শিক্ষা বোর্ড দিনাজপুর - 2017
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(3y^2-30y+5x+55=0\) কণিকের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনটি?
\(\Rightarrow y^2-10y+\frac{5}{3}x+\frac{55}{3}=0\)
\(\Rightarrow (y-5)^2-25+\frac{5}{3}x+\frac{55}{3}=0\)
\(\Rightarrow (y-5)^2=-\frac{5}{3}x+25-\frac{55}{3}\)
\(\Rightarrow (y-5)^2=-\frac{5}{3}x+\frac{75-55}{3}\)
\(\Rightarrow (y-5)^2=-\frac{5}{3}x+\frac{20}{3}\)
\(\Rightarrow (y-5)^2=-\frac{5}{3}(x-4)\)
\(\therefore Y^2=4aX\)
এখানে,
\(X=x-4, Y=y-5, 4a=-\frac{5}{3}\)
\(\therefore X=x-4, Y=y-5, a=-\frac{5}{12}\)
উপকেন্দ্র \((a, 0)\)
অর্থাৎ \(X=a, Y=0\)
\(\therefore x-4=-\frac{5}{12}, y-5=0\)
\(\Rightarrow x=4-\frac{5}{12}, y=5\)
\(\Rightarrow x=\frac{48-5}{12}, y=5\)
\(\Rightarrow x=\frac{43}{12}, y=5\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\frac{43}{12}, 5)\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-\left(\frac{53}{12}, 5\right)\)
গ \(\left(\frac{43}{12}, 5\right)\)
গ \(\left(\frac{43}{12}, 5\right)\)
খ \(-\left(\frac{43}{12},
5\right)\)
ঘ \(\left(\frac{53}{12}, 5\right)\)
\(3y^2-30y+5x+55=0\)ঘ \(\left(\frac{53}{12}, 5\right)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+\frac{5}{3}x+\frac{55}{3}=0\)
\(\Rightarrow (y-5)^2-25+\frac{5}{3}x+\frac{55}{3}=0\)
\(\Rightarrow (y-5)^2=-\frac{5}{3}x+25-\frac{55}{3}\)
\(\Rightarrow (y-5)^2=-\frac{5}{3}x+\frac{75-55}{3}\)
\(\Rightarrow (y-5)^2=-\frac{5}{3}x+\frac{20}{3}\)
\(\Rightarrow (y-5)^2=-\frac{5}{3}(x-4)\)
\(\therefore Y^2=4aX\)
এখানে,
\(X=x-4, Y=y-5, 4a=-\frac{5}{3}\)
\(\therefore X=x-4, Y=y-5, a=-\frac{5}{12}\)
উপকেন্দ্র \((a, 0)\)
অর্থাৎ \(X=a, Y=0\)
\(\therefore x-4=-\frac{5}{12}, y-5=0\)
\(\Rightarrow x=4-\frac{5}{12}, y=5\)
\(\Rightarrow x=\frac{48-5}{12}, y=5\)
\(\Rightarrow x=\frac{43}{12}, y=5\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\frac{43}{12}, 5)\)
উত্তরঃ ( গ )
২। \(\left(\frac{a}{x}+x\right)^{13}\)-এর বিস্তারে \(6\)-তম ও \(7\)-তম
পদের সহগ সমান হলে \(a\)-এর মাণ কোনটি?
