শিক্ষা বোর্ড সিলেট - 2017
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। নিচের কোনটি \(y=-x^2-2\) এর লেখ নির্দেশ করে?
এখন, \(x=0 \Rightarrow y=-2\)
\(\therefore (0, -2)\) বিন্দুটি 'ক' এবং 'ঘ' উভয় চিত্রের উপর হতে পারে।
আবার, \(y=0 \Rightarrow 0=-x^2-2\)
\(\Rightarrow x^2=-2\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{-2}\) যা কাল্পনিক।
\(\therefore y=-x^2-2\) বক্ররেখাটি \(x\) অক্ষকে ছেদ করে না।
\(\therefore\) 'ঘ' চিত্র উভয় শর্ত সিদ্ধ করে।
উত্তরঃ ( ঘ )
ক 
গ
গ
খ 
ঘ
\(y=-x^2-2\)ঘ
এখন, \(x=0 \Rightarrow y=-2\)
\(\therefore (0, -2)\) বিন্দুটি 'ক' এবং 'ঘ' উভয় চিত্রের উপর হতে পারে।
আবার, \(y=0 \Rightarrow 0=-x^2-2\)
\(\Rightarrow x^2=-2\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{-2}\) যা কাল্পনিক।
\(\therefore y=-x^2-2\) বক্ররেখাটি \(x\) অক্ষকে ছেদ করে না।
\(\therefore\) 'ঘ' চিত্র উভয় শর্ত সিদ্ধ করে।
উত্তরঃ ( ঘ )
২। \((1, -1)\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক কোনটি?
ধরি, \((1, -1)\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\)
\(r=\sqrt{(1)^2+(-1)^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{-1}{1}\right)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+1}, \ \theta=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\tan^{-1}{-tan{45^{o}}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\tan^{-1}{tan{(180^{o}-45^{o})}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=180^{o}-45^{o}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=135^{o}\)
\(\therefore\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক \((\sqrt{2}, 135^{o})\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \((\sqrt{2}, 45^{o})\)
গ \((\sqrt{2}, 225^{o})\)
গ \((\sqrt{2}, 225^{o})\)
খ \((\sqrt{2}, 135^{o})\)
ঘ \((\sqrt{2}, 315^{o})\)
\((1, -1)\) বিন্দুটির ক্ষেত্রে, \(x=1, y=-1\) ঘ \((\sqrt{2}, 315^{o})\)
ধরি, \((1, -1)\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\)
\(r=\sqrt{(1)^2+(-1)^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{-1}{1}\right)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+1}, \ \theta=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\tan^{-1}{-tan{45^{o}}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\tan^{-1}{tan{(180^{o}-45^{o})}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=180^{o}-45^{o}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=135^{o}\)
\(\therefore\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক \((\sqrt{2}, 135^{o})\)
উত্তরঃ ( খ )
৩। \(\overrightarrow{OA}=\underline{a}, \ \overrightarrow{OB}=\underline{b}\) হলে, \(\overrightarrow{BA}\) কত?
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \underline{b}+\overrightarrow{BA}=\underline{a}\)
\(\therefore \overrightarrow{BA}=\underline{a}-\underline{b}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\underline{a}-\underline{b}\)
গ \(\underline{b}+\underline{a}\)
গ \(\underline{b}+\underline{a}\)
খ \(\underline{a}+\underline{b}\)
ঘ \(\underline{b}-\underline{a}\)
ঘ \(\underline{b}-\underline{a}\)
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \underline{b}+\overrightarrow{BA}=\underline{a}\)
\(\therefore \overrightarrow{BA}=\underline{a}-\underline{b}\)
উত্তরঃ ( ক )
৪। \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=4, b=3\)
ক্ষেত্রফল \(=ab\pi \ \because \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\) এর ক্ষেত্রফল \(=ab\pi\)
ক্ষেত্রফল \(=4\times{3}\pi \)
ক্ষেত্রফল \(=12\pi \)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(4\pi\)
গ \(12\pi\)
গ \(12\pi\)
খ \(9\pi\)
ঘ \(16\pi\)
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) ঘ \(16\pi\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=4, b=3\)
ক্ষেত্রফল \(=ab\pi \ \because \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\) এর ক্ষেত্রফল \(=ab\pi\)
ক্ষেত্রফল \(=4\times{3}\pi \)
ক্ষেত্রফল \(=12\pi \)
উত্তরঃ ( গ )
৫।
\(i.\)
\(ii.\)
\(iii.\)
উপরের কোনটি ফাংশন নয়?
