শিক্ষা বোর্ড চট্টগ্রাম - 2017
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করলে উহার ব্যাসার্ধ কত?
ব্যসার্ধ \(r=4\) একক
উত্তরঃ ( খ )
ক \(3\)
গ \(5\)
গ \(5\)
খ \(4\)
ঘ \(7\)
যেহেতু বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে। সুতরাং কেন্দ্রের তথা \((3, 4)\) এর \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যসার্ধের সমান হবে। ঘ \(7\)
ব্যসার্ধ \(r=4\) একক
উত্তরঃ ( খ )
২। \(\sec{(270^{o}+\theta)}\) এর মাণ কোনটি?
\(=\sec{(90^{o}\times{3}+\theta)}\)
ইহা চতুর্থ চৌকোণে অবস্থিত যেখানে \(\cos{\theta}\) ও \(\sec{\theta}\) উভয়ে ধনাত্মক।
যেহেতু \(90^{o}\) এর সহগুণক বিজোড় সংখ্যা সুতরাং অনুপাত \(\sec{}\) পরিবর্তীত হয়ে \( cosec{}\) হবে।
\(= \ cosec \ {\theta}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-cosec \ {\theta}\)
গ \(cosec \ {\theta}\)
গ \(cosec \ {\theta}\)
খ \(-\sec{\theta}\)
ঘ \(\sec{\theta}\)
\(\sec{(270^{o}+\theta)}\)ঘ \(\sec{\theta}\)
\(=\sec{(90^{o}\times{3}+\theta)}\)
ইহা চতুর্থ চৌকোণে অবস্থিত যেখানে \(\cos{\theta}\) ও \(\sec{\theta}\) উভয়ে ধনাত্মক।
যেহেতু \(90^{o}\) এর সহগুণক বিজোড় সংখ্যা সুতরাং অনুপাত \(\sec{}\) পরিবর্তীত হয়ে \( cosec{}\) হবে।
\(= \ cosec \ {\theta}\)
উত্তরঃ ( গ )
৩। \(a\) এর মাণ কত হলে \(2\hat{i}-3\hat{j}+a\hat{k}\) ও \(3\hat{i}-4\hat{j}+3\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে।
যদি এবং কেবল যাদি \((2\hat{i}-3\hat{j}+a\hat{k}).(3\hat{i}-4\hat{j}+3\hat{k})=0\) হয়।
\(\Rightarrow 2.3+(-3).(-4)+a.3=0\)
\(\Rightarrow 6+12+3a=0\)
\(\Rightarrow 18+3a=0\)
\(\Rightarrow 3a=-18\)
\(\therefore a=-6\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-6\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(-2\)
ঘ \(6\)
\(2\hat{i}-3\hat{j}+a\hat{k}\) ও \(3\hat{i}-4\hat{j}+3\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে।ঘ \(6\)
যদি এবং কেবল যাদি \((2\hat{i}-3\hat{j}+a\hat{k}).(3\hat{i}-4\hat{j}+3\hat{k})=0\) হয়।
\(\Rightarrow 2.3+(-3).(-4)+a.3=0\)
\(\Rightarrow 6+12+3a=0\)
\(\Rightarrow 18+3a=0\)
\(\Rightarrow 3a=-18\)
\(\therefore a=-6\)
উত্তরঃ ( ক )
৪। \(A=\begin{bmatrix} \ \ 8 & -5 \\-6 & \ \ 4 \end{bmatrix}\) হলে \(A^{-1}=?\)
আমরা জানি, \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}Adj{A}\)
\(=\frac{1}{\left|\begin{array}{c} \ \ 8 & -5 \\-6 & \ \ 4 \end{array}\right|}\begin{bmatrix} \ \ 4 & 6 \\5 & \ \ 8 \end{bmatrix}^{t}\)
\(=\frac{1}{32-30}\begin{bmatrix} \ \ 4 & 5 \\6 & \ \ 8 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \ \ 4 & 5 \\6 & \ \ 8 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & 5 \\6 & 8 \end{bmatrix}\)
গ \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & 5 \\6 & 8 \end{bmatrix}\)
গ \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & 5 \\6 & 8 \end{bmatrix}\)
খ \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8 & 5 \\6 & 4 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \ \ 8 & -5 \\-6 & \ \ 4 \end{bmatrix}\)
দেওয়া আছে, \(A=\begin{bmatrix} \ \ 8 & -5 \\-6 & \ \ 4 \end{bmatrix}\) ঘ \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \ \ 8 & -5 \\-6 & \ \ 4 \end{bmatrix}\)
আমরা জানি, \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}Adj{A}\)
\(=\frac{1}{\left|\begin{array}{c} \ \ 8 & -5 \\-6 & \ \ 4 \end{array}\right|}\begin{bmatrix} \ \ 4 & 6 \\5 & \ \ 8 \end{bmatrix}^{t}\)
\(=\frac{1}{32-30}\begin{bmatrix} \ \ 4 & 5 \\6 & \ \ 8 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \ \ 4 & 5 \\6 & \ \ 8 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ ( গ )
৫। \(\int{\frac{dx}{\sqrt{36-x^2}}}=\) কত?
