১। \(\blacktriangleright\) \(z=x+iy\) জটিল সংখ্যাটির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা \(\overline{z}\)।
ক. \(\sqrt[4]{-49}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(x=2\) এবং \(y=2\) হলে, \(z\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর। ৪
গ. \(|z+4|-|\overline{z}-4|=10\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(3x^2-4x+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(a\) ও \(b\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(x^2-qx+r=0\) সমীকরণের মূল দুইটি \(\alpha\) ও \(\beta\)
ক. \(9x^2-(k+2)x+4\) রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে \(a+\frac{1}{b}\) ও \(b+\frac{1}{a}\) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর \(\alpha\) ও \(\beta\) ব্যবহার করে \(r(x^2+1)-(q^2-2r)x=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়কে \(\alpha\) ও \(\beta\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(5x^3-4x^2+1=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \ \beta\) ও \(\gamma\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ\(x^3-1=0\) সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় \(a\) ও \(b\)
ক. দেখাও যে, \(\sec^2{\left(\cot^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}+cosec^2{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\right)}=15.\) ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে \(\sum{\alpha^2\beta}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(a^n+b^n=2\) অথবা \(-1\) যখন \(n\) এর মান যথাক্রমে \(3\) দ্বারা বিভাজ্য অথবা অন্য কোনো পূর্ণ সংখ্যা। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(A=\sin^{-1}{\frac{2}{3}}, \ B=\cos^{-1}{\frac{3}{4}}, \ C=\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\) এবং \(f(x)=\sin{x}\)
ক. প্রমাণ কর যে, \(\cos^{-1}{x}=2\cos^{-1}{\frac{\sqrt{1+x}}{2}}\) ২
খ. প্রমাণ কর যে, \(A-\frac{1}{2}B+C=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{35}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\right)}\) ৪
গ. উদ্দীপকের আলোকে \(f(x)+f(2x)+f(3x)=0\) সমীকরণের সমাধান কর, যখন \(0\le{x}\le{\pi}\) ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\)
চিত্রের পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র \(S,\) শীর্ষ \(A\) এবং \(MZ\) নিয়ামকরেখা।
ক. \(3x^2-4y+6x-5=0\) পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. উদ্দীপকে উল্লেখিত \(A\) ও \(S\) বিন্দুর স্থানাংক যথাক্রমে \(A(2, 3)\) ও \(S(2, 7)\) হলে, পরবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. \(A\) বিন্দুর স্থানাংক \((-1, 3)\) এবং \(MZ\) রেখার সমীকরণ \(2x-3y+2=0\) হলে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ
দৃশ্যকল্প-২ঃ\(4x^2-9y^2-16x+54y-101=0\)
ক. \(3x^2+2y^2=1\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) হলে, এর সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর কণিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\)
চিত্রে \(O\) ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র
ক. দুইটি সমান বলের লব্ধির বর্গ বল দুইটির গুণফলের তিনগুণের সমান হলে, বল দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ \(P, \ Q, \ R\) বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{P}{a^2(b^2+c^2-a^2)}=\frac{Q}{b^2(a^2+c^2-b^2)}=\frac{R}{c^2(a^2+b^2-c^2)}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-১ এ \(P\) ও \(Q\) বল দুইটিকে \(S\) পরিমাণে বৃদ্ধি করলে যদি লব্ধি \(C\) বিন্দু হতে \(D\) বিন্দুতে স্থানান্তরিত হয়, তবে দেখাও যে, \(CD=\frac{S}{P-Q}AB.\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\)

ক. \(u\) বেগে এবং আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে প্রক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}.\) ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ সাঁতারুর \(AB\) দূরত্ব অতিক্রম করতে \(t\) সেকেন্ড এবং \(AC\) দূরত্ব অতিক্রম করতে \(t^{\prime}\) সেকেন্ড লাগলে দেখাও যে, \(t:t^{\prime}=\sqrt{u+v}:\sqrt{u-v}\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রক্ষিপ্ত বস্তুর আনুভূমিক পাল্লা নির্ণয় কর। ৪
সমাধান