\((1) \ A\) এর সকল উপাদান \(B\) এর উপাদানের সাথে সম্পর্কযুক্ত হয় এবং
\((2)\) যে কোনো একটি উপাদান \(x\in{A}\) শুধু একটি উপাদান \(y\in{B}\) এর সাথে সম্পর্কযুক্ত হয় তবে \(f\) কে \(A\) থেকে \(B\) এর একটি ফাংশন বলা হয়।
\((i)\) নং চিত্রে প্রথম সেটের একটি উপাদান দ্বিতীয় সেটের দুইটি উপাদানের সাথে সম্পর্কযুক্ত। অতএব ইহা ফাংশন নয়।
\((iii)\) নং চিত্রে প্রথম সেটের সকল উপাদান দ্বিতীয় সেটের উপাদানের সাথে সম্পর্কযুক্ত নয়। অতএব ইহা ফাংশন নয়।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\)
\(ii.\)
\(iii.\)
উপরের কোনটি ফাংশন নয়?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ফাংশনঃ যদি \(f\) নিয়ম দ্বারা দুইটি সেট \(A\) ও \(B\) এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত হয় যেন, ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\((1) \ A\) এর সকল উপাদান \(B\) এর উপাদানের সাথে সম্পর্কযুক্ত হয় এবং
\((2)\) যে কোনো একটি উপাদান \(x\in{A}\) শুধু একটি উপাদান \(y\in{B}\) এর সাথে সম্পর্কযুক্ত হয় তবে \(f\) কে \(A\) থেকে \(B\) এর একটি ফাংশন বলা হয়।
\((i)\) নং চিত্রে প্রথম সেটের একটি উপাদান দ্বিতীয় সেটের দুইটি উপাদানের সাথে সম্পর্কযুক্ত। অতএব ইহা ফাংশন নয়।
\((iii)\) নং চিত্রে প্রথম সেটের সকল উপাদান দ্বিতীয় সেটের উপাদানের সাথে সম্পর্কযুক্ত নয়। অতএব ইহা ফাংশন নয়।
উত্তরঃ ( খ )
৬। \(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\) একটি-
\(i.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) কর্ণ ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
স্কেলার ম্যাট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলি সমান ও অশূন্য এবং অন্যান্য ভুক্তিগুলি শূন্য তাকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলে।
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
কর্ণ ম্যাট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলি শূন্য অথবা অশূন্য এবং অন্যান্য ভুক্তিগুলি শূন্য তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) কর্ণ ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বর্গ ম্যাট্রিক্সঃ যে ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গম্যাট্রিক্স বলা হয়। ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
স্কেলার ম্যাট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলি সমান ও অশূন্য এবং অন্যান্য ভুক্তিগুলি শূন্য তাকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলে।
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
কর্ণ ম্যাট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলি শূন্য অথবা অশূন্য এবং অন্যান্য ভুক্তিগুলি শূন্য তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৭ এবং ৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=\begin{cases}2x-3 & when \ x>0\\x^2-1 & when \ 1\le x\le 5\\3x+1 & when \ 1>x\end{cases}\)
৭। \(f\left(1+\sin \frac{3\pi}{2}\right)\)
এর মাণ কোনটি?\(f(x)=\begin{cases}2x-3 & when \ x>0\\x^2-1 & when \ 1\le x\le 5\\3x+1 & when \ 1>x\end{cases}\)
ক \(-3\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(-1\)
ঘ \(1\)
\(f(x)=\begin{cases}2x-3 & when \ x>0\\x^2-1 & when \ 1\le x\le 5\\3x+1 & when \ 1>x\end{cases}\)ঘ \(1\)
\(f\left(1+\sin{\frac{3\pi}{2}}\right)\)
\(=f\left\{1+\sin{\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)}\right\}\)
\(=f\left\{1-\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\right\}\)
\(=f(1-1)\)
\(=f(0)\)
\(=3.0+1 \ \because f(x)=3x+1 \ when \ 1>x \)
\(=0+1\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৮। \(fof(-1)\) এর মাণ কোনটি?
