শিক্ষা বোর্ড বরিশাল - 2017
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(x\) অক্ষের উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ-
\(x=a\) যা, মূলবিন্দুগামী
\(\Rightarrow a=0\)
\(\therefore x=0\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(y=0\)
গ \(y=mx\)
গ \(y=mx\)
খ \(x=0\)
ঘ \(y+k=0\)
\(x\) অক্ষের উপর লম্ব অর্থাৎ \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, ঘ \(y+k=0\)
\(x=a\) যা, মূলবিন্দুগামী
\(\Rightarrow a=0\)
\(\therefore x=0\)
উত্তরঃ ( খ )
২। \(x^2+y^2-12x+4y+6=0\) বৃত্তের ব্যাসের সমীকরণ-
এখানে, \(2g=-12, 2f=4, c=6\)
\(\Rightarrow g=-6, f=2, c=6\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\Rightarrow (6, -2)\)
যা, গ অপশনকে সিদ্ধ করে।
উত্তরঃ ( গ )
ক \(x+y=0\)
গ \(x+3y=0\)
গ \(x+3y=0\)
খ \(x=y\)
ঘ \(3x+2y=0\)
\(x^2+y^2-12x+4y+6=0\) ঘ \(3x+2y=0\)
এখানে, \(2g=-12, 2f=4, c=6\)
\(\Rightarrow g=-6, f=2, c=6\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\Rightarrow (6, -2)\)
যা, গ অপশনকে সিদ্ধ করে।
উত্তরঃ ( গ )
৩। ফাংশন \(f(x)=\frac{\sin^{-1}(x-3)}{\sqrt{9-x^2}}\)-এর ডোমেন হলো-
\(9-x^2>0\) হয়।
\(\Rightarrow -x^2>-9\)
\(\Rightarrow x^2<9\)
\(\Rightarrow x<\pm{3}\)
\(\Rightarrow x\in{(-3, 3)}\)
কিন্তু \(x\in{(-3, 3)}\) হলে, \(x\) এর সকল মানের \(\sin^{-1}{(x-3)}\) সংজ্ঞায়িত নয়।
কারণ, \(\sin{x}\) এর রেঞ্জ \([-1,1]\)
প্রদত্ত ফাংশনটির ডোমেন \(=[2, 3)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \([2, 3]\)
গ \([1, 2]\)
গ \([1, 2]\)
খ \([2, 3)\)
ঘ \([1, 2)\)
প্রদত্ত ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি ঘ \([1, 2)\)
\(9-x^2>0\) হয়।
\(\Rightarrow -x^2>-9\)
\(\Rightarrow x^2<9\)
\(\Rightarrow x<\pm{3}\)
\(\Rightarrow x\in{(-3, 3)}\)
কিন্তু \(x\in{(-3, 3)}\) হলে, \(x\) এর সকল মানের \(\sin^{-1}{(x-3)}\) সংজ্ঞায়িত নয়।
কারণ, \(\sin{x}\) এর রেঞ্জ \([-1,1]\)
প্রদত্ত ফাংশনটির ডোমেন \(=[2, 3)\)
উত্তরঃ ( খ )
৪। \(\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{b}=\hat{j}+\hat{k}\) হলে \(|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=?\)
\(\overrightarrow{a}\times{\overrightarrow{b}}\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(1-0)\hat{i}-(1-0)\hat{j}+(1-0)\hat{k}\)
\(=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{a}\times{\overrightarrow{b}}|\)
\(=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{1+1+1}\)
\(=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(1\)
গ \(\sqrt{3}\)
গ \(\sqrt{3}\)
খ \(\sqrt{-1}\)
ঘ \(\sqrt{-3}\)
এখানে, ঘ \(\sqrt{-3}\)
\(\overrightarrow{a}\times{\overrightarrow{b}}\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(1-0)\hat{i}-(1-0)\hat{j}+(1-0)\hat{k}\)
\(=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{a}\times{\overrightarrow{b}}|\)
\(=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{1+1+1}\)
\(=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
৫। \(\overrightarrow{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{2}\hat{k}\)-এর একক ভেক্টরের জন্য-
\(i.\) \(\hat{a}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\)
\(ii.\) \(\hat{a}=1\)
\(iii.\) \(|\overrightarrow{a}|\ne 0\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\overrightarrow{a}\) একটি একক ভেক্টর।
\(\therefore \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\)
\(=\frac{\overrightarrow{a}}{1}\)
\(=\overrightarrow{a}\)
\(\therefore (i)\) বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(|\overrightarrow{a}|=1\)
\(\overrightarrow{a}\ne{1}\)
\(\therefore (ii)\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(|\overrightarrow{a}|=1\)
\(\therefore (iii)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) \(\hat{a}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\)
\(ii.\) \(\hat{a}=1\)
\(iii.\) \(|\overrightarrow{a}|\ne 0\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\overrightarrow{a}\) একটি একক ভেক্টর।
\(\therefore \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\)
\(=\frac{\overrightarrow{a}}{1}\)
\(=\overrightarrow{a}\)
\(\therefore (i)\) বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(|\overrightarrow{a}|=1\)
\(\overrightarrow{a}\ne{1}\)
\(\therefore (ii)\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(|\overrightarrow{a}|=1\)
\(\therefore (iii)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
৬। নিচের কোনটি নির্ণায়কের মাণ শুন্য?