\(=\int{\frac{dx}{\sqrt{6^2-x^2}}}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}+c, \ \because \int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\sin^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}+c\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\sin^{-1}x+c\)
গ \(\frac{1}{6}\sin^{-1}x+c\)
গ \(\frac{1}{6}\sin^{-1}x+c\)
খ \(\sin^{-1}\frac{x}{6}+c\)
ঘ \(\frac{1}{6}\sin^{-1}\frac{x}{6}+c\)
\(\int{\frac{dx}{\sqrt{36-x^2}}}\)ঘ \(\frac{1}{6}\sin^{-1}\frac{x}{6}+c\)
\(=\int{\frac{dx}{\sqrt{6^2-x^2}}}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}+c, \ \because \int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\sin^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}+c\)
উত্তরঃ ( খ )
৬। \(\int{e^{-7x}dx}=\) কত?
\(=\frac{e^{-7x}}{\frac{d}{dx}(-7x)}+c\)
\(=\frac{e^{-7x}}{-7}+c\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{e^{-7x}}{-7}+c\)
গ \(-7e^{-7x}+c\)
গ \(-7e^{-7x}+c\)
খ \(\frac{e^{-7x}}{7}+c\)
ঘ \(7e^{-7x}+c\)
\(\int{e^{-7x}dx}\)ঘ \(7e^{-7x}+c\)
\(=\frac{e^{-7x}}{\frac{d}{dx}(-7x)}+c\)
\(=\frac{e^{-7x}}{-7}+c\)
উত্তরঃ ( ক )
৭। \(\frac{d}{dx}(5^x)=\) কত?
\(=5^x\ln{5}, \ \because \frac{d}{dx}(a^{x})=a^x\ln{a}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(x5^{x-1}\)
গ \(5^x\ln{5}\)
গ \(5^x\ln{5}\)
খ \(5^x\ln{5^x}\)
ঘ \(x\ln{5^x}\)
\(\frac{d}{dx}(5^x)\)ঘ \(x\ln{5^x}\)
\(=5^x\ln{5}, \ \because \frac{d}{dx}(a^{x})=a^x\ln{a}\)
উত্তরঃ ( গ )
৮। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}{3x}=\] কত?
\(\therefore f\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=\cos{\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}{3x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}}{3x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{3x}}{3x}\]
\[=1, \ \because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-1\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(0\)
ঘ \(\infty\)
দেওয়া আছে, \(f(x)=\cos{x}\)ঘ \(\infty\)
\(\therefore f\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=\cos{\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}{3x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}}{3x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{3x}}{3x}\]
\[=1, \ \because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
উত্তরঃ ( গ )
৯। \(f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\) কত?
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-\cos{x}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(x)=-(-\sin{x})\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(x)=\sin{x}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin{\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(-\frac{1}{2}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
দেওয়া আছে, \(f(x)=\cos{x}\)ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-\cos{x}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(x)=-(-\sin{x})\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(x)=\sin{x}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin{\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১০। \(f(x)=\frac{4x-13}{x-5}\) এর রেঞ্জ কোনটি?
