১। \(\blacktriangleright\) \(z_{1}=-1-i\sqrt{3}, \ z_{2}=\sqrt{3}-i\)
ক. \(z_{1}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর। ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(Arg\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=Arg(z_{1})-Arg(z_{2})\) ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(\left(\frac{1}{2}\overline{Z_{1}}\right)^n+\left(\frac{1}{2}Z_{1}\right)^n=2\) যখন \(n\) এর মান যথাক্রমে \(3\) দ্বারা বিভাজ্য অথবা, \(-1,\) যখন \(n\) এর মান অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=a+bx+cx^2, \ g(x)=px^2+qx+r\)
ক. \(\sqrt[4]{-81}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. যদি \(f(1)=0\) হয়, তবে প্রমণ কর যে, \(\{f(\omega)\}^{3}+\{f(\omega^2)\}^{3}=27abc\) যখন \(\omega\) এককের একটি জটিল ঘনমূল। ৪
গ. যদি, \(g(x)=0\) সমীকরণের মূল দুইটি \(\gamma\) ও \(\delta\) হয়, তবে \(rp(x^2+1)-(q^2-2rp)x=0\) সমীকরণের মূল দুইটি \(\gamma\) ও \(\delta\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=mx^2+nx+l\)
ক. \(3x^3-2x^2+1=0\) সমীকরণের মূলগুলি \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে, \(\sum{\alpha^2}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. যদি \(f(x)=0\) সমীকরণের মূল দুইটি \(p\) ও \(q\) হয়, তবে দেখাও যে, \((mp+n)^{-2}+(mq+n)^{-2}=\frac{n^2-2lm}{l^2m^2}\) ৪
গ. \(f(y)=0\) এবং \(f\left(\frac{1}{y}\right)=0\) সমীকরণের একটি মূল সাধারণ হয়, তবে দেখাও যে, \(l+m=\pm{n}\) ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\sin^{-1}{x}, \ g(x)=\cos{x}\)
ক. সমাধান করঃ \(\tan{2\theta}\tan{\theta}=1\) ২
খ. দেখাও যে, \(f\left\{\sqrt{2}g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}+f\left(\sqrt{g(2\theta)}\right)=\frac{\pi}{2}\) ৪
গ. সমাধান করঃ \(g(x)+\sqrt{3}g^{\prime}(x)=\sqrt{2}\) যখন \(-\pi\lt{x}\lt{\pi}\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(f(y)=ay^2+by+c\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ

ক. \(y^2=8x+5\) কণিকের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে, \(x=f(y)\) কণিকের শীর্ষবিন্দু \((3, -2)\) এবং এটি \((5, 0)\) বিন্দুগামী হলে \(a, \ b, \ c\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\)

ক. \(9x^2-4y^2=36\) কণিকের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকের সাহায্যে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকের \(A\) ও \(A^{\prime}\) কে উপকেন্দ্র ধরে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি নিয়ামকের সমীকরণ, \(5x-36=0\) ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\)

ক. যদি কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(a\) ও \(b \ (a\gt{b})\) বলের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণকে এক-তৃতীয়াংশে বিভক্ত করে, তবে বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকে অন্তঃকেন্দ্র \(I\) গামী \(P, \ Q, \ R\) বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, \(P:Q:R=\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}:\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}:\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\) ৪
গ. উদ্দীপকের \(P, \ Q, \ R\) বলগুলি ক্রিয়া না করলে, শুধুমাত্র \(A, \ B, \ C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(U, \ V, \ W\) মানের সদৃশ, সমান্তরাল বলের লব্ধি পরিকেন্দ্র \(O\) গামী হলে প্রমাণ কর যে, \(U:V:W=a\cos{A}:b\cos{B}:c\cos{C}\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\)

ক. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(a\) ও \(b\) বেগদ্বয়ের লব্ধি \(c\) এবং \(a\) এর দিক বরাবর \(c\) এর লম্বাংশের পরিমাণ \(b\) হলে দেখাও যে, \(c=\sqrt{b^2-a^2+2ab}\) ২
খ. উদ্দীপকের \(A\) বিন্দু হতে একটি গাড়ি \(AB\) বরাবর যাত্রা করে প্রথমে \(x\) সুষম ত্বরণে এবং পরে \(y\) সুষম মন্দনে চলে। যদি তা \(t\) সময়ে \(B\) বিন্দুতে গিয়ে থামে, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{t^2}{2AB}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে প্রক্ষেপক দুইটির ভ্রমণকাল \(t_{1}\) ও \(t_{2}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{t_{1}^2-t_{2}^2}{t_{1}^2+t_{2}^2}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\sin{(\alpha+\beta)}}\) ৪
সমাধান