\(fof(-1)=f\{f(-1)\}\)
\(=f\{3(-1)+1\} \ \because f(x)=3x+1 \ when \ 1>x\)
\(=f\{-3+1\}\)
\(=f(-2)\)
\(=3(-2)+1 \ \because f(x)=3x+1 \ when \ 1>x\)
\(=-6+1\)
\(=-5\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-7\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-5\)
ঘ \(3\)
\(f(x)=\begin{cases}2x-3 & when \ x>0\\x^2-1 & when \ 1\le x\le 5\\3x+1 & when \ 1>x\end{cases}\)ঘ \(3\)
\(fof(-1)=f\{f(-1)\}\)
\(=f\{3(-1)+1\} \ \because f(x)=3x+1 \ when \ 1>x\)
\(=f\{-3+1\}\)
\(=f(-2)\)
\(=3(-2)+1 \ \because f(x)=3x+1 \ when \ 1>x\)
\(=-6+1\)
\(=-5\)
উত্তরঃ ( খ )
৯। \(4x-3y+5=0\) রেখাটির ঢাল কোনটি?
রেখাটির ঢাল \(=-\frac{4}{-3} \ \because ax+by+c=0\) রেখাটির ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
রেখাটির ঢাল \(=\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-\frac{4}{3}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
খ \(\frac{4}{3}\)
ঘ \(-\frac{3}{4}\)
\(4x-3y+5=0\)ঘ \(-\frac{3}{4}\)
রেখাটির ঢাল \(=-\frac{4}{-3} \ \because ax+by+c=0\) রেখাটির ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
রেখাটির ঢাল \(=\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
১০। একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু \(\overrightarrow{P}\) ও \(\overrightarrow{Q}\) হলে উহার প্রধান কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
চিত্র হতে, সামান্তরিকের প্রধান কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=|\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}|\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(|\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}|\)
গ \(|\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}|\)
গ \(|\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}|\)
খ \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}|\)
ঘ \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}|\)
ঘ \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}|\)
চিত্র হতে, সামান্তরিকের প্রধান কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=|\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}|\)
উত্তরঃ ( ক )
১১। \(2x\) সংখ্যক জিনিস দুইজনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিলে সমাবেশ সংখ্যা হবে-
প্রত্যেকে \(x\) সংখ্যক জিনিস পাবে
\(\therefore 2x\) সংখ্যক জিনিস হতে \(x\) সংখ্যক জিনিস বাছাইয়ের উপায়,
\(=^{2x}C_{x}\)
\(=\frac{(2x)!}{(2x-x)!x!}\)
\(=\frac{(2x)!}{x!x!} \ \because \ ^{n}C_{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(=\frac{(2x)!}{(x!)^2}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{(2x)!}{2!(x!)^2}\)
গ \(\frac{(2x)!}{(x!)^2}\)
গ \(\frac{(2x)!}{(x!)^2}\)
খ \(\frac{(x!)^2}{(2x)!}\)
ঘ \(\frac{2!(x!)^2}{(2x)!}\)
\(2x\) সংখ্যক জিনিস দুইজনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিলে, ঘ \(\frac{2!(x!)^2}{(2x)!}\)
প্রত্যেকে \(x\) সংখ্যক জিনিস পাবে
\(\therefore 2x\) সংখ্যক জিনিস হতে \(x\) সংখ্যক জিনিস বাছাইয়ের উপায়,
\(=^{2x}C_{x}\)
\(=\frac{(2x)!}{(2x-x)!x!}\)
\(=\frac{(2x)!}{x!x!} \ \because \ ^{n}C_{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(=\frac{(2x)!}{(x!)^2}\)
উত্তরঃ ( গ )
১২। \(A\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(2\times 3\) এবং \(B\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(4\times 2\) হলে \(BA\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম কত?