\(\Rightarrow y=\frac{4x-13}{x-5}\)
\(\Rightarrow xy-5y=4x-13\)
\(\Rightarrow xy-4x=5y-13\)
\(\Rightarrow x(y-4)=5y-13\)
\(\Rightarrow x=\frac{5y-13}{y-4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{5y-13}{y-4}\in{\mathbb{R}}\) হবে,
যদি এবং কেবল যদি \(y-4\ne{0}\) হয়।
\(\therefore y\ne{4}\)
\(\therefore \) রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{4\}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\mathbb{R}\)
গ \(\mathbb{R}-\{5\}\)
গ \(\mathbb{R}-\{5\}\)
খ \(\mathbb{R}-\{4\}\)
ঘ \(\mathbb{R}-\{\frac{13}{4}\}\)
ধরি, \(y=f(x)=\frac{4x-13}{x-5}\)ঘ \(\mathbb{R}-\{\frac{13}{4}\}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4x-13}{x-5}\)
\(\Rightarrow xy-5y=4x-13\)
\(\Rightarrow xy-4x=5y-13\)
\(\Rightarrow x(y-4)=5y-13\)
\(\Rightarrow x=\frac{5y-13}{y-4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{5y-13}{y-4}\in{\mathbb{R}}\) হবে,
যদি এবং কেবল যদি \(y-4\ne{0}\) হয়।
\(\therefore y\ne{4}\)
\(\therefore \) রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{4\}\)
উত্তরঃ ( খ )
১১। \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{8-x}}\) ফাংশনটির ডোমেন কোনটি?
যদি এবং কেবল যদি \(\sqrt{8-x}>0\) হয়।
\(\Rightarrow 8-x>0\)
\(\Rightarrow 8>x\)
\(\therefore \) ডোমেন \(=(-\infty, 8)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \((\infty, 8]\)
গ \([\infty, 8)\)
গ \([\infty, 8)\)
খ \((-\infty, 8)\)
ঘ \((\infty, 8)\)
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{8-x}}\in{\mathbb{R}}\) হবে,ঘ \((\infty, 8)\)
যদি এবং কেবল যদি \(\sqrt{8-x}>0\) হয়।
\(\Rightarrow 8-x>0\)
\(\Rightarrow 8>x\)
\(\therefore \) ডোমেন \(=(-\infty, 8)\)
উত্তরঃ ( খ )
১২। নিচের কোন ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক।
\(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(f(x)\) এর মান ভিন্ন
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক
আবার, ফাংশনটি \(x\) এর সকল বাস্তব মান সিদ্ধ করে।
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক।
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(f(x)=2x^2\)
গ \(f(x)=\cos{x}\)
গ \(f(x)=\cos{x}\)
খ \(f(x)=|2x|\)
ঘ \(f(x)=\frac{x+2}{3}\)
\(f(x)=\frac{x+2}{3}\) এর ক্ষেত্রে ঘ \(f(x)=\frac{x+2}{3}\)
\(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(f(x)\) এর মান ভিন্ন
\(\therefore \) ফাংশনটি এক-এক
আবার, ফাংশনটি \(x\) এর সকল বাস্তব মান সিদ্ধ করে।
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক।
উত্তরঃ ( ঘ )
১৩। \(\tan{\theta}=\frac{5}{13}, \ \cos{\theta}\) ধনাত্মক হলে \(\sin{\theta}\)এর মাণ কত?
\(\therefore \sin{\theta}\) ধনাত্মক
\(\therefore \sin{\theta}=\frac{5}{13}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{-5}{13}\)
গ \(\frac{-12}{13}\)
গ \(\frac{-12}{13}\)
খ \(\frac{5}{13}\)
ঘ \(\frac{12}{13}\)
\(\tan{\theta}=\frac{5}{13}, \ \cos{\theta}\) ধনাত্মক ঘ \(\frac{12}{13}\)
\(\therefore \sin{\theta}\) ধনাত্মক
\(\therefore \sin{\theta}=\frac{5}{13}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৪। একটি গাড়ির চাকার ব্যাসার্ধ \(25\) সেঃমিঃ। চাকাটি প্রতি সেকেন্ডে \(10\) বার আবর্তিত হলে -
\(i.\) চাকাটির পরিধি \(50\pi\) সে.মি.
\(ii.\) চাকাটি একবার ঘুরে প্রায় \(157\) সে.মি. পথ অতিক্রম করে।
\(iii.\) চাকাটির গতিবেগ \(15.7\) মি./সে.
