শিক্ষা বোর্ড ঢাকা - 2017
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(A\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(2\times 4\) এবং \(B\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(4\times 3\) হলে, \(AB\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম কোনটি?
দুইটি ম্যাট্রিক্স গুণনযোগ্য হবে যদি, প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান হয়
এখানে \(AB\) সংজ্ঞায়িত।
\(AB\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম হবে, প্রথম \((A)\) ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা দ্বিতীয় \((B)\) ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা নিয়ে গঠিত ক্রম,
\(2\times 3\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(2\times4\)
গ \(3\times2\)
গ \(3\times2\)
খ \(2\times3\)
ঘ \(4\times4\)
\(A\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(2\times 4\) এবং \(B\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(4\times 3\) ঘ \(4\times4\)
দুইটি ম্যাট্রিক্স গুণনযোগ্য হবে যদি, প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান হয়
এখানে \(AB\) সংজ্ঞায়িত।
\(AB\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম হবে, প্রথম \((A)\) ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা দ্বিতীয় \((B)\) ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা নিয়ে গঠিত ক্রম,
\(2\times 3\)
উত্তরঃ ( খ )
২। \(\left|\begin{array}{c}\ \ \ 5 & 0 & \ \ \ 1\\-3 & 2 & \ \ \ 3\\ 6 & 7 & -1 \ \end{array}\right|\) নির্ণায়কের \((2, 1)\) তম ভুক্তির সহগুণক কত?
\(-3\) এর সহগুণক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c}0 & \ \ 1\\7 & -1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0\times{-1}-7\times{1})\)
\(=-(0-7)\)
\(=7\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-7\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(-3\)
ঘ \(7\)
প্রদত্ত নির্ণায়কের \((2, 1)\) তম ভুক্তি \(-3\)ঘ \(7\)
\(-3\) এর সহগুণক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c}0 & \ \ 1\\7 & -1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0\times{-1}-7\times{1})\)
\(=-(0-7)\)
\(=7\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৩। \(\overline{a}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরের দিক বরাবর \(\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}\) এর অংশক কত?
\(\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\) এর অংশক,
\(=\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{|\overline{a}|}\right)\hat{a}\)
\(=\left(\frac{(2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}).(\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})}{|2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}|}\right)\hat{a}\)
\(=\left(\frac{2.1+4.1+(-1).3}{\sqrt{2^2+4^2+(-1)^2}}\right)\hat{a}\)
\(=\left(\frac{2+4-3}{\sqrt{4+16+1}}\right)\hat{a}\)
\(=\left(\frac{3}{\sqrt{21}}\right)\hat{a}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{3}{21}\hat{a}\)
গ \(-\frac{3}{\sqrt{21}}\hat{a}\)
গ \(-\frac{3}{\sqrt{21}}\hat{a}\)
খ \(-\frac{3}{21}\hat{a}\)
ঘ \(\frac{3}{\sqrt{21}}\hat{a}\)
\(\overline{a}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরের দিক বরাবর ঘ \(\frac{3}{\sqrt{21}}\hat{a}\)
\(\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\) এর অংশক,
\(=\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{|\overline{a}|}\right)\hat{a}\)
\(=\left(\frac{(2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}).(\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})}{|2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}|}\right)\hat{a}\)
\(=\left(\frac{2.1+4.1+(-1).3}{\sqrt{2^2+4^2+(-1)^2}}\right)\hat{a}\)
\(=\left(\frac{2+4-3}{\sqrt{4+16+1}}\right)\hat{a}\)
\(=\left(\frac{3}{\sqrt{21}}\right)\hat{a}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৪। \(\overline{A}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরটি \(Z\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা হলো-
\(\theta_{z}=\cos^{-1}{\left\{\frac{\overline{A}.\hat{k}}{|\overline{A}||\hat{k}|}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}).\hat{k}}{|2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}||\hat{k}|}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{2.1}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}1}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{2}{\sqrt{4+1+4}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{2}{\sqrt{9}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\cos^{-1} \left(-\frac{2}{3}\right)\)
গ \(\cos^{-1} \left(\frac{2}{3}\right)\)
গ \(\cos^{-1} \left(\frac{2}{3}\right)\)
খ \(\cos^{-1} \left(-\frac{2}{9}\right)\)