দুইটি ম্যাট্রিক্স গুণনযোগ্য হবে যদি, প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান হয়
এখানে \(BA\) সংজ্ঞায়িত।
\(BA\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম হবে, প্রথম \((B)\) ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা দ্বিতীয় \((A)\) ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা নিয়ে গঠিত ক্রম,
\(4\times 3\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(2\times 4\)
গ \(4\times 3\)
গ \(4\times 3\)
খ \(3\times 4\)
ঘ \(3\times 2\)
\(B\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(4\times 2\) এবং \(A\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(2\times 3\) ঘ \(3\times 2\)
দুইটি ম্যাট্রিক্স গুণনযোগ্য হবে যদি, প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান হয়
এখানে \(BA\) সংজ্ঞায়িত।
\(BA\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম হবে, প্রথম \((B)\) ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা দ্বিতীয় \((A)\) ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা নিয়ে গঠিত ক্রম,
\(4\times 3\)
উত্তরঃ ( গ )
১৩। \(A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\5 & 4 \end{bmatrix}\) হলে-
\(i.\) \(|A|\) এর মান \(-7\)
\(ii.\) \((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগ \(5\)
\(iii.\) \((2, 1)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(3\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\therefore |A|=\left|\begin{array}{c}2 & 3\\ 5 & 4\end{array}\right|\)
\(=8-15\)
\(=-7\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য।
\((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগ \(=(-1)^{1+2}(5)\)
\(=(-1)^{3}(5)\)
\(=-5\)
\(\therefore (ii) \) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\((2, 1)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(=3\)
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) \(|A|\) এর মান \(-7\)
\(ii.\) \((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগ \(5\)
\(iii.\) \((2, 1)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(3\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\5 & 4 \end{bmatrix}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore |A|=\left|\begin{array}{c}2 & 3\\ 5 & 4\end{array}\right|\)
\(=8-15\)
\(=-7\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য।
\((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগ \(=(-1)^{1+2}(5)\)
\(=(-1)^{3}(5)\)
\(=-5\)
\(\therefore (ii) \) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\((2, 1)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(=3\)
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৪ এবং ১৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১৪। চিত্রে \(B=30^{o}\) হলে \(BC:CA:AB=\) কত?
ক \(1:2:\sqrt{3}\)
গ \(\sqrt{3}:1:2\)
গ \(\sqrt{3}:1:2\)
খ \(2:1:\sqrt{3}\)
ঘ \(1:\sqrt{3}:2\)
চিত্রে, \(B=30^{o}\) এবং \(A=90^{o}\) হলে \(C=180^{o}-(90^{o}+30^{o})\)ঘ \(1:\sqrt{3}:2\)
\(=180^{o}-120^{o}\)
\(=60^{o}\)
এখন, \(\frac{BC}{\sin{A}}=\frac{CA}{\sin{B}}=\frac{AB}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{BC}{\sin{90^{o}}}=\frac{CA}{\sin{30^{o}}}=\frac{AB}{\sin{60^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{BC}{1}=\frac{CA}{\frac{1}{2}}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\Rightarrow BC:CA:AB=1:\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore BC:CA:AB=2:1:\sqrt{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৫। \(\sin{B}=x\) হলে \(\sin{C}\)এর মাণ কত?