এখানে,
\(6\)-তম পদের সহগ \(=^{13}C_{5}a^{13-5}\)
\(=^{13}C_{5}a^{8}\)
\(7\)-তম পদের সহগ \(=^{13}C_{6}a^{13-6}\)
\(=^{13}C_{6}a^{7}\)
শর্তমতে,
\(^{13}C_{5}a^{8}=^{13}C_{6}a^{7}\)
\(\Rightarrow ^{13}C_{5}a=^{13}C_{6}\)
\(\Rightarrow \frac{13!}{(13-5)!.5!}a=\frac{13!}{(13-6)!.6!}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{8!.5!}a=\frac{1}{7!.6!}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{8.7!.5!}a=\frac{1}{7!.6.5!}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{8}a=\frac{1}{6}\)
\(\Rightarrow a=\frac{8}{6}\)
\(\therefore a=\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{4}{3}\)
গ \(\pm 1\)
গ \(\pm 1\)
খ \(1\)
ঘ \(\frac{3}{4}\)
\(\left(\frac{a}{x}+x\right)^{13}\)ঘ \(\frac{3}{4}\)
এখানে,
\(6\)-তম পদের সহগ \(=^{13}C_{5}a^{13-5}\)
\(=^{13}C_{5}a^{8}\)
\(7\)-তম পদের সহগ \(=^{13}C_{6}a^{13-6}\)
\(=^{13}C_{6}a^{7}\)
শর্তমতে,
\(^{13}C_{5}a^{8}=^{13}C_{6}a^{7}\)
\(\Rightarrow ^{13}C_{5}a=^{13}C_{6}\)
\(\Rightarrow \frac{13!}{(13-5)!.5!}a=\frac{13!}{(13-6)!.6!}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{8!.5!}a=\frac{1}{7!.6!}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{8.7!.5!}a=\frac{1}{7!.6.5!}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{8}a=\frac{1}{6}\)
\(\Rightarrow a=\frac{8}{6}\)
\(\therefore a=\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
৩। \(y^2-2(x+3)^2=18\) কণিকের নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{y^2}{18}-\frac{2(x+3)^2}{18}=1\)
\(\therefore \frac{y^2}{18}-\frac{(x+3)^2}{9}=1\)
এখানে,
\(b^2=18, a^2=9\)
\(\therefore b=3\sqrt{2}, a=3\)
\(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{2+1}{2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব \(=|\frac{2b}{e}|\)
\(=|\frac{2\times{3\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}|\)
\(=\frac{2\times{3\sqrt{2}}\times{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{4\times{3}}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{4\times{\sqrt{3}\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\)
\(=4\sqrt{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(4\sqrt{3}\)
গ \(3\sqrt{2}\)
গ \(3\sqrt{2}\)
খ \(4\sqrt{2}\)
ঘ \(2\sqrt{3}\)
\(y^2-2(x+3)^2=18\)ঘ \(2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{18}-\frac{2(x+3)^2}{18}=1\)
\(\therefore \frac{y^2}{18}-\frac{(x+3)^2}{9}=1\)
এখানে,
\(b^2=18, a^2=9\)
\(\therefore b=3\sqrt{2}, a=3\)
\(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{2+1}{2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব \(=|\frac{2b}{e}|\)
\(=|\frac{2\times{3\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}|\)
\(=\frac{2\times{3\sqrt{2}}\times{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{4\times{3}}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{4\times{\sqrt{3}\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\)
\(=4\sqrt{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
৪। \(\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}}\)-এর
মাণ কোনটি?
\(=\frac{1}{(\omega^3)^{671}.\omega^2}+\frac{1}{(\omega^3)^{672}}+\frac{1}{(\omega^3)^{672}.\omega}\)
\(=\frac{1}{(1)^{671}.\omega^2}+\frac{1}{(1)^{672}}+\frac{1}{(1)^{672}.\omega} \because \omega^3=1\)
\(=\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{1}+\frac{1}{\omega}\)
\(=\frac{1}{\omega^2}+1+\frac{1}{\omega}\)
\(=\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega}+1\)
\(=\frac{1+\omega+\omega^2}{\omega^2}\)
\(=\frac{0}{\omega^2} \because 1+\omega+\omega^2=0\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-2\omega^2\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(-2\omega\)
ঘ \(3\)
\(\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}}\)ঘ \(3\)
\(=\frac{1}{(\omega^3)^{671}.\omega^2}+\frac{1}{(\omega^3)^{672}}+\frac{1}{(\omega^3)^{672}.\omega}\)