উপরের তথ্যের আলোকে কোনটি সঠীক?
চাকাটির পরিধি \(=2\pi{r}\) সে.মি.
\(=2\pi\times{25}\) সে.মি.
\(=50\pi\) সে.মি.
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
চাকাটি একবার ঘুরে অতিক্রম করে প্রায় \(=2\times{3.1416}\times{25}\) সে.মি.
\(=157\) সে.মি.
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
চাকাটির গতিবেগ \(=\frac{157.08\times{10}}{100}\) মি./সে.
\(=\frac{1570.8}{100}\) মি./সে.
\(=15.7\) মি./সে.
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) চাকাটির পরিধি \(50\pi\) সে.মি.
\(ii.\) চাকাটি একবার ঘুরে প্রায় \(157\) সে.মি. পথ অতিক্রম করে।
\(iii.\) চাকাটির গতিবেগ \(15.7\) মি./সে.
উপরের তথ্যের আলোকে কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
একটি গাড়ির চাকার ব্যাসার্ধ \(25\) সেঃমিঃ। চাকাটি প্রতি সেকেন্ডে \(10\) বার আবর্তিত হলে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
চাকাটির পরিধি \(=2\pi{r}\) সে.মি.
\(=2\pi\times{25}\) সে.মি.
\(=50\pi\) সে.মি.
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
চাকাটি একবার ঘুরে অতিক্রম করে প্রায় \(=2\times{3.1416}\times{25}\) সে.মি.
\(=157\) সে.মি.
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
চাকাটির গতিবেগ \(=\frac{157.08\times{10}}{100}\) মি./সে.
\(=\frac{1570.8}{100}\) মি./সে.
\(=15.7\) মি./সে.
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
১৫। \(\frac{1}{0!}=\) কত?
\(=\frac{1}{1}, \ \because 0!=1\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-\infty\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(0\)
ঘ \(\infty\)
\(\frac{1}{0!}\)ঘ \(\infty\)
\(=\frac{1}{1}, \ \because 0!=1\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( গ )
১৬। \(6\) জন বালক \(4\) আসনের একটি বেঞ্চে কতভাবে বসতে পারে?
\(=^6P_{4}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(6!\)
গ \(^6C_{4}\)
গ \(^6C_{4}\)
খ \(4!\)
ঘ \(^6P_{4}\)
\(6\) জন বালক \(4\) আসনের একটি বেঞ্চে বসবার উপায়,ঘ \(^6P_{4}\)
\(=^6P_{4}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৭। \(Destination\) শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
তার মধ্যে \(2\) টি \(t, \ 2\) টি \(i, \ 2\) টি \(n\) এবং অবশিষ্ট অক্ষরগুলি ভিন্ন।
সবগুলি অক্ষরে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{11!}{2! 2! 2!}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{11!}{3!}\)
গ \(\frac{8!}{2! 2! 2!}\)
গ \(\frac{8!}{2! 2! 2!}\)
খ \(\frac{11!}{2! 2! 2!}\)
ঘ \(\frac{8!}{3!}\)
\(Destination\) শব্দটিতে মোট \(11\) টি অক্ষর আছে।ঘ \(\frac{8!}{3!}\)
তার মধ্যে \(2\) টি \(t, \ 2\) টি \(i, \ 2\) টি \(n\) এবং অবশিষ্ট অক্ষরগুলি ভিন্ন।
সবগুলি অক্ষরে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{11!}{2! 2! 2!}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৮। \(x^2+y^2=100\) বৃত্ত-
\(i.\) এর কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(ii.\) এর ব্যাসার্ধ \(10\) একক
\(iii.\) দ্বারা \(x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ \(20\) একক
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\therefore (x-0)^2+(y-0)^2=10^2\)
এর কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
এর ব্যাসার্ধ \(10\) একক
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=2\sqrt{g^2-c}\) একক
\(=2\sqrt{0^2-(-100)}\) একক
\(=2\sqrt{100}\) একক
\(=2\times{10}\) একক
\(=20\) একক
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) এর কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(ii.\) এর ব্যাসার্ধ \(10\) একক
\(iii.\) দ্বারা \(x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ \(20\) একক
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2+y^2=100\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore (x-0)^2+(y-0)^2=10^2\)
এর কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
এর ব্যাসার্ধ \(10\) একক
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=2\sqrt{g^2-c}\) একক
\(=2\sqrt{0^2-(-100)}\) একক
\(=2\sqrt{100}\) একক
\(=2\times{10}\) একক
\(=20\) একক
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
১৯। \(x+y=6\) এবং \(y-x=2\) সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী এবং \(x\)-অক্ষের উপর লম্বরেখার সমীকরণ কোনটি?