ঘ \(\cos^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
\(\overline{A}\) ভেক্টরটি \(Z\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা , ঘ \(\cos^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
\(\theta_{z}=\cos^{-1}{\left\{\frac{\overline{A}.\hat{k}}{|\overline{A}||\hat{k}|}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}).\hat{k}}{|2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}||\hat{k}|}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{2.1}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}1}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{2}{\sqrt{4+1+4}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{2}{\sqrt{9}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
উত্তরঃ ( গ )
৫। কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((-1, \sqrt{3})\) হলে বিন্দু টির পোলার স্থানাঙ্ক হবে-
এখানে, \(x=-1, y=\sqrt{3}\)
আমরা জানি, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
এবং \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}\)
\(=\sqrt{1+3}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(-\sqrt{3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(-\tan{\frac{\pi}{3}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\tan{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}\right\}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{3\pi-\pi}{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
\(\therefore \) বিন্দুটি \(\left(2, \frac{2\pi}{3}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\left(2, \frac{\pi}{3}\right)\)
গ \(\left(2, -\frac{\pi}{3}\right)\)
গ \(\left(2, -\frac{\pi}{3}\right)\)
খ \(\left(2, \frac{2\pi}{3}\right)\)
ঘ \(\left(4, \frac{2\pi}{3}\right)\)
\((-1, \sqrt{3})\)ঘ \(\left(4, \frac{2\pi}{3}\right)\)
এখানে, \(x=-1, y=\sqrt{3}\)
আমরা জানি, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
এবং \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}\)
\(=\sqrt{1+3}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(-\sqrt{3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(-\tan{\frac{\pi}{3}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\tan{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}\right\}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{3\pi-\pi}{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
\(\therefore \) বিন্দুটি \(\left(2, \frac{2\pi}{3}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
৬। \(y=-7x+9\) রেখার সাথে লম্ব রেখার নতি কত?
লম্ব রেখাটির ঢাল \(m\) হলে,
\(m\times{m_{1}}=-1\) হবে।
\(\Rightarrow m\times{-7}=-1\)
\(\Rightarrow m=\frac{-1}{-7}\)
\(\therefore m=\frac{1}{7}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{1}{7}\)
গ \(-7\)
গ \(-7\)
খ \(-\frac{1}{7}\)
ঘ \(7\)
\(y=-7x+9\) এর ঢাল, \(m_{1}=-7\) ঘ \(7\)
লম্ব রেখাটির ঢাল \(m\) হলে,
\(m\times{m_{1}}=-1\) হবে।
\(\Rightarrow m\times{-7}=-1\)
\(\Rightarrow m=\frac{-1}{-7}\)
\(\therefore m=\frac{1}{7}\)
উত্তরঃ ( ক )
নিচের তথ্যের আলোকে ৭ এবং ৮নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(3x-4y-12=0\) রেখাটি \(X\) ও \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
৭। \(B\) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক কত?\(3x-4y-12=0\) রেখাটি \(X\) ও \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
ক \((4, 0)\)
গ \((0, -3)\)
গ \((0, -3)\)
খ \((0, 4)\)
ঘ \((0, 3)\)
\(3x-4y-12=0\) ঘ \((0, 3)\)
\(\Rightarrow 3x-4y=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{12}+\frac{-4y}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1\)
\(\because \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) এর ক্ষেত্রে \(B(0, b)\)
\(\therefore B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, -3) \)
উত্তরঃ ( গ )
৮। প্রদত্ত রেখার উপর লম্ব এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হলো-
\(4x+3y+k=0 ....(1)\) যা \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\Rightarrow 4\times{1}+3\times{2}+k=0\)
\(\Rightarrow 4+6+k=0\)
\(\Rightarrow k=-10\)
\(\therefore (1)\) হতে সরলরেখটির সমীকরণ, \(4x+3y-10=0\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(4x+3y-12=0\)
গ \(3x-4y+12=0\)
গ \(3x-4y+12=0\)
খ \(4x+3x-10=0\)
ঘ \(4x-3y-10=0\)
\(3x-4y-12=0\) রেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,ঘ \(4x-3y-10=0\)
\(4x+3y+k=0 ....(1)\) যা \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\Rightarrow 4\times{1}+3\times{2}+k=0\)
\(\Rightarrow 4+6+k=0\)
\(\Rightarrow k=-10\)
\(\therefore (1)\) হতে সরলরেখটির সমীকরণ, \(4x+3y-10=0\)
উত্তরঃ ( খ )
৯। \((2, -3)\)কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করলে তার সমীকরণ কোনটি?