\(=\frac{1}{(1)^{671}.\omega^2}+\frac{1}{(1)^{672}}+\frac{1}{(1)^{672}.\omega} \because \omega^3=1\)
\(=\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{1}+\frac{1}{\omega}\)
\(=\frac{1}{\omega^2}+1+\frac{1}{\omega}\)
\(=\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega}+1\)
\(=\frac{1+\omega+\omega^2}{\omega^2}\)
\(=\frac{0}{\omega^2} \because 1+\omega+\omega^2=0\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( গ )
৫। \(\frac{(x-3)^2}{3}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\) উপবৃত্তের-
\(i.\) একটি শীর্ষের স্থানাঙ্ক \((3, 1)\)
\(ii.\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(6\)
\(iii.\) একটি উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y+2=0\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\therefore \frac{X^2}{3}+\frac{Y^2}{4}=1\)
এখানে,
\(a^2=3, b^2=4, X=x-3, Y=y+1\)
\(\therefore a=\sqrt{3}, b=2, X=x-3, Y=y+1\)
\(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}} \because b>a\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{2}\)
শীর্ষের স্থানাঙ্ক \((0, \pm{b})\)
\(\therefore X=0, Y=\pm{b}\)
\(\Rightarrow x-3=0, y+1=\pm{2}\)
\(\Rightarrow x=3, y=\pm{2}-1\)
\(\Rightarrow x=3, y=2-1, -2-1\)
\(\therefore x=3, y=1, -3\)
\(\therefore \) একটি শীর্ষের স্থানাঙ্ক \((3, 1)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
\(=|2\times{\sqrt{3}}|\)
\(=2\sqrt{3}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(Y=\pm{be}\)
\(\Rightarrow y+1=\pm{2\times{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow y+1=\pm{1}\)
\(\Rightarrow y=\pm{1}-1\)
\(\Rightarrow y=1-1, y=-1-1\)
\(\Rightarrow y=0, y=-2\)
\(\therefore y=0, y+2=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
\(i.\) একটি শীর্ষের স্থানাঙ্ক \((3, 1)\)
\(ii.\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(6\)
\(iii.\) একটি উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y+2=0\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\frac{(x-3)^2}{3}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore \frac{X^2}{3}+\frac{Y^2}{4}=1\)
এখানে,
\(a^2=3, b^2=4, X=x-3, Y=y+1\)
\(\therefore a=\sqrt{3}, b=2, X=x-3, Y=y+1\)
\(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}} \because b>a\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{2}\)
শীর্ষের স্থানাঙ্ক \((0, \pm{b})\)
\(\therefore X=0, Y=\pm{b}\)
\(\Rightarrow x-3=0, y+1=\pm{2}\)
\(\Rightarrow x=3, y=\pm{2}-1\)
\(\Rightarrow x=3, y=2-1, -2-1\)
\(\therefore x=3, y=1, -3\)
\(\therefore \) একটি শীর্ষের স্থানাঙ্ক \((3, 1)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
\(=|2\times{\sqrt{3}}|\)
\(=2\sqrt{3}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(Y=\pm{be}\)
\(\Rightarrow y+1=\pm{2\times{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow y+1=\pm{1}\)
\(\Rightarrow y=\pm{1}-1\)
\(\Rightarrow y=1-1, y=-1-1\)
\(\Rightarrow y=0, y=-2\)
\(\therefore y=0, y+2=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৬ এবং ৭ নং প্রশ্নের
উত্তর দাওঃ
\(y=\sin^{-1}{ \frac{\sqrt{3}}{2}}+\cos^{-1}{x}\) সমীকরণে-
৬। \(y=90^{o}\) হলে \(x\)-এর মাণ কোনটি?\(y=\sin^{-1}{ \frac{\sqrt{3}}{2}}+\cos^{-1}{x}\) সমীকরণে-
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ঘ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(y=\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}+\cos^{-1}{x}\)ঘ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}+\cos^{-1}{x}=y \)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\sin{60^{o}}}+\cos^{-1}{x}=90^{o} \)
\(\Rightarrow 60^{o}+\cos^{-1}{x}=90^{o}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=90^{o}-60^{o}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=30^{o}\)
\(\Rightarrow x=\cos{30^{o}}\)
\(\therefore x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
৭। \(x=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{31}}\) হলে \(y\)-এর মাণ কোনটি?