\(\left|\begin{array}{c}4 & 0 & 8\\ 2 & 3 & 4\\1 & 5 & 2\end{array}\right|\)
\(=2\left|\begin{array}{c}4 & 0 & 4\\ 2 & 3 & 2\\1 & 5 & 1\end{array}\right|\)
\(=2\times{0}\) যেহেতু নির্ণায়কটির ১ম ও ৩য় কলাম অনুরূপ।
\(=0\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\left|\begin{array}{c}1 & 0 & 2\\ 2 & 0 & 1\\1 & 3 & 0\end{array}\right|\)
গ \(\left|\begin{array}{c}4 & 0 & 8\\ 2 & 3 & 4\\1 & 5 & 2\end{array}\right|\)
গ \(\left|\begin{array}{c}4 & 0 & 8\\ 2 & 3 & 4\\1 & 5 & 2\end{array}\right|\)
খ \(\left|\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right|\)
ঘ \(\left|\begin{array}{c}0 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 3\\0 & 6 & 0\end{array}\right|\)
এখানে, ঘ \(\left|\begin{array}{c}0 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 3\\0 & 6 & 0\end{array}\right|\)
\(\left|\begin{array}{c}4 & 0 & 8\\ 2 & 3 & 4\\1 & 5 & 2\end{array}\right|\)
\(=2\left|\begin{array}{c}4 & 0 & 4\\ 2 & 3 & 2\\1 & 5 & 1\end{array}\right|\)
\(=2\times{0}\) যেহেতু নির্ণায়কটির ১ম ও ৩য় কলাম অনুরূপ।
\(=0\)
উত্তরঃ ( গ )
৭। \(x^2+y^2-2x-4y+4=0\) বৃত্তের \((0, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ-
\(x.0+y.2-(x+0)-2(y+2)+4=0\)
\(\Rightarrow 0+2y-x-2y-4+4=0\)
\(\Rightarrow -x=0\)
\(\therefore x=0\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(x=0\)
গ \(y=0\)
গ \(y=0\)
খ \(x=2\)
ঘ \(y=2\)
\(x^2+y^2-2x-4y+4=0\) বৃত্তের \((0, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঘ \(y=2\)
\(x.0+y.2-(x+0)-2(y+2)+4=0\)
\(\Rightarrow 0+2y-x-2y-4+4=0\)
\(\Rightarrow -x=0\)
\(\therefore x=0\)
উত্তরঃ ( ক )
৮। একটি ফাংশনকে অনটু বা সার্বিক বলা হয় যদি-
\(i.\) ডোমেন=রেঞ্জ
\(ii.\) ডোমেন=কোডোমেন
\(iii.\) কোডোমেন=রেঞ্জ
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\therefore (i)\) বাক্যটি সত্য নয়।
ডোমেন=কোডোমেন হলে, ফাংশনটি সার্বিক হবে।
\(\therefore (ii)\) বাক্যটি সত্য।
কোডোমেন=রেঞ্জ হলে, ফাংশনটি সার্বিক হবে।
\(\therefore (iii)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
\(i.\) ডোমেন=রেঞ্জ
\(ii.\) ডোমেন=কোডোমেন
\(iii.\) কোডোমেন=রেঞ্জ
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ডোমেন=রেঞ্জ হলে, ফাংশনটি সার্বিক হবে না।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore (i)\) বাক্যটি সত্য নয়।
ডোমেন=কোডোমেন হলে, ফাংশনটি সার্বিক হবে।
\(\therefore (ii)\) বাক্যটি সত্য।
কোডোমেন=রেঞ্জ হলে, ফাংশনটি সার্বিক হবে।
\(\therefore (iii)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
৯। \(cosec (-660^{o})\) এর মাণ-
\(=-cosec (660^{o})\)
\(=-cosec (7\times{90^{o}}+30^{o})\)
\(=\sec{30^{o}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-\frac{2}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
খ \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(cosec (-660^{o})\)ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=-cosec (660^{o})\)
\(=-cosec (7\times{90^{o}}+30^{o})\)
\(=\sec{30^{o}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ ( গ )
১০। \(2\sin^2 15^{o}\) এর মাণ-
\(=1-\cos{(2\times{15^{o}})}\)
\(=1-\cos{30^{o}}\)
\(=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
খ \(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)
