১। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(x=(a+b\omega+c\omega^2), \ y=(a+b\omega^2+c\omega)\)
উদ্দীপক-২ঃ \(7+i8=(p+iq)^3\)
ক. এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল \(\omega\) হলে দেখাও যে, \(\left(1+\omega+\frac{3}{\omega}\right)^6=64\) ২
খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে, যদি \(x^3+y^3=0\) হয় তবে দেখাও যে, \(b=\frac{1}{2}(c+a)\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \(p^2-q^2=\frac{7}{4p}+\frac{2}{q}\) ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপকঃ দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+b=0, \ (a\ne{0})\)
ক. \(2x^2-2(p+q)x+(p^2+q^2)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, প্রমাণ কর যে, \(p=q\) ২
খ. উদ্দীপকের মূলদ্বয়ের অনুপাত \(m:3n\) হলে, প্রমণ কর যে, \(\sqrt{\frac{m}{n}}+3\sqrt{\frac{n}{m}}+\sqrt{\frac{3b}{a}}=0\) ৪
গ. \(a=1, \ b=-4\) এবং উদ্দীপকের সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, \((\alpha+\beta)\) ও \((\alpha-\beta)\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(2mx^2+nx+l=0\) এবং \(nx^2+2mx+l=0\)
উদ্দীপক-২ঃ\(x^3+px^2+qx+r=0\)
ক. \(x^3+(p^2-3)x-(2p^2+2)=0\) সমীকরণের একটি মূল \(-1+ip\) হলে, সমীকরণটি সমাধান কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এর সমীকরণ দুইটির একটিমাত্র সাধারণ মূল থাকলে, প্রমাণ কর যে, \(2m+n+1=0\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ এর সমীকরণটির মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে, \(\sum{(\alpha-\beta)^2}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(\cos{x}=\frac{p}{a}, \ \cos{y}=\frac{q}{b}\)
উদ্দীপক-২ঃ \(f(\theta)=\sin{\theta}\)
ক. প্রমাণ কর যে, \(\tan^{-1}{\frac{2}{5}}=\frac{\pi}{2}-cosec^{-1}{\frac{\sqrt{29}}{5}}\) ২
খ. উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে \(x+y=\alpha\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(b^2p^2-2abpq\cos{\alpha}+a^2q^2=a^2b^2\sin^2{\alpha}\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে সমাধান করঃ \(f(x)-\sqrt{1-\{f(x)\}^2}=1, \ -2\pi\lt{x}\lt{2\pi}\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(16x^2+25y^2-32x+100y-284=0\)
উদ্দীপক-২ঃ

ক. \(4x^2-9y^2=36\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এর নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপক-২ এর চিত্রটি একটি পরাবৃত্তের এবং শীর্ষবিন্দু \(A(0, 4)\) হলে, \(CB\) রেখার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ একটি উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-2, 3)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উদ্দীপক-২ঃএকটি অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(18\)
ক. \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এর উপবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+2y-1=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে স্থানাংকের অক্ষ ধরে উদ্দীপক-২ এর অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ \(x cm\) দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি সুতার একপ্রান্ত একটি উল্লম্ব দেওয়ালে আটকানো এবং অন্য প্রান্ত \(x cm\) ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি সুষম গোলকের সাথে যুক্ত আছে।
উদ্দীপক-২ঃ

ক. কোনো বিন্দুতে \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত \(P\) মানের দুইটি সমান বলের লব্ধি \(\theta\) কোণ সৃষ্টি করলে, দেখাও যে, \(\theta=\frac{\alpha}{2}\) ২
খ. উদ্দীপক-১ এর গোলকের ওজন \(8 kg\) হলে, সুতার টান নির্ণয় কর। ৪
গ. উদ্দীপকের \(P, \ Q, \ R\) বলগুলি ক্রিয়া না করলে, শুধুমাত্র \(A, \ B, \ C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(U, \ V, \ W\) মানের সদৃশ, সমান্তরাল বলের লব্ধি পরিকেন্দ্র \(O\) গামী হলে প্রমাণ কর যে, \(U:V:W=a\cos{A}:b\cos{B}:c\cos{C}\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) উদ্দীপক-১ঃ
উদ্দীপক-২ঃ

ক. স্রোত না থাকলে এক ব্যাক্তি \(240\) মিটার প্রশস্থ একটি নদী সাঁতার দিয়ে \(6\) মিনিটে সোজাসুজিভাবে পার হয়। কিন্তু স্রোত থাকলে ঐ একই পথ \(10\) মিনিটে পার হতে পারে। সাঁতারুর গতিবেগ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপক-১ এ বস্তুটির সমত্বরণ \(f_{1},\) সমমন্দন \(f_{2}\) এবং \(t\) সময় পরে \(A\) হতে \(S\) দূরত্বে \(C\) বিন্দুতে থেমে যায়, প্রমাণ কর যে, \(S=\frac{t^2f_{1}f_{2}}{2(f_{1}+f_{2})}\) ৪
গ. উদ্দীপক-২ এ \(A\) বিন্দু হতে প্রক্ষিপ্ত বস্তুটির \(C\) বিন্দুতে বেগের দিক আনুভূমিকের সমান্তরাল হলে, প্রমাণ কর যে, \(CD\) দেওয়ালের উচ্চতা \(\frac{ab}{a+b}\) ৪
সমাধান