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\sqrt{3}}+\tan^{-1}{\frac{2}{3\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sqrt{3}+\frac{2}{3\sqrt{3}}}{1-\sqrt{3}\times{\frac{2}{3\sqrt{3}}}}\right\}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{9+2}{3\sqrt{3}}}{1-\frac{2}{3}}\right\}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{11}{3\sqrt{3}}}{\frac{3-2}{3}}\right\}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{11}{3\sqrt{3}}}{\frac{1}{3}}\right\}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\left\{\frac{11}{3\sqrt{3}}\times{3}\right\}}\)
\(\therefore y=\tan^{-1}{\left(\frac{11}{\sqrt{3}}\right)}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\tan^{-1}\left(\frac{5\sqrt{3}}{-7}\right)\)
গ \(\tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{11}\right)\)
গ \(\tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{11}\right)\)
খ \(\tan^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{3}}\right)\)
ঘ \(\tan^{-1}\left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right)\)
\(y=\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}+\cos^{-1}{\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{31}}}\)ঘ \(\tan^{-1}\left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right)\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\sqrt{3}}+\tan^{-1}{\frac{2}{3\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sqrt{3}+\frac{2}{3\sqrt{3}}}{1-\sqrt{3}\times{\frac{2}{3\sqrt{3}}}}\right\}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{9+2}{3\sqrt{3}}}{1-\frac{2}{3}}\right\}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{11}{3\sqrt{3}}}{\frac{3-2}{3}}\right\}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{11}{3\sqrt{3}}}{\frac{1}{3}}\right\}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\left\{\frac{11}{3\sqrt{3}}\times{3}\right\}}\)
\(\therefore y=\tan^{-1}{\left(\frac{11}{\sqrt{3}}\right)}\)
উত্তরঃ ( খ )
৮। \(\sin{2\theta}+3\sin{\theta}=0\) হলে, \(\theta\)-এর মাণ কোনটি?
\(\Rightarrow 2\sin{\theta}\cos{\theta}+3\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}(2\cos{\theta}+3)=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=0, 2\cos{\theta}+3\ne{0} \because 1\geq{\cos{\theta}}\geq{-1}\)
\(\therefore \theta=n\pi\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \((2n+1)\pi\)
গ \((2n+1)\frac{\pi}{2}\)
গ \((2n+1)\frac{\pi}{2}\)
খ \((4n+1)\pi\)
ঘ \(n\pi\)
\(\sin{2\theta}+3\sin{\theta}=0\)ঘ \(n\pi\)
\(\Rightarrow 2\sin{\theta}\cos{\theta}+3\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}(2\cos{\theta}+3)=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=0, 2\cos{\theta}+3\ne{0} \because 1\geq{\cos{\theta}}\geq{-1}\)
\(\therefore \theta=n\pi\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৯। কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \((2+2\sqrt{2})N\) মানের দুইটি সমান বলের
লব্ধি বল \((4+4\sqrt{2})N\)হলে, তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
\(=4+4\sqrt{2}\)
\(=\) লব্ধি
যেহেতু, বলদ্বয়ের বীজগাণিতিক যোগফল \(=\) লব্ধি
\(\therefore\) তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(=0^{o}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(0^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(45^{o}\)
ঘ \(180^{o}\)
বলদ্বয়ের বীজগাণিতিক যোগফল \(=2+2\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}\)ঘ \(180^{o}\)
\(=4+4\sqrt{2}\)
\(=\) লব্ধি
যেহেতু, বলদ্বয়ের বীজগাণিতিক যোগফল \(=\) লব্ধি
\(\therefore\) তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(=0^{o}\)
উত্তরঃ ( ক )
১০। কোনো জড় বস্তুর উপর \( A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(42N\) ও
\(24N\)মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বল কার্যরত। যদি \(BA\)-এর
বর্ধিতাংশের উপর \(C\) বিন্দুতে তাদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কার্যরত হয়,
তবে \(AC\) ও \(BC\)-এর অনুপাত কোনটি?