\(2\sin^2 15^{o}\)ঘ \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)
\(=1-\cos{(2\times{15^{o}})}\)
\(=1-\cos{30^{o}}\)
\(=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ ( ক )
১১। \(\theta\) কোণ \(0^{o}\)থেকে বেড়ে \(90^{o}\)হলে \(\sin{\theta}\) এর মাণ নিচের কোনটি?
\(=\sin{0}\) যখন \(\theta=0^{o}\)
\(=0\)
\(=\sin{90^{o}}\) যখন \(\theta=90^{o}\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(1\) থেকে কমে \(0\) হয়
গ \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
খ \(-1\) থেকে বৃদ্ধি পেয়ে \(0\) হয়
ঘ \(0\) থেকে বৃদ্ধি পেয়ে \(1\) হয়
\(\sin{\theta}\)ঘ \(0\) থেকে বৃদ্ধি পেয়ে \(1\) হয়
\(=\sin{0}\) যখন \(\theta=0^{o}\)
\(=0\)
\(=\sin{90^{o}}\) যখন \(\theta=90^{o}\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১২। নিচের কোনটি অসীম লিমিট?
\[=\frac{1}{0}\]
\[=\infty\]
উত্তরঃ ( ক )
ক \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^3}\]
গ \[\lim_{x \rightarrow 0}e^x\]
গ \[\lim_{x \rightarrow 0}e^x\]
খ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x^3}\]
ঘ \[\lim_{x \rightarrow 0}e^{-x}\]
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^3}\]ঘ \[\lim_{x \rightarrow 0}e^{-x}\]
\[=\frac{1}{0}\]
\[=\infty\]
উত্তরঃ ( ক )
১৩। \( \frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2x}}{\sin x+\cos x}\right)=?\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{\sin^2{x}+\cos^2{x}+2\sin{x}\cos{x}}}{\sin x+\cos x}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{(\sin{x}+\cos{x})^2}}{\sin x+\cos x}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin{x}+\cos{x}}{\sin x+\cos x}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(1)\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(1\)
গ \(2\sin 2x\)
গ \(2\sin 2x\)
খ \(0\)
ঘ \(2\cos 2x\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2x}}{\sin x+\cos x}\right)\)ঘ \(2\cos 2x\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{\sin^2{x}+\cos^2{x}+2\sin{x}\cos{x}}}{\sin x+\cos x}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{(\sin{x}+\cos{x})^2}}{\sin x+\cos x}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin{x}+\cos{x}}{\sin x+\cos x}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(1)\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( খ )
১৪। \(\triangle ABC\) ত্রিভুজে \(BC=3, \ CA=4\) এবং \(AB=5\) হলে-
\(i.\) \(C=\frac{\pi}{2}\)
\(ii.\) \(\triangle ABC\)এর পরিসীমা \(24\)
\(iii.\) \(\triangle ABC\)এর ক্ষেত্রফল \(=6\) বর্গ একক।
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2.BC.AC}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{3^2+4^2-5^2}{2.3.4}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{9+16-25}{24}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{0}{24}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{0}\)
\(=\cos^{-1}{\cos{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore (i)\) বাক্যটি সত্য।
\(\triangle ABC\)এর পরিসীমা \(=3+4+5\)
\(=12\)
\(\therefore (ii)\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(\triangle ABC\)এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times{3}\times{4}\)
\(=\frac{1}{2}\times{12}\)
\(=6\) বর্গ একক।