\(=180^{o}-120^{o}\)
\(=60^{o}\)
এখন, \(\sin{B}=x\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=x\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
আবার,
\(\cos{C}=\cos{60^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=x\)
\(\Rightarrow \cos^2{C}=x^2\)
\(\Rightarrow 1-\sin^2{C}=x^2\)
\(\Rightarrow 1-x^2=\sin^2{C}\)
\(\Rightarrow \sin^2{C}=1-x^2\)
\(\therefore \sin{C}=\sqrt{1-x^2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(x\)
গ \(\sqrt{x^2-1}\)
গ \(\sqrt{x^2-1}\)
খ \(\frac{1}{x}\)
ঘ \(\sqrt{1-x^2}\)
চিত্রে, \(B=30^{o}\) এবং \(A=90^{o}\) হলে \(C=180^{o}-(90^{o}+30^{o})\)ঘ \(\sqrt{1-x^2}\)
\(=180^{o}-120^{o}\)
\(=60^{o}\)
এখন, \(\sin{B}=x\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=x\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
আবার,
\(\cos{C}=\cos{60^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=x\)
\(\Rightarrow \cos^2{C}=x^2\)
\(\Rightarrow 1-\sin^2{C}=x^2\)
\(\Rightarrow 1-x^2=\sin^2{C}\)
\(\Rightarrow \sin^2{C}=1-x^2\)
\(\therefore \sin{C}=\sqrt{1-x^2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৬। \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে ছেদ করবে না, যখন-
\(c=g^2\) হয়।
\(\therefore \) বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে ছেদ করবে না, যখন \(c>g^2\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(g^2\gt{c}\)
গ \(f^2\gt{c}\)
গ \(f^2\gt{c}\)
খ \(c\lt{g^2}\)
ঘ \(c\lt{f^2}\)
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করবে যদি,ঘ \(c\lt{f^2}\)
\(c=g^2\) হয়।
\(\therefore \) বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে ছেদ করবে না, যখন \(c>g^2\)
উত্তরঃ ( খ )
১৭। \((1, 1)\) বিন্দুগামী \(2x-3y-5=0\) রেখার উপর লম্বরেখার সমীকরণ কোনটি?
\((1, 1)\) বিন্দুগামী
\(\therefore 3.1+2.1+k=0\)
\(\Rightarrow 3+2+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\Rightarrow k=-5\)
\(\therefore\) লম্বরেখার সমীকরণ \(3x+2y-5=0\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(3x+2y-5=0\)
গ \(2x+3y+5=0\)
গ \(2x+3y+5=0\)
খ \(3x-2y-5=0\)
ঘ \(2x+3y-5=0\)
\(2x-3y-5=0\) রেখার উপর লম্বরেখার সমীকরণ \(3x+2y+k=0\) যা,ঘ \(2x+3y-5=0\)
\((1, 1)\) বিন্দুগামী
\(\therefore 3.1+2.1+k=0\)
\(\Rightarrow 3+2+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\Rightarrow k=-5\)
\(\therefore\) লম্বরেখার সমীকরণ \(3x+2y-5=0\)
উত্তরঃ ( ক )
১৮। \(\tan{x}\) এর রেঞ্জ কোনটি?
\(x=\frac{\pi}{2}\) হলে, \(y=\tan{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\infty\) যা \(y\) এর সর্বোচ্চ মাণ।
\(x=-\frac{\pi}{2}\) হলে, \(y=-\tan{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-\infty\) যা \(y\) এর সর্বোনিম্ন মাণ।
\(\therefore y=\tan{x}\) এর রেঞ্জ \((-\infty, \infty)\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \((-1, 1)\)
গ \((-\infty, \infty)\)
গ \((-\infty, \infty)\)
খ \([-1, 1]\)
ঘ \([-\infty, \infty]\)
ধরি, \(y=\tan{x}\) ঘ \([-\infty, \infty]\)
\(x=\frac{\pi}{2}\) হলে, \(y=\tan{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\infty\) যা \(y\) এর সর্বোচ্চ মাণ।
\(x=-\frac{\pi}{2}\) হলে, \(y=-\tan{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-\infty\) যা \(y\) এর সর্বোনিম্ন মাণ।
\(\therefore y=\tan{x}\) এর রেঞ্জ \((-\infty, \infty)\)
উত্তরঃ ( গ )
১৯। \(f(x)=2e^{2x}\) হলে \(f(\ln{2x})\) এর মাণ কোনটি?