\(42.AC=24.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{24}{42}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{4}{7}\)
\(\therefore AC:BC=4:7\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(7:6\)
গ \(6:7\)
গ \(6:7\)
খ \(7:4\)
ঘ \(4:7\)
ঘ \(4:7\)
\(42.AC=24.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{24}{42}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{4}{7}\)
\(\therefore AC:BC=4:7\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১১। একটি শূন্য কূপে একটি পাথর টুকরা ফেলার \(4 sec\) পরে উহার তলদেশে
পতনের শব্দ শোনা গেল। শব্দের বেগ \(330ms^{-1}\) হলে কূপের গভীরতা কত?
\(\therefore h=\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow h=\frac{1}{2}\times{9.8}t^2\)
\(\therefore h=4.9t^2 ...(1)\)
আবার, \(h=330\times{(4-t)}\)
\(\therefore h=1320-330t ....(2)\)
এখন, \((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(4.9t^2=1320-330t\)
\(\Rightarrow 4.9t^2+330t-1320=0\)
\(\Rightarrow t=\frac{-330\pm{\sqrt{(330)^2-4\times{4.9}\times{-1320}}}}{2\times{4.9}}\)
\(\Rightarrow t=\frac{-330\pm{\sqrt{108,900+25,872}}}{9.8}\)
\(\Rightarrow t=\frac{-330\pm{\sqrt{134,772}}}{9.8}\)
\(\Rightarrow t=\frac{-330\pm{367.11306}}{9.8}\)
\(\Rightarrow t=\frac{-330+367.11306}{9.8}\)
\(\Rightarrow t=\frac{37.11306}{9.8}\)
\(\therefore t=3.78\)
এখন, \((1)\) হতে,
\(h=4.9\times{(3.78)^2}\)
\(=70.01 m\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(75.5 m\)
গ \(78.5 m\)
গ \(78.5 m\)
খ \(76.5 m\)
ঘ \(70.01 m\)
ধরি, কূপের গভীরতা ও পাথর টুকরা পতনের সময়কাল যথাক্রমে \(h\) ও
\(t\)ঘ \(70.01 m\)
\(\therefore h=\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow h=\frac{1}{2}\times{9.8}t^2\)
\(\therefore h=4.9t^2 ...(1)\)
আবার, \(h=330\times{(4-t)}\)
\(\therefore h=1320-330t ....(2)\)
এখন, \((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(4.9t^2=1320-330t\)
\(\Rightarrow 4.9t^2+330t-1320=0\)
\(\Rightarrow t=\frac{-330\pm{\sqrt{(330)^2-4\times{4.9}\times{-1320}}}}{2\times{4.9}}\)
\(\Rightarrow t=\frac{-330\pm{\sqrt{108,900+25,872}}}{9.8}\)
\(\Rightarrow t=\frac{-330\pm{\sqrt{134,772}}}{9.8}\)
\(\Rightarrow t=\frac{-330\pm{367.11306}}{9.8}\)
\(\Rightarrow t=\frac{-330+367.11306}{9.8}\)
\(\Rightarrow t=\frac{37.11306}{9.8}\)
\(\therefore t=3.78\)
এখন, \((1)\) হতে,
\(h=4.9\times{(3.78)^2}\)
\(=70.01 m\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১২। \(4x^3+12x^2-3x+52=0\) সমীকরণের একটি মূল
\(\frac{1}{2}-\sqrt{3}i\)হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?