\(\therefore (iii)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) \(C=\frac{\pi}{2}\)
\(ii.\) \(\triangle ABC\)এর পরিসীমা \(24\)
\(iii.\) \(\triangle ABC\)এর ক্ষেত্রফল \(=6\) বর্গ একক।
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\triangle ABC\) ত্রিভুজে \(BC=3, \ CA=4\) এবং \(AB=5\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2.BC.AC}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{3^2+4^2-5^2}{2.3.4}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{9+16-25}{24}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{0}{24}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{0}\)
\(=\cos^{-1}{\cos{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore (i)\) বাক্যটি সত্য।
\(\triangle ABC\)এর পরিসীমা \(=3+4+5\)
\(=12\)
\(\therefore (ii)\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(\triangle ABC\)এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times{3}\times{4}\)
\(=\frac{1}{2}\times{12}\)
\(=6\) বর্গ একক।
\(\therefore (iii)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
১৫। \(x^3+x^2y+xy^2=0\) একটি-
যেমনঃ \(x^2+y^2=a^2, 3x^2+2xy+y^2=a^2\) ইত্যাদি সকলে অব্যক্ত ফাংশন।
\(x\) ও \(y\) চলকদ্বয় একে অপরের অপ্রকাশ্য ফাংশন।
উত্তরঃ ( খ )
ক ব্যস্ত ফাংশন
গ পরামিতিক ফাংশন
গ পরামিতিক ফাংশন
খ অব্যক্ত ফাংশন
ঘ সংযোজিত ফাংশন
অব্যক্ত ফাংশনঃ (Implicit function) যে সমস্ত ফাংশনকে সরাসরি স্বাধীন চলকের সাহায্যে প্রকাশ করা যায় না, দুইটি চলকের মিশ্রণরূপে প্রকাশ করা হয় তাদের একটিকে অপরটির অব্যক্ত ফাংশন বলে। একে অপ্রকাশ্য ফাংশনও বলা হয়। ঘ সংযোজিত ফাংশন
যেমনঃ \(x^2+y^2=a^2, 3x^2+2xy+y^2=a^2\) ইত্যাদি সকলে অব্যক্ত ফাংশন।
\(x\) ও \(y\) চলকদ্বয় একে অপরের অপ্রকাশ্য ফাংশন।
উত্তরঃ ( খ )
১৬। \(\int{\ln{x}dx}=?\)
\(=\int{\ln{x}.1dx}\)
\(=\ln{x}\int{1dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{x})\int{1dx}\right\}dx}\)
\(=\ln{x}.x-\int{\frac{1}{x}.xdx}\)
\(=x\ln{x}-\int{1dx}\)
\(=x\ln{x}-x\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{1}{x}\)
গ \(x\ln x+x\)
গ \(x\ln x+x\)
খ \(x\ln x-x\)
ঘ \(\frac{1}{x^2}\)
\(\int{\ln{x}dx}\)ঘ \(\frac{1}{x^2}\)
\(=\int{\ln{x}.1dx}\)
\(=\ln{x}\int{1dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{x})\int{1dx}\right\}dx}\)
\(=\ln{x}.x-\int{\frac{1}{x}.xdx}\)
\(=x\ln{x}-\int{1dx}\)
\(=x\ln{x}-x\)
উত্তরঃ ( খ )
১৭। \(\int_{0}^{1}{\frac{3dx}{1+x^2}}=?\)
\(=3\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^2}dx}\)
\(=3[\tan^{-1}{x}]_{0}^{1}\)
\(=3[\tan^{-1}{1}-\tan^{-1}{0}]\)
\(=3[\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}-\tan^{-1}{\tan{0}}]\)
\(=3[\frac{\pi}{4}-0]\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{3\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
খ \(-\frac{3\pi}{4}\)
ঘ \(-\frac{\pi}{4}\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{3dx}{1+x^2}}\)ঘ \(-\frac{\pi}{4}\)
\(=3\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^2}dx}\)
\(=3[\tan^{-1}{x}]_{0}^{1}\)
\(=3[\tan^{-1}{1}-\tan^{-1}{0}]\)
\(=3[\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}-\tan^{-1}{\tan{0}}]\)
\(=3[\frac{\pi}{4}-0]\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৮। \(\int{\frac{e^{\theta}d\theta}{1+e^{\theta}}}=?\)
