও \(S^{\prime}\) উপকেন্দ্র, কেন্দ্র হতে নিয়ামকরেখার দূরত্ব \(3\) একক হলে, অধিবৃত্তটির সমীকরণ এবং অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। দৃশ্যকল্প-১:
দৃশ্যকল্প-২: \(16\) মিটার দীর্ঘ \(18\) কেজি ওজনের একটি সুষম তক্তা দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি \(A\) প্রান্ত এবং অপরটি \(B\) প্রান্ত হতে \(2\) মিটার ভিতরে অবস্থিত।
ক. একজন ফেরিওয়ালা একটি লাঠি কাঁধের উপর আনুভূভিমকভাবে রেখে এর এক প্রান্তে হাত রেখে অপর প্রান্তে \(12\) কেজি ওজনের একটি বস্তু বহন করছে। যদি তার কাঁধ হতে বস্তু ও হাতের দূরত্ব যথাক্রমে \(2\) মিটার ও \(3\) মিটার হয়, তবে কাঁধের উপর চাপের পরিমাণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১: এ \(CD=r\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি সুষম গোলকের এক প্রান্ত \(AD=l\) দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি অপ্রসারণশীল সুতার সাহায্যে কোনো খাড়া দেয়ালে আটকানো। এটি দেয়ালকে \(B\) বিন্দুতে স্পর্শ করে। প্রমাণ কর যে, দেয়ালের প্রতিক্রিয়া বল, \(R=\frac{wa}{\sqrt{2al+l^2}}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২: হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে \(B\) প্রান্তে পৌঁছালে বালকের ওজন কত? ৪
সমাধান

৭। দৃশ্যকল্প-১:
দৃশ্যকল্প-২: একটি রেলগাড়ি এক স্টেশন হতে ছেড়ে \(3\) মিনিটে \(12\) কিমি দূরের পরবর্তী স্টেশনে থামে। গাড়িটি তার গতিপথের দুই-তৃতীয়াংশ সমত্বরণে এবং অবশিষ্টাংশ সমমন্দনে চলে।
ক. একটি বস্তুর উপর \(2\) মিটার/সেকেন্ড, \(3\) মিটার/সেকেন্ড এবং \(2\sqrt{5}\) মিটার/সেকেন্ড বেগত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা রক্ষা করে। ক্ষুদ্রতম বেগ দুইটির অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১: এ \(u\) এর দিক বরাবর \(w\) এর লম্বাংশ \(3v\) হলে দেখাও যে, \(\alpha=\frac{2}{3}\sin^{-1}{\left(\sqrt{\frac{u}{6v}}\right)}\) এবং \(w=\sqrt{9v^2-u^2+6uv}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২: হতে রেলগাড়ির সর্বোচ্চ বেগ, সমত্বরণ ও সমমন্দন নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৮। দৃশ্যকল্প-১: একটি শূন্য কূপের মধ্যে একটি ভারি বস্ত ফেলার \(5.5\) সেকেন্ড পরে এর তলদেশে ভারি বস্তুটির পতনের শব্দ শোনা গেল।
দৃশ্যকল্প-২: একটি খাড়া দেয়ালের পাদদেশ হতে ভূমি বরাবর \(75\) মিটার দূরত্বের কোনো বিন্দু হতে \(45^{o}\) কোণে একটি বস্তু নিক্ষেপ করা হলো। বস্তুটি দেয়ালের ঠিক উপর দিয়ে চলে গেল এবং দেয়ালের অপর পার্শ্বে \(45\) মিটার দূরত্বে গিয়ে ভূমিতে পতিত হলো।
ক. \(20ms^{-1}\) বেগে উর্ধগামী কোনো বেলুন হতে পতিত এক টুকরা পাথর \(15\) সেকেন্ডে মাটিতে পতিত হয়। যখন পাথরের টুকরা পতিত হয়, তখন বেলুনের উচ্চতা কত? ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে শব্দের বেগ \(327\) মিটার/সেকেন্ড হলে, কূপের গভীরতা নির্ণয় কর। (\(g=9.81 \ \text{মিটার/সেকেন্ড}^2\)) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, দেয়ালটির উচ্চতা \(h=28.125\) মিটার। ৪
সমাধান