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \((x-2)^2+(y-3)^2=3^2\)
গ \((x+2)^2+(y-3)^2=2^2\)
গ \((x+2)^2+(y-3)^2=2^2\)
খ \((x+2)^2+(y+3)^2=2^2\)
ঘ \((x-2)^2+(y+3)^2=3^2\)
\((x-2)^2+(y+3)^2=3^2\) বৃত্তটির কেন্দ্র \((2, -3)\)ঘ \((x-2)^2+(y+3)^2=3^2\)
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১০ এবং ১১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(3x^2+3y^2-6x-9y-3=0\) দুইটি বৃত্তের সমীকরণ।
১০। দ্বিতীয় বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশের দৈর্ঘ্য কত একক?\(x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(3x^2+3y^2-6x-9y-3=0\) দুইটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক \(2\sqrt{2}\)
গ \(\sqrt{2}\)
গ \(\sqrt{2}\)
খ \(\sqrt{13}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{13}}{2}\
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(x\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{g^2-c}\)ঘ \(\frac{\sqrt{13}}{2}\
দ্বিতীয় বৃত্ত \(3x^2+3y^2-6x-9y-3=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2+y^2-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-3y-1=0\)
\(\Rightarrow 2g=-2, 2f=-3, c=-1\)
\(\therefore g=-1, f=-\frac{3}{2}, c=-1\)
\(\therefore\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-1)^2-(-1)}\)
\(=2\sqrt{1+1}\)
\(=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ ( ক )
১১। বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ কোনটি?
বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \(x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(3x^2+3y^2-6x-9y-3=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(3(x^2+y^2-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(x^2+y^2-2x-3y-1=0\)
\(\therefore x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(x^2+y^2-2x-3y-1=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ, \(x^2+y^2-3x-4y+5-(x^2+y^2-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5-x^2-y^2+2x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow -x-y+6=0\)
\(\therefore x+y-6=0\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(x-y-6=0\)
গ \(x+y-6=0\)
গ \(x+y-6=0\)
খ \(x+y+6=0\)
ঘ \(x-y+6=0\)
\(S_{1}=x^2+y^2+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0\) ও \(S_{2}=x^2+y^2+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ, \(S_{1}-S_{2}=0\)ঘ \(x-y+6=0\)
বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \(x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(3x^2+3y^2-6x-9y-3=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(3(x^2+y^2-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(x^2+y^2-2x-3y-1=0\)
\(\therefore x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(x^2+y^2-2x-3y-1=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ, \(x^2+y^2-3x-4y+5-(x^2+y^2-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5-x^2-y^2+2x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow -x-y+6=0\)
\(\therefore x+y-6=0\)
উত্তরঃ ( গ )
১২। বিন্যাস ও সমাবেশের ক্ষেত্রে -
\(i.\) \(^nC_{r}=^nC_{n-r}\)
\(ii.\) \(^nC_{r}+^nC_{r-1}=^{n+1}C_{r}\)
\(iii.\) \(r!\times{^nC_{r}}=^nP_{r}\)
উপরের তথ্যের আলোকে কোনটি সঠীক?