\(=\int{\frac{d\left(1+e^{\theta}\right)}{1+e^{\theta}}}\)
\(=\ln{\left(1+e^{\theta}\right)}+c\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\ln{\left(1+e^{\theta}\right)}+c\)
গ \(\ln{e^{\theta}}+c\)
গ \(\ln{e^{\theta}}+c\)
খ \(1+e^{\theta}+c\)
ঘ \(\theta+c\)
\(\int{\frac{e^{\theta}d\theta}{1+e^{\theta}}}\)ঘ \(\theta+c\)
\(=\int{\frac{d\left(1+e^{\theta}\right)}{1+e^{\theta}}}\)
\(=\ln{\left(1+e^{\theta}\right)}+c\)
উত্তরঃ ( ক )
১৯। যদি \(I_{3}\) একটি তিন ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয় তবে \((I_{3})^{-1}=?\)
একক ম্যাট্রিক্স এরূপ ম্যাট্রিক্স যাকে বর্গ করলেও কোনো পরিবর্তন হয় না, বিপরীত নির্ণয় করলেও কোনো পরিবর্তন হয় না।
\(\therefore (I_{3})^{-1}=I_{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(0\)
গ \(\frac{1}{3}I_{3}\)
গ \(\frac{1}{3}I_{3}\)
খ \(I_{3}\)
ঘ \(3I_{3}\)
\(I_{3}\) ইহা তিন মাত্রার একক ম্যাট্রিক্স। ঘ \(3I_{3}\)
একক ম্যাট্রিক্স এরূপ ম্যাট্রিক্স যাকে বর্গ করলেও কোনো পরিবর্তন হয় না, বিপরীত নির্ণয় করলেও কোনো পরিবর্তন হয় না।
\(\therefore (I_{3})^{-1}=I_{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
২০। \(A\) ও \(B\) দুটো \(3\times 3\) ক্রমের ম্যাট্রিক্স হলে, \(|A-B|=0\) এর সমার্থক-
\(\therefore A-B=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}0-0 & 0-0 & 0-0 \\0-0 & 0-0 & 0-0\\0-0 & 0-0 & 0-0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\therefore |A-B|=\left|\begin{array}{c}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{array}\right|\)
\(=0\)
সুতরাং \(|A-B|=0\) হবে,
যদি এবং কেবল যদি \(A=0_{mat}\) এবং \(B=0_{mat}\) হয়।
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(A=0_{mat}\) বা, \(B=0_{mat}\)
গ \(।A।=0\) এবং \(|B|=0\)
গ \(।A।=0\) এবং \(|B|=0\)
খ \(।A।=0\) বা, \(|B|=0\)
ঘ \(A=0_{mat}\) এবং \(B=0_{mat}\)
ধরি, \(A=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)ঘ \(A=0_{mat}\) এবং \(B=0_{mat}\)
\(\therefore A-B=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}0-0 & 0-0 & 0-0 \\0-0 & 0-0 & 0-0\\0-0 & 0-0 & 0-0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\therefore |A-B|=\left|\begin{array}{c}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{array}\right|\)
\(=0\)
সুতরাং \(|A-B|=0\) হবে,
যদি এবং কেবল যদি \(A=0_{mat}\) এবং \(B=0_{mat}\) হয়।
উত্তরঃ ( ঘ )
২১। একটি ঘনকের পৃষ্টতলগুলোকে ছয়টি ভিন্ন ভিন্ন রং দিয়ে রং করার উপায় সংখ্যা-
\(i.\) \(^6C_{0}\)
\(ii.\) \(6!\)
\(iii.\) \(^6C_{6}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(^6C_{0}\)
\(=\frac{6!}{(6-0)!0!}\)
\(=\frac{6!}{6!.1}\)
\(=1\)
\(\therefore (i)\) বাক্যটি সত্য।
\(6!\)
\(=6.5.4.3.2.1\)
\(=720\)
\(\therefore (ii)\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(^6C_{6}\)
\(=\frac{6!}{(6-6)!6!}\)
\(=\frac{6!}{0!6!}\)
\(=1\)
\(\therefore (iii)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) \(^6C_{0}\)
\(ii.\) \(6!\)
\(iii.\) \(^6C_{6}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
একটি ঘনকের পৃষ্টতলগুলোকে ছয়টি ভিন্ন ভিন্ন রং দিয়ে রং করার উপায় সংখ্যা \(=1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(^6C_{0}\)
\(=\frac{6!}{(6-0)!0!}\)
\(=\frac{6!}{6!.1}\)
\(=1\)
\(\therefore (i)\) বাক্যটি সত্য।
\(6!\)
\(=6.5.4.3.2.1\)