কাল্পনিক মূলের ধর্মমতে সমীকরণের আরও একটি মূল হবে \(\frac{1}{2}+\sqrt{3}i\)
যেহেতু সমীকরণটিতে তিনটি মূল আছে, ধরি তৃতীয় মূল \(\gamma\)
\(\therefore (\frac{1}{2}-\sqrt{3}i)(\frac{1}{2}+\sqrt{3}i)\gamma=-\frac{52}{4} \because \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\)
\(\Rightarrow \left\{(\frac{1}{2})^2-(\sqrt{3}i)^2\right\}\gamma=-13\)
\(\Rightarrow \left\{\frac{1}{4}-3i^2\right\}\gamma=-13\)
\(\Rightarrow \left\{\frac{1}{4}+3\right\}\gamma=-13 \because i^2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{1+12}{4}\gamma=-13\)
\(\Rightarrow \frac{13}{4}\gamma=-13\)
\(\Rightarrow \gamma=-13\times{\frac{4}{13}}\)
\(\therefore \gamma=-4\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-5\)
গ \(5\)
গ \(5\)
খ \(-4\)
ঘ \(4\)
দেওয়া আছে সমীকরণের একটি মূল \(\frac{1}{2}-\sqrt{3}i\)ঘ \(4\)
কাল্পনিক মূলের ধর্মমতে সমীকরণের আরও একটি মূল হবে \(\frac{1}{2}+\sqrt{3}i\)
যেহেতু সমীকরণটিতে তিনটি মূল আছে, ধরি তৃতীয় মূল \(\gamma\)
\(\therefore (\frac{1}{2}-\sqrt{3}i)(\frac{1}{2}+\sqrt{3}i)\gamma=-\frac{52}{4} \because \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\)
\(\Rightarrow \left\{(\frac{1}{2})^2-(\sqrt{3}i)^2\right\}\gamma=-13\)
\(\Rightarrow \left\{\frac{1}{4}-3i^2\right\}\gamma=-13\)
\(\Rightarrow \left\{\frac{1}{4}+3\right\}\gamma=-13 \because i^2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{1+12}{4}\gamma=-13\)
\(\Rightarrow \frac{13}{4}\gamma=-13\)
\(\Rightarrow \gamma=-13\times{\frac{4}{13}}\)
\(\therefore \gamma=-4\)
উত্তরঃ ( খ )
১৩। \(2.45 km\) প্রস্তের নদীতে পানির স্রোতের \(\frac{7}{3}\) গুণ বেগে
স্রোতের সাথে লম্বভাবে একজন সাতারু নদী সোজাসুজি পাড়ি দেওয়ার জন্য যাত্রা
শুরু করল । সে অপর তীরে যাত্রা বিন্দুর ঠিক বিপরীত স্থান হতে কত দূরত্বে
ভাটিতে পৌঁছাবে।
ধরি, স্রোতের বেগ \(v\) এবং \(x\) দূরত্বে পৌঁছাবে।
চিত্রে, \(\triangle{OBC}\) এবং \(\triangle{ODE}\) সদৃশ।
\(\therefore \frac{OB}{OD}=\frac{BC}{DE}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{7v}{3}}{2.45}=\frac{v}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{7v}{7.35}=\frac{v}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{7}{7.35}=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow 7x=7.35\)
\(\Rightarrow x=\frac{7.35}{7}\)
\(\therefore x=1.05\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(0.32 km\)
গ \(0.50 km\)
গ \(0.50 km\)
খ \(1.05 km\)
ঘ \(5.72 km\)
ঘ \(5.72 km\)
ধরি, স্রোতের বেগ \(v\) এবং \(x\) দূরত্বে পৌঁছাবে।
চিত্রে, \(\triangle{OBC}\) এবং \(\triangle{ODE}\) সদৃশ।
\(\therefore \frac{OB}{OD}=\frac{BC}{DE}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{7v}{3}}{2.45}=\frac{v}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{7v}{7.35}=\frac{v}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{7}{7.35}=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow 7x=7.35\)
\(\Rightarrow x=\frac{7.35}{7}\)
\(\therefore x=1.05\)
উত্তরঃ ( খ )
১৪। \((2x-5)^2\le 0\)-এর সমাধান কোনটি?