\(x+y-6+k(y-x-2)=0\)
\(\Rightarrow x(1-k)+y(1+k)-6-2k=0\) এর ঢাল \(=-\frac{1-k}{1+k}\)
রেখাটি \(x\)-অক্ষের উপর লম্ব
\(\therefore -\frac{1-k}{1+k}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\Rightarrow k=-1\)
\(\therefore \) রেখাটির সমীকরণ, \(x+y-6-1(y-x-2)=0\)
\(\Rightarrow x+y-6-y+x+2=0\)
\(\Rightarrow 2x-4=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(x=2\)
গ \(y=2\)
গ \(y=2\)
খ \(x=4\)
ঘ \(y=4\)
\(x+y=6 ...(1)\) এবং \(y-x=2\) সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,ঘ \(y=4\)
\(x+y-6+k(y-x-2)=0\)
\(\Rightarrow x(1-k)+y(1+k)-6-2k=0\) এর ঢাল \(=-\frac{1-k}{1+k}\)
রেখাটি \(x\)-অক্ষের উপর লম্ব
\(\therefore -\frac{1-k}{1+k}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\Rightarrow k=-1\)
\(\therefore \) রেখাটির সমীকরণ, \(x+y-6-1(y-x-2)=0\)
\(\Rightarrow x+y-6-y+x+2=0\)
\(\Rightarrow 2x-4=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
উত্তরঃ ( ক )
২০। \(3x-2y+6=0\) সরলরেখা দ্বারা \(x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ কত একক?
\(=-\frac{6}{3}, \ \because x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{c}{a}\)
\(=-2\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-3\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(-2\)
ঘ \(3\)
\(3x-2y+6=0\) সরলরেখা দ্বারা \(x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ ঘ \(3\)
\(=-\frac{6}{3}, \ \because x\)-অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{c}{a}\)
\(=-2\)
উত্তরঃ ( খ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ২১ এবং২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
২১। \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?
ক \(\sqrt{3}x+y=6\)
গ \(\sqrt{3}x-y=6\)
গ \(\sqrt{3}x-y=6\)
খ \(x+\sqrt{3}y=6\)
ঘ \(x-\sqrt{3}y=6\)
চিত্র হতে, \(AB\) সরলরেখার সমীকরণঘ \(x-\sqrt{3}y=6\)
\(x\cos{60^{o}}+y\sin{60^{o}}=3\)
\(\Rightarrow x\frac{1}{2}+y\frac{\sqrt{3}}{2}=3\)
\(\therefore x+\sqrt{3}y=6\)
উত্তরঃ ( খ )
২২। \(\triangle{OAC}\) এর ক্ষেত্রফল কোনটি?