\(=720\)
\(\therefore (ii)\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(^6C_{6}\)
\(=\frac{6!}{(6-6)!6!}\)
\(=\frac{6!}{0!6!}\)
\(=1\)
\(\therefore (iii)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
২২। \(8\) টি ভিন্ন রং এর পতাকা হতে \(5\) টি পতাকা নিয়ে ভিন্ন সিগনাল গঠনের উপায় সংখ্যা-
\(\therefore 8\) টি ভিন্ন রং এর পতাকা হতে \(5\) টি পতাকা নিয়ে ভিন্ন সিগনাল গঠনের উপায় সংখ্যা \(=^8P_{5}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(^8P_{5}\)
গ \(8!\)
গ \(8!\)
খ \(5!\)
ঘ \(^8C_{5}\)
\(8\) টি ভিন্ন রং এর পতাকা হতে \(5\) টি পতাকা নিয়ে ভিন্ন সিগনাল গঠনের ক্ষেত্রে পতাকাগুলি বিন্যাস করতে হয়। ঘ \(^8C_{5}\)
\(\therefore 8\) টি ভিন্ন রং এর পতাকা হতে \(5\) টি পতাকা নিয়ে ভিন্ন সিগনাল গঠনের উপায় সংখ্যা \(=^8P_{5}\)
উত্তরঃ ( ক )
২৩। \(x-y-2=0\) এবং \(2x-2y+4=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব-
\(=\frac{|-2-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(=\frac{|-4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{2.\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(3\sqrt{2}\)
গ \(2\sqrt{2}\)
গ \(2\sqrt{2}\)
খ \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)
ঘ \(\sqrt{2}\)
\(x-y-2=0\) এবং \(2x-2y+4=0 \Rightarrow x-y+2=0 \) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,ঘ \(\sqrt{2}\)
\(=\frac{|-2-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(=\frac{|-4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{2.\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
২৪। \(y=-2x\) এবং \(2y=x\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ-
রেখাদ্বয়ের ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{2}{1}=-2\) এবং \(m_{2}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(m_{1}\times{m_{2}}=-2\times{\frac{1}{2}}\)
\(=-1\)
\(\therefore \) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(=90^{o}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(90^{o}\)
গ \(\tan^{-1}\left(-\frac{5}{4}\right)\)
গ \(\tan^{-1}\left(-\frac{5}{4}\right)\)
খ \(\tan^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)\)
ঘ \(0^{o}\)
\(y=-2x \Rightarrow 2x+y=0\) এবং \(2y=x \Rightarrow x-2y=0\)ঘ \(0^{o}\)
রেখাদ্বয়ের ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{2}{1}=-2\) এবং \(m_{2}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(m_{1}\times{m_{2}}=-2\times{\frac{1}{2}}\)
\(=-1\)
\(\therefore \) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(=90^{o}\)
উত্তরঃ ( ক )
২৫। কোনো বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্কের কটি \(90^{o}\) হলে ঐ বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের ভুজ-
কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের ভুজ, \(x=r\cos{\theta}\)
\(=r\cos{90^{o}}\)
\(=r.0\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(x=r\) বর্গ একক
গ \(y=r\) বর্গ একক
গ \(y=r\) বর্গ একক
খ \(x=0\) বর্গ একক
ঘ \(y=0\) বর্গ একক
এখানে, \(\theta=90^{o}\)ঘ \(y=0\) বর্গ একক
কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের ভুজ, \(x=r\cos{\theta}\)
\(=r\cos{90^{o}}\)
\(=r.0\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( খ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004