\(f(\ln{2x})=2e^{2\ln{2x}}\)
\(=2e^{\ln{(2x)^{2}}}\)
\(=2(2x)^{2} \ \because e^{\ln{x}}=x\)
\(=2\times{4x^{2}}\)
\(=8x^{2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(4x\)
গ \(8x\)
গ \(8x\)
খ \(4x^2\)
ঘ \(8x^2\)
\(f(x)=2e^{2x}\) হলে, ঘ \(8x^2\)
\(f(\ln{2x})=2e^{2\ln{2x}}\)
\(=2e^{\ln{(2x)^{2}}}\)
\(=2(2x)^{2} \ \because e^{\ln{x}}=x\)
\(=2\times{4x^{2}}\)
\(=8x^{2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২০। \(\frac{d}{dx}(\log_2{x})\) এর মাণ কত?
\(=\frac{d}{dx}(\log_e{x}\times{\log_2{e}})\)
\(=\frac{d}{dx}(\ln{x}\times{\frac{1}{\log_e{2}}})\)
\(=\frac{d}{dx}(\ln{x}\times{\frac{1}{\ln{2}}})\)
\(=\frac{1}{\ln{2}}\frac{d}{dx}(\ln{x})\)
\(=\frac{1}{\ln{2}}\times{\frac{1}{x}} \ \because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln{2}}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{1}{x}\)
গ \(\frac{1}{2\ln{x}}\)
গ \(\frac{1}{2\ln{x}}\)
খ \(2^{x}\)
ঘ \(\frac{1}{x\ln{2}}\)
\(\frac{d}{dx}(\log_2{x})\)ঘ \(\frac{1}{x\ln{2}}\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_e{x}\times{\log_2{e}})\)
\(=\frac{d}{dx}(\ln{x}\times{\frac{1}{\log_e{2}}})\)
\(=\frac{d}{dx}(\ln{x}\times{\frac{1}{\ln{2}}})\)
\(=\frac{1}{\ln{2}}\frac{d}{dx}(\ln{x})\)
\(=\frac{1}{\ln{2}}\times{\frac{1}{x}} \ \because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln{2}}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২১। \(\tan{\frac{3x}{2}}\) এর মৌলিক পর্যায় কত?
\(\therefore \tan{\frac{3x}{2}}\) এর মৌলিক পর্যায় \(=\frac{\pi}{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(\pi\)
গ \(\pi\)
খ \(\frac{2\pi}{3}\)
ঘ \(\frac{3\pi}{2}\)
\(\tan{x}\) এর মৌলিক পর্যায় \(\pi\) ঘ \(\frac{3\pi}{2}\)
\(\therefore \tan{\frac{3x}{2}}\) এর মৌলিক পর্যায় \(=\frac{\pi}{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
২২। \(\int{cosec \ {x}}dx\) এর মাণ কোনটি?