\(\tan{60^{o}}=\frac{AC}{OC}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{AC}{3}\)
\(\Rightarrow AC=3\sqrt{3}\)
\(\therefore \triangle{OAC}=\frac{1}{2}\times{AC}\times{OC}\)
\(=\frac{9\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(3\sqrt{3}\) বর্গ একক
গ \(9\) বর্গ একক
গ \(9\) বর্গ একক
খ \(\frac{9}{2}\) বর্গ একক
ঘ \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক
\(\triangle{OAC}\) হতে, ঘ \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক
\(\tan{60^{o}}=\frac{AC}{OC}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{AC}{3}\)
\(\Rightarrow AC=3\sqrt{3}\)
\(\therefore \triangle{OAC}=\frac{1}{2}\times{AC}\times{OC}\)
\(=\frac{9\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক
উত্তরঃ ( ঘ )
২৩। \(P(1, 3, 4)\) ও \(Q(2, -3, 5)\) হলে-
\(i.\) \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
\(ii.\) \(\overrightarrow{OP}\) এর একক ভেক্টর \(\frac{1}{\sqrt{26}}(\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\)
\(iii.\) \(\overrightarrow{OP}\) বরাবর \(\overrightarrow{OQ}\) এর অভিক্ষেপ \(=\frac{1}{2}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=(2-0)\hat{i}+(-3-0)\hat{j}+(5-0)\hat{k}\)
\(=2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\overrightarrow{OP}\) এর একক ভেক্টর,
\(=\frac{\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}\)
\(=\frac{(1-0)\hat{i}+(3-0)\hat{j}+(4-0)\hat{k}}{|(1-0)\hat{i}+(3-0)\hat{j}+(4-0)\hat{k}|}\)
\(=\frac{\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}}{|\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}|}\)
\(=\frac{\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}}{\sqrt{1^2+3^2+4^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{26}}(\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\overrightarrow{OP}\) বরাবর \(\overrightarrow{OQ}\) এর অভিক্ষেপ ,
\(=\frac{(\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}).(2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k})}{\sqrt{1^2+3^2+4^2}}\)
\(=\frac{2-9+20}{\sqrt{26}}\)
\(=\frac{13}{\sqrt{26}}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
\(ii.\) \(\overrightarrow{OP}\) এর একক ভেক্টর \(\frac{1}{\sqrt{26}}(\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\)
\(iii.\) \(\overrightarrow{OP}\) বরাবর \(\overrightarrow{OQ}\) এর অভিক্ষেপ \(=\frac{1}{2}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(P(1, 3, 4)\) ও \(Q(2, -3, 5)\) হলে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=(2-0)\hat{i}+(-3-0)\hat{j}+(5-0)\hat{k}\)
\(=2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\overrightarrow{OP}\) এর একক ভেক্টর,
\(=\frac{\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}\)
\(=\frac{(1-0)\hat{i}+(3-0)\hat{j}+(4-0)\hat{k}}{|(1-0)\hat{i}+(3-0)\hat{j}+(4-0)\hat{k}|}\)
\(=\frac{\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}}{|\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}|}\)
\(=\frac{\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}}{\sqrt{1^2+3^2+4^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{26}}(\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\overrightarrow{OP}\) বরাবর \(\overrightarrow{OQ}\) এর অভিক্ষেপ ,
\(=\frac{(\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}).(2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k})}{\sqrt{1^2+3^2+4^2}}\)
\(=\frac{2-9+20}{\sqrt{26}}\)
\(=\frac{13}{\sqrt{26}}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
২৪। \(a\) এর মাণ কত হলে \(\begin{bmatrix}-4 & 0 & -2\\ \ \ 0 & 5 & \ \ a\\-2 & 4 & \ \ 0 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হবে?
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}-4 & 0 & -2\\ \ \ 0 & 5 & \ \ a\\-2 & 4 & \ \ 0 \end{bmatrix}^{t}=\begin{bmatrix}-4 & 0 & -2\\ \ \ 0 & 5 & \ \ 4\\-2 & a & \ \ 0 \end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে, \(a=4\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-4\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(-2\)
ঘ \(4\)
প্রতিসম হবে যদি \(A^{t}=A\) হয়। ঘ \(4\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}-4 & 0 & -2\\ \ \ 0 & 5 & \ \ a\\-2 & 4 & \ \ 0 \end{bmatrix}^{t}=\begin{bmatrix}-4 & 0 & -2\\ \ \ 0 & 5 & \ \ 4\\-2 & a & \ \ 0 \end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে, \(a=4\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২৫। \(\left|\begin{array}{c}\ \ 1 & -2 & \ \ 3\\ \ \ 0 & \ \ 1 & -2\\-1 & \ \ 0 & \ \ 2\end{array}\right|\) এ \((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগুণক কোনটি?
\(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c}\ \ 0 & -2\\-1 & \ \ 2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0-2)\)
\(=-(-2)\)
\(=2\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-4\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(-2\)
ঘ \(4\)
\((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগুণক ঘ \(4\)
\(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c}\ \ 0 & -2\\-1 & \ \ 2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(0-2)\)
\(=-(-2)\)
\(=2\)
উত্তরঃ ( গ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000009