১। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(z_{1}=-1+\sqrt{3}i\) এবং \(z_{2}=1-\sqrt{3}i\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(g(x)=l+mx+nx^2\)
ক. \(i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর। ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(arg(z_{1}z_{2})=arg(z_{1})+arg(z_{2})\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ এ \(l+m+n=0\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\{g(\omega)\}^3+\{g(\omega^2)\}^3=27lmn\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=3x^2-4x+1\) এবং \(P(x)=x^3-7x^2+8x+10\)
ক. \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর। ২
খ. \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(|\alpha-\beta|\) এবং \(\alpha^2+\beta^2\) মূলবিশীষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(P(x)=0\) সমীকরণের একটি মূল \(5\) হলে, অপর মূলগুলি নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) \(q(x)=lx^2+mx+n\)
\(r(x)=nx^2+mx+l\)
এবং \(\overline{z}=x+iy\)
ক. দেখাও যে, \(p=q\) না হলে, \(2x^2-2(p+q)x+(p^2+q^2)=0\) সমীকরণের মূলগুলি বাস্তব হতে পারে না। ২
খ. \(|z+3|+|\overline{z}-3|=10\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণের শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর। ৪
গ. \(r(x)=0\) সমীকরণের একটি মূল \(q(x)=0\) সমীকরণের একটি মূলের দ্বিগুণ হলে, দেখাও যে, \(l=2n\) অথবা \(2m^2=(l+2n)^2\) ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\sin^{-1}{p}+\sin^{-1}{q}+\sin^{-1}{r}\)
\(A=\cos{x}-\cos{2x}\)
\(R=1-\cos{x}\)
ক. প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\) ২
খ. \(f(x)=\pi\) হলে, দেখাও যে, \(p\sqrt{1-p^2}+q\sqrt{1-q^2}+r\sqrt{1-r^2}=2pqr\) ৪
গ. সমাধান করঃ \(\frac{A}{R}=1;\) যখন \(0\lt{x}\lt{\pi}\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(3x^2+9x-6y-8=0\) একটি কণিকের সমীকরণ।
দৃশ্যকল্প-২ঃ একটি কণিকের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(10\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
ক. \(3y^2-5x^2=15\) কণিকটির উপকেন্দ্র নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লেখিত কণিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাংক ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. স্থানাংকের অক্ষদ্বয়কে দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত কণিকের অক্ষদ্বয় বিবেচনা করে এর সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ একটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((1, 1)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(2x+y-1=0\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ

ক. \(2x^2+y^2=2\) কণিকটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর উৎকেন্দ্রিকতা \(3\) হলে, কণিকটির অসীমতট রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(2l\) দীর্ঘ এবং \(P\) ওজনবিশিষ্টি একটি সুষম তক্তা \(d\) দূরত্বে অবস্থিত দুইটি খুঁটির উপর অনুভূমিকভাবে অবস্থিত। একে না উল্টিয়ে এর দুই প্রান্তে পর্যায়ক্রমে \(Q\) এবং \(R\) ওজন ঝুলানো যায়।
ক. \(7\) ও \(8\) কিলোগ্রাম ওজনের দুইটি বলের লব্ধি \(13\) কিলোগ্রাম হলে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে \(L, \ M, \ N\) বল তিনটি \(O\) বিন্দুতে ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে। প্রমাণ কর যে, \(N^2=M(M-L)\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, \(\frac{Q}{P+Q}+\frac{R}{P+R}=\frac{d}{l}\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ স্থিরাবস্থা হতে সরলরেখায় চলমান একটি বস্তুকণা প্রথমে \(y\) সমত্বরণে এবং পরে \(z\) সমমন্দনে চলে।
দৃশ্যকল্প-২ঃ একটি স্তম্ভের শীর্ষ থেকে \(98\) মি./সেকেন্ড বেগে \(A\) বস্তুকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলো। \(2\) সেকেন্ড পরে একই বিন্দু হতে অপর একটি \(B\) বস্তুকে ছেড়ে দেওয়া হলো।
ক. \(64\) মিটার উঁচু দালানের ছাদ থেকে একটি পাথর ছেড়ে দিলে ভূমিতে পড়তে কত সময় লাগবে? ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ কণাটি যদি \(t\) সময়ে \(d\) দূরত্ব অতিক্রম করে তবে দেখাও যে, \(t=\sqrt{2d\left(\frac{y+z}{yz}\right)}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এ বস্তু দুইটি ভূমি হতে কত উচ্চতায় মিলিত হবে তা নির্ণয় কর। ৪
সমাধান