\(=\int{\frac{1}{\sin{x}}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}dx}\)
\(=\int{\frac{\sec^2{\frac{x}{2}}}{2\sec^2{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}dx}\)
\(=\int{\frac{\frac{1}{2}\sec^2{\frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}}\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}dx}\)
\(=\int{\frac{\frac{1}{2}\sec^2{\frac{x}{2}}}{\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}}dx}\)
\(=\int{\frac{\frac{1}{2}\sec^2{\frac{x}{2}}}{\tan{\frac{x}{2}}}dx}\)
\(=\int{\frac{d(\tan{\frac{x}{2}})}{\tan{\frac{x}{2}}}}\)
\(=\ln{|\tan{\frac{x}{2}}|}+c\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\ln{|\sin{x}|}+c\)
গ \(\ln{|\tan{\frac{x}{2}}|}+c\)
গ \(\ln{|\tan{\frac{x}{2}}|}+c\)
খ \(\ln{|\sec{x}|}+c\)
ঘ \(\ln{|\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}|}+c\)
\(\int{cosec \ {x}dx}\)ঘ \(\ln{|\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}|}+c\)
\(=\int{\frac{1}{\sin{x}}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}dx}\)
\(=\int{\frac{\sec^2{\frac{x}{2}}}{2\sec^2{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}dx}\)
\(=\int{\frac{\frac{1}{2}\sec^2{\frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}}\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}dx}\)
\(=\int{\frac{\frac{1}{2}\sec^2{\frac{x}{2}}}{\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}}dx}\)
\(=\int{\frac{\frac{1}{2}\sec^2{\frac{x}{2}}}{\tan{\frac{x}{2}}}dx}\)
\(=\int{\frac{d(\tan{\frac{x}{2}})}{\tan{\frac{x}{2}}}}\)
\(=\ln{|\tan{\frac{x}{2}}|}+c\)
উত্তরঃ ( গ )
২৩। \((\hat{j}\times{\hat{i}}).\hat{k}=\) কত?
\(=-(\hat{i}\times{\hat{j}}).\hat{k}\)
\(=-\hat{k}.\hat{k} \ \because \hat{i}\times{\hat{j}}=-\hat{k}\)
\(=-(1.1)\)
\(=-1\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-1\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(0\)
ঘ \(k\)
\((\hat{j}\times{\hat{i}}).\hat{k}\)ঘ \(k\)
\(=-(\hat{i}\times{\hat{j}}).\hat{k}\)
\(=-\hat{k}.\hat{k} \ \because \hat{i}\times{\hat{j}}=-\hat{k}\)
\(=-(1.1)\)
\(=-1\)
উত্তরঃ ( ক )
২৪। \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3^{x+1}-3^{-x}}{4.3^{x}+3^{-x}}\] এর মাণ কত?
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3.3^{x}-3^{-x}}{4.3^{x}+3^{-x}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3-\frac{3^{-x}}{3^{x}}}{4+\frac{3^{-x}}{3^{x}}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3-\frac{1}{3^{2x}}}{4+\frac{1}{3^{2x}}}\]
\[=\frac{3-0}{4+0} \ \because \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{3^{2x}}=0\]
\[=\frac{3}{4}\]
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{1}{4}\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\frac{3}{4}\)
ঘ \(\infty\)
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3^{x+1}-3^{-x}}{4.3^{x}+3^{-x}}\]ঘ \(\infty\)
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3.3^{x}-3^{-x}}{4.3^{x}+3^{-x}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3-\frac{3^{-x}}{3^{x}}}{4+\frac{3^{-x}}{3^{x}}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3-\frac{1}{3^{2x}}}{4+\frac{1}{3^{2x}}}\]
\[=\frac{3-0}{4+0} \ \because \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{3^{2x}}=0\]
\[=\frac{3}{4}\]
উত্তরঃ ( খ )
২৫। \(\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\) এর লেখচিত্র কোনটি?
\(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(y\) সর্বদা ধনাত্মক।
\(\therefore y\) এর চিত্র, \(x\) অক্ষের উপরে অবস্থান করবে।
আবার, \(x=0 \Rightarrow y=0 \) অর্থাৎ \(y\) এর চিত্র, মূলবিন্দুগামী।
উত্তরঃ ( ঘ )
ক 
গ
গ
খ 
ঘ
ধরি, \(y=\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\) ঘ
\(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(y\) সর্বদা ধনাত্মক।
\(\therefore y\) এর চিত্র, \(x\) অক্ষের উপরে অবস্থান করবে।
আবার, \(x=0 \Rightarrow y=0 \) অর্থাৎ \(y\) এর চিত্র, মূলবিন্দুগামী।
উত্তরঃ ( ঘ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003