\(\therefore (2x-5)^2=0\)
\(\Rightarrow 2x-5=0\)
\(\Rightarrow 2x=5\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{2}\)
\(\therefore x=2.5\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(x=2.5\)
গ \(x\ge 2.5\)
গ \(x\ge 2.5\)
খ \(x\le 2.5\)
ঘ \(0\le x\le 2.5\)
প্রদত্ত রাশি \((2x-5)^2\) এর মাণ শূন্য অপেক্ষা ছোট হতে পারে না।ঘ \(0\le x\le 2.5\)
\(\therefore (2x-5)^2=0\)
\(\Rightarrow 2x-5=0\)
\(\Rightarrow 2x=5\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{2}\)
\(\therefore x=2.5\)
উত্তরঃ ( ক )
১৫। একটি বাক্সে \(4\) টি সাদা \(3\) টি কালো ও \(5\) টি সবুজ মার্বেল
রাখা আছে। নির্বিচারে বাক্স হতে \(3\) টি মার্বেল তোলা হলে মার্বেলগুলোর
সম্ভাবনা-
\(i.\) \(3\) টি সবুজ হলে \(\frac{1}{22}\)
\(ii.\) \(3\) টি ভিন্ন রং এর হলে \(\frac{3}{11}\)
\(iii.\) সর্বাধিক \(2\) টি সাদা হলে \(\frac{9}{11}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(3\) টি সবুজ হলে \(=\frac{^{5}C_{3}}{^{12}C_{3}}\)
\(=\frac{10}{220}\)
\(=\frac{1}{22}\)
\(i.\) বাক্যটি সত্য।
\(3\) টি ভিন্ন রং এর হলে \(=\frac{^{4}C_{1}\times{^{3}C_{1}}\times{^{5}C_{1}}}{^{12}C_{3}}\)
\(=\frac{4\times{3}\times{5}}{220}\)
\(=\frac{60}{220}\)
\(=\frac{6}{22}\)
\(=\frac{3}{11}\)
\(ii.\) বাক্যটি সত্য।
সর্বাধিক \(2\) টি সাদা হলে \(=\frac{^{4}C_{1}\times{^{8}C_{2}}}{^{12}C_{3}}+\frac{^{4}C_{2}\times{^{8}C_{1}}}{^{12}C_{3}}\)
\(=\frac{4\times{28}}{220}+\frac{6\times{8}}{220}\)
\(=\frac{112}{220}+\frac{48}{220}\)
\(=\frac{112+48}{220}\)
\(=\frac{160}{220}\)
\(=\frac{16}{22}\)
\(=\frac{8}{11}\)
\(iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(3\) টি সবুজ হলে \(\frac{1}{22}\)
\(ii.\) \(3\) টি ভিন্ন রং এর হলে \(\frac{3}{11}\)
\(iii.\) সর্বাধিক \(2\) টি সাদা হলে \(\frac{9}{11}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
মোট মার্বেলের সংখ্যা \(12\) ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(3\) টি সবুজ হলে \(=\frac{^{5}C_{3}}{^{12}C_{3}}\)
\(=\frac{10}{220}\)
\(=\frac{1}{22}\)
\(i.\) বাক্যটি সত্য।
\(3\) টি ভিন্ন রং এর হলে \(=\frac{^{4}C_{1}\times{^{3}C_{1}}\times{^{5}C_{1}}}{^{12}C_{3}}\)
\(=\frac{4\times{3}\times{5}}{220}\)
\(=\frac{60}{220}\)
\(=\frac{6}{22}\)
\(=\frac{3}{11}\)
\(ii.\) বাক্যটি সত্য।
সর্বাধিক \(2\) টি সাদা হলে \(=\frac{^{4}C_{1}\times{^{8}C_{2}}}{^{12}C_{3}}+\frac{^{4}C_{2}\times{^{8}C_{1}}}{^{12}C_{3}}\)
\(=\frac{4\times{28}}{220}+\frac{6\times{8}}{220}\)
\(=\frac{112}{220}+\frac{48}{220}\)
\(=\frac{112+48}{220}\)
\(=\frac{160}{220}\)
\(=\frac{16}{22}\)
\(=\frac{8}{11}\)
\(iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৬ এবং ১৭ নং
প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
দুইটি তথ্যের গাণিতিক গড় \(7\) এবং ভেদাংক \(4\)
১৬। বিভেদাংক কোনটি?দুইটি তথ্যের গাণিতিক গড় \(7\) এবং ভেদাংক \(4\)
ক \(\frac{200}{7}\)%
গ \(\frac{200}{7}\)
গ \(\frac{200}{7}\)
খ \(\frac{400}{7}\)
ঘ \(\frac{400}{7}\)%
গাণিতিক গড় \(\overline{x}=7\)ঘ \(\frac{400}{7}\)%
ভেদাংক, \(\sigma^2=4\)
\(\therefore \sigma=2\)
বিভেদাংক, \(=\frac{\sigma}{\overline{x}}\times{100}\)%
\(=\frac{2}{7}\times{100}\)%
\(=\frac{200}{7}\)%
উত্তরঃ ( ক )
১৭। মাণ দুইটি কোনটি?
গাণিতিক গড় \(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\overline{x}=7\)
\(\Rightarrow \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=7, \overline{x}=7\)
\(\therefore x_{1}+x_{2}=14, \overline{x}=7\)
আবার,
ভেদাংক, \(\sigma^2=\frac{(x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2}{2}=4\)
\(\Rightarrow (x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2-2x_{1}\overline{x}+\overline{x}^2+x_{2}^2-2x_{2}\overline{x}+\overline{x}^2=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-2\overline{x}(x_{1}+x_{2})+2\overline{x}^2=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-2\times{7}\times{14}+2\times{7^2}=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-196+2\times{49}=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-196+98=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-98=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2=98+8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2=106\)
\(\Rightarrow (x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=106\)
\(\Rightarrow (14)^2-2x_{1}x_{2}=106\)
\(\Rightarrow 196-2x_{1}x_{2}=106\)
\(\Rightarrow -2x_{1}x_{2}=106-196\)
\(\Rightarrow -2x_{1}x_{2}=-90\)
\(\therefore x_{1}x_{2}=45\)
দুইটি সখ্যার যোগফল \(=14\) এবং গুনফল \( =45\)
ইহা স্পষ্ট যে, সংখ্যা দুইটি \(9, 5\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(9, 5\)
গ \(11, 3\)
গ \(11, 3\)
খ \(8, 6\)
ঘ \(7, 7\)
ধরি, তথ্য দুইটি যথাক্রমে \(x_{1}, x_{2}\)ঘ \(7, 7\)
গাণিতিক গড় \(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\overline{x}=7\)
\(\Rightarrow \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=7, \overline{x}=7\)
\(\therefore x_{1}+x_{2}=14, \overline{x}=7\)
আবার,
ভেদাংক, \(\sigma^2=\frac{(x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2}{2}=4\)
\(\Rightarrow (x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2-2x_{1}\overline{x}+\overline{x}^2+x_{2}^2-2x_{2}\overline{x}+\overline{x}^2=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-2\overline{x}(x_{1}+x_{2})+2\overline{x}^2=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-2\times{7}\times{14}+2\times{7^2}=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-196+2\times{49}=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-196+98=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2-98=8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2=98+8\)
\(\Rightarrow x_{1}^2+x_{2}^2=106\)
\(\Rightarrow (x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=106\)
\(\Rightarrow (14)^2-2x_{1}x_{2}=106\)
\(\Rightarrow 196-2x_{1}x_{2}=106\)
\(\Rightarrow -2x_{1}x_{2}=106-196\)
\(\Rightarrow -2x_{1}x_{2}=-90\)
\(\therefore x_{1}x_{2}=45\)
দুইটি সখ্যার যোগফল \(=14\) এবং গুনফল \( =45\)
ইহা স্পষ্ট যে, সংখ্যা দুইটি \(9, 5\)
উত্তরঃ ( ক )
১৮। \(\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)^{15}\)-এর বিস্তারে \(x^{12}\)-এর
সহগ কোনটি?
\(r+1\) তম পদ \(=^15C_{r}(2x)^{15-r}\left(-\frac{1}{x^2}\right)^r\)
\(=^15C_{r}(2)^{15-r}(x)^{15-r}(-1)^r\frac{1}{x^{2r}}\)
\(=(-1)^r\frac{15!}{(15-r)!r!}(2)^{15-r}(x)^{15-3r}\)
যেহেতু পদটিতে \((x)^{12}\) আছে।
\(\therefore 12=15-3r\)
\(\Rightarrow 3r=15-12\)
\(\Rightarrow 3r=3\)
\(\therefore r=1\)
\(