\(=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!\{n-(n-r)\}!} \because r!=\{n-(n-r)\}!\)
\(=\frac{n!}{\{n-(n-r)\}!(n-r)!}\)
\(=^nC_{n-r}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\because ^nC_{r}+^nC_{r-1}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!r!}+\frac{n!}{(n-r+1)!(r-1)!}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!r(r-1)!}+\frac{n!}{(n-r+1)(n-r)!(r-1)!}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\left\{\frac{1}{r}+\frac{1}{n-r+1}\right\}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\times{\frac{n-r+1+r}{r(n-r+1)}}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\times{\frac{n+1}{r(n-r+1)}}\)
\(=\frac{(n+1)n!}{(n-r+1)(n-r)!r(r-1)!}\)
\(=\frac{(n+1)!}{(n-r+1)!r!}\) \(\because (n+1)n!=(n+1)!,\) \((n-r+1)(n-r)!=(n-r+1)!, r(r-1)!=r!\)
\(=^{n+1}C_{r}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\because r!\times{^nC_{r}}\)
\(=r!\times{\frac{n!}{(n-r)!r!}}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!}\)
\(=^nP_{r}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) \(^nC_{r}=^nC_{n-r}\)
\(ii.\) \(^nC_{r}+^nC_{r-1}=^{n+1}C_{r}\)
\(iii.\) \(r!\times{^nC_{r}}=^nP_{r}\)
উপরের তথ্যের আলোকে কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\because \ ^nC_{r}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!\{n-(n-r)\}!} \because r!=\{n-(n-r)\}!\)
\(=\frac{n!}{\{n-(n-r)\}!(n-r)!}\)
\(=^nC_{n-r}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\because ^nC_{r}+^nC_{r-1}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!r!}+\frac{n!}{(n-r+1)!(r-1)!}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!r(r-1)!}+\frac{n!}{(n-r+1)(n-r)!(r-1)!}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\left\{\frac{1}{r}+\frac{1}{n-r+1}\right\}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\times{\frac{n-r+1+r}{r(n-r+1)}}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\times{\frac{n+1}{r(n-r+1)}}\)
\(=\frac{(n+1)n!}{(n-r+1)(n-r)!r(r-1)!}\)
\(=\frac{(n+1)!}{(n-r+1)!r!}\) \(\because (n+1)n!=(n+1)!,\) \((n-r+1)(n-r)!=(n-r+1)!, r(r-1)!=r!\)
\(=^{n+1}C_{r}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\because r!\times{^nC_{r}}\)
\(=r!\times{\frac{n!}{(n-r)!r!}}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!}\)
\(=^nP_{r}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
১৩। \(BANANA\) শব্দটির সবগুলি বর্ণ ব্যবহার করে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
সবগুলি অক্ষরের সাজানো সংখ্যা \(=\frac{6!}{3!2!}\)
\(=\frac{6.5.4.3!}{3!2.1}\)
\(=\frac{6.5.4}{2.1}\)
\(=6.5.2\)
\(=60\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(720\)
গ \(60\)
গ \(60\)
খ \(120\)
ঘ \(660\)
\(BANANA\) শব্দটিতে মোট \(6\) টি অক্ষর আছে। তার মধ্যে \(3\) টি \(A\) এবং \(2\) টি \(N\) ঘ \(660\)
সবগুলি অক্ষরের সাজানো সংখ্যা \(=\frac{6!}{3!2!}\)
\(=\frac{6.5.4.3!}{3!2.1}\)
\(=\frac{6.5.4}{2.1}\)
\(=6.5.2\)
\(=60\)
উত্তরঃ ( গ )
১৪। \(^nC_{10}=^nC_{6}\) হলে \(n=?\)
\(\Rightarrow ^nC_{n-10}=^nC_{6} \because \ ^nC_{r}=^nC_{n-r}\)
\(\Rightarrow n-10=6 \because \ ^nC_{r}=^nC_{r^{\prime}}\Rightarrow r=r^{\prime}\)
\(\Rightarrow n=6+10\)
\(\therefore n=16\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(16\)
গ \(6\)
গ \(6\)
খ \(10\)
ঘ \(4\)
\(^nC_{10}=^nC_{6}\)ঘ \(4\)
\(\Rightarrow ^nC_{n-10}=^nC_{6} \because \ ^nC_{r}=^nC_{n-r}\)
\(\Rightarrow n-10=6 \because \ ^nC_{r}=^nC_{r^{\prime}}\Rightarrow r=r^{\prime}\)
\(\Rightarrow n=6+10\)
\(\therefore n=16\)
উত্তরঃ ( ক )
১৫। \(\sin{3x}\) এর পর্যায় কত?
\(\therefore \sin{3x}\) এর পর্যায় \(=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{2\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
খ \(3\pi\)
ঘ \(2\pi\)
\(\sin{x}\) এর পর্যায় \(=2\pi\)ঘ \(2\pi\)
\(\therefore \sin{3x}\) এর পর্যায় \(=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৬। \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) এবং \(f(x)=\frac{3x+2}{4x+5}\) হলে \(f^{-1}(x)=?\)
\(\Rightarrow f(x)=y\)
\(\Rightarrow x=f^{-1}(y)\)
\(\therefore f^{-1}(y)=x .....(1)\)
আবার, \(\frac{3x+2}{4x+5}=y\)
\(\Rightarrow 3x+2=4xy+5y\)
\(\Rightarrow 3x-4xy=5y-2\)
\(\Rightarrow x(3-4y)=5y-2\)
\(\therefore x=\frac{5y-2}{3-4y}\)
\((1)\) হতে, \(f^{-1}(y)=\frac{5y-2}{3-4y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{5x-2}{3-4x}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{-(-5x+2)}{-(4x-3)}\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{-5x+2}{4x-3}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{5x+2}{4x+3}\)
গ \(\frac{5x-2}{4x+3}\)
গ \(\frac{5x-2}{4x+3}\)
খ \(\frac{-5x+2}{4x-3}\)
ঘ \(\frac{5x-2}{4x-3}\)
ধরি, \(f(x)=\frac{3x+2}{4x+5}=y\)ঘ \(\frac{5x-2}{4x-3}\)
\(\Rightarrow f(x)=y\)
\(\Rightarrow x=f^{-1}(y)\)
\(\therefore f^{-1}(y)=x .....(1)\)
আবার, \(\frac{3x+2}{4x+5}=y\)
\(\Rightarrow 3x+2=4xy+5y\)
\(\Rightarrow 3x-4xy=5y-2\)
\(\Rightarrow x(3-4y)=5y-2\)
\(\therefore x=\frac{5y-2}{3-4y}\)
\((1)\) হতে, \(f^{-1}(y)=\frac{5y-2}{3-4y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{5x-2}{3-4x}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{-(-5x+2)}{-(4x-3)}\)
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{-5x+2}{4x-3}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৭। \(f(x)=\sqrt{x-2}\) ফাংশনের ডোমেন কত?
\(\sqrt{x-2}\in{\mathbb{R}}\) হবে যদি এবং কেবল যদি
\(\sqrt{x-2}\ge{0}\) হয়।
\(\Rightarrow x-2\ge{0}\)
\(\Rightarrow x\ge{2}\)
\(\therefore\) ডোমেন \([2, \infty)\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \((-2, \infty)\)
গ \([2, \infty]\)
গ \([2, \infty]\)
খ \((2, \infty)\)
ঘ \([2, \infty)\)
\(f(x)=\sqrt{x-2}\)ঘ \([2, \infty)\)
\(\sqrt{x-2}\in{\mathbb{R}}\) হবে যদি এবং কেবল যদি
\(\sqrt{x-2}\ge{0}\) হয়।
\(\Rightarrow x-2\ge{0}\)
\(\Rightarrow x\ge{2}\)
\(\therefore\) ডোমেন \([2, \infty)\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৮। \(\cos{\left(7\frac{1}{2}\right)^{o}}=?\)
\(=\cos{\left(\frac{15}{2}\right)^{o}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2.2\cos^2{\left(\frac{17}{2}\right)^{o}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2\left\{1+\cos{\left(2\frac{15}{2}\right)^{o}}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+2\cos{15^{o}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2.2\cos^2{15^{o}}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos{2\times{15^{o}}})}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos{30^{o}}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+2\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
গ \(\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
গ \(\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
খ \(\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
ঘ \(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
\(\cos{\left(7\frac{1}{2}\right)^{o}}\)ঘ \(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
\(=\cos{\left(\frac{15}{2}\right)^{o}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2.2\cos^2{\left(\frac{17}{2}\right)^{o}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2\left\{1+\cos{\left(2\frac{15}{2}\right)^{o}}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+2\cos{15^{o}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2.2\cos^2{15^{o}}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos{2\times{15^{o}}})}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos{30^{o}}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+2\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৯। \(\sin{5^{o}}=p\) হলে \(\sin{10^{o}}\)-এর মাণ কোনটি?
\(=\sin{2\times{5^{o}}}\)
\(=2\sin{5^{o}}\cos{5^{o}}\)
\(=2\sin{5^{o}}\sqrt{1-\sin^2{5^{o}}}\)
\(=2p\sqrt{1-p^2}, \because \sin{5^{o}}=p\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(2p\)
গ \(2\sqrt{1-p^2}\)
গ \(2\sqrt{1-p^2}\)
খ \(2p\sqrt{p^2-1}\)
ঘ \(2p\sqrt{1-p^2}\)
\(\sin{10^{o}}\)ঘ \(2p\sqrt{1-p^2}\)
\(=\sin{2\times{5^{o}}}\)
\(=2\sin{5^{o}}\cos{5^{o}}\)
\(=2\sin{5^{o}}\sqrt{1-\sin^2{5^{o}}}\)
\(=2p\sqrt{1-p^2}, \because \sin{5^{o}}=p\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২০। \(f(x)=\sin{2x}\) হলে -
\(i.\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{2x}=1\]
\(ii.\) \[f^{\prime}=2\cos 2x\]
\(iii.\) \[\int{f(x)dx}=\cos 2x+c \]
উপরের তথ্যের আলোকে কোনটি সঠীক?
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{2x}}{2x}\]
\[=1, \because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(f(x)=\sin{2x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}(\sin{2x})\)
\(\Rightarrow f^{\prime}=\cos{2x}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(\Rightarrow f^{\prime}=\cos{2x}.2\)
\(\therefore f^{\prime}=2\cos{2x}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\[\int{f(x)dx}\]
\[=\int{\sin{2x}dx}\]
\[=-\frac{\cos{2x}}{\frac{d}{dx}(2x)}+c\]
\[=-\frac{\cos{2x}}{2}+c\]
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{2x}=1\]
\(ii.\) \[f^{\prime}=2\cos 2x\]
\(iii.\) \[\int{f(x)dx}=\cos 2x+c \]
উপরের তথ্যের আলোকে কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{2x}\]ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{2x}}{2x}\]
\[=1, \because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(f(x)=\sin{2x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}(\sin{2x})\)
\(\Rightarrow f^{\prime}=\cos{2x}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(\Rightarrow f^{\prime}=\cos{2x}.2\)
\(\therefore f^{\prime}=2\cos{2x}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\[\int{f(x)dx}\]
\[=\int{\sin{2x}dx}\]
\[=-\frac{\cos{2x}}{\frac{d}{dx}(2x)}+c\]
\[=-\frac{\cos{2x}}{2}+c\]
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
২১। \(\frac{d}{dx}(\cos{\sqrt{x}})\) -এর মাণ কোনটি?
\(=-\sin{\sqrt{x}}\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=-\sin{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-\sin \sqrt{x}\)
গ \(-\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
গ \(-\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
খ \(-\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
ঘ \(\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
\(\frac{d}{dx}(\cos{\sqrt{x}})\)ঘ \(\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\sin{\sqrt{x}}\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=-\sin{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ ( খ )
২২। \(f(x)=4x\) হলে-
\(i.\) \(\int{\frac{dx}{f(x)}}=\frac{1}{4}\ln{|x|}+c\)
\(ii.\) \(\int{e^{f(x)}dx}=\frac{1}{4}e^{4x}+c\)
\(iii.\) \(\int_{0}^{2}{f(x)dx}=8\)
উপরের তথ্যের আলোকে কোনটি সঠীক?
\(=\int{\frac{dx}{4x}}\)
\(=\frac{1}{4}\int{\frac{dx}{x}}\)
\(=\frac{1}{4}\ln{|x|}+c\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\int{e^{f(x)}dx}\)
\(=\int{e^{4x}dx}\)
\(=\frac{e^{4x}}{\frac{d}{dx}(4x)}+c\)
\(=\frac{e^{4x}}{4}+c\)
\(=\frac{1}{4}e^{4x}+c\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\int_{0}^{2}{f(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{2}{4xdx}\)
\(=4\int_{0}^{2}{xdx}\)
\(=4[\frac{x^2}{2}]_{0}^{2}\)
\(=2[x^2]_{0}^{2}\)
\(=2[2^2-0^2]\)
\(=2[4-0]\)
\(=8\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) \(\int{\frac{dx}{f(x)}}=\frac{1}{4}\ln{|x|}+c\)
\(ii.\) \(\int{e^{f(x)}dx}=\frac{1}{4}e^{4x}+c\)
\(iii.\) \(\int_{0}^{2}{f(x)dx}=8\)
উপরের তথ্যের আলোকে কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\int{\frac{dx}{f(x)}}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=\int{\frac{dx}{4x}}\)
\(=\frac{1}{4}\int{\frac{dx}{x}}\)
\(=\frac{1}{4}\ln{|x|}+c\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\int{e^{f(x)}dx}\)
\(=\int{e^{4x}dx}\)
\(=\frac{e^{4x}}{\frac{d}{dx}(4x)}+c\)
\(=\frac{e^{4x}}{4}+c\)
\(=\frac{1}{4}e^{4x}+c\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\int_{0}^{2}{f(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{2}{4xdx}\)
\(=4\int_{0}^{2}{xdx}\)
\(=4[\frac{x^2}{2}]_{0}^{2}\)
\(=2[x^2]_{0}^{2}\)
\(=2[2^2-0^2]\)
\(=2[4-0]\)
\(=8\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
২৩। \(\int{\sin x^{o}dx}=\) কত?
\(=\int{\sin{\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)}dx}\)
\(=-\frac{\cos{\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)}}{\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)}+c\)
\(=-\frac{\cos{\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)}}{\frac{\pi}{180}}+c\)
\(=-\frac{180}{\pi}\cos{x^{o}}+c\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\cos x^{o}+c\)
গ \(-\frac{180}{\pi}\cos x^{o}\)
গ \(-\frac{180}{\pi}\cos x^{o}\)
খ \(-\cos x^{o}+c\)
ঘ \(\frac{180}{\pi}\cos x^{o}\)
\(\int{\sin{x^{o}}dx}\)ঘ \(\frac{180}{\pi}\cos x^{o}\)
\(=\int{\sin{\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)}dx}\)
\(=-\frac{\cos{\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)}}{\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)}+c\)
\(=-\frac{\cos{\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)}}{\frac{\pi}{180}}+c\)
\(=-\frac{180}{\pi}\cos{x^{o}}+c\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ২৪ এবং২৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(A=\left(\begin{array}{c}3 \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ 4\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ 5\end{array}\right)\) একটি ম্যাট্রিক্স।
২৪। \(A\) একটি-\(A=\left(\begin{array}{c}3 \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ 4\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ 5\end{array}\right)\) একটি ম্যাট্রিক্স।
\(i.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) কর্ণ ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
প্রতিসম ম্যাট্রিক্সঃ যে ম্যাট্রিক্সের সারিকে কলাম বা কলামকে সারিতে রূপান্তরিত করলে আদি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপই থাকে, কোনো পরিবর্তন হয় না। তাকে প্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হয়। ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
স্কেলার ম্যাট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলি সমান ও অশূন্য এবং অন্যান্য ভুক্তিগুলি শূন্য তাকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলে।
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
কর্ণ ম্যাট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলি শূন্য অথবা অশূন্য এবং অন্যান্য ভুক্তিগুলি শূন্য তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
২৫। নিচের কোনটি \(A^{-1}\)?
\(\Rightarrow |A|=\left|\begin{array}{c}3 \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ 4\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=3\times{4}\times{5}\)
\(=60\)
\(A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c}4 \ \ 0\\ 0 \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(20-0)\)
\(=20\)
\(A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 0\\ 0 \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 4\\ 0 \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 0\\ 0 \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ 0\\ 0 \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(15-0)\)
\(=15\)
\(A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c}3 \ \ 0\\ 0 \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 0\\ 4 \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ 0\\ 0 \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c}3 \ \ 0\\ 0 \ \ 4\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(12-0)\)
\(=12\)
\(A^{-1}=\frac{1}{60}\left(\begin{array}{c}20 \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ 15\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ 12\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ \frac{1}{4}\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ \frac{1}{5}\end{array}\right)\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{1}{\left(\begin{array}{c}3 \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ 4\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ 5\end{array}\right)}\)
গ \(60\left(\begin{array}{c}3 \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ 4\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ 5\end{array}\right)\)
গ \(60\left(\begin{array}{c}3 \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ 4\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ 5\end{array}\right)\)
খ \(\frac{1}{60}\left(\begin{array}{c}3 \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ 4\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ 5\end{array}\right)\)
ঘ \(\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ \frac{1}{4}\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ \frac{1}{5}\end{array}\right)\)
\(A=\left(\begin{array}{c}3 \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ 4\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ 5\end{array}\right)\)ঘ \(\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ \frac{1}{4}\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ \frac{1}{5}\end{array}\right)\)
\(\Rightarrow |A|=\left|\begin{array}{c}3 \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ 4\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=3\times{4}\times{5}\)
\(=60\)
\(A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c}4 \ \ 0\\ 0 \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(20-0)\)
\(=20\)
\(A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 0\\ 0 \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 4\\ 0 \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 0\\ 0 \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ 0\\ 0 \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(15-0)\)
\(=15\)
\(A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c}3 \ \ 0\\ 0 \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 0\\ 4 \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ 0\\ 0 \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(0-0)\)
\(=0\)
\(A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c}3 \ \ 0\\ 0 \ \ 4\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(12-0)\)
\(=12\)
\(A^{-1}=\frac{1}{60}\left(\begin{array}{c}20 \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ 15\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ 12\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} \ \ 0\ \ 0\\ 0 \ \ \frac{1}{4}\ \ 0\\ 0 \ \ 0\ \ \ \frac{1}{5}\end{array}\right)\)
উত্তরঃ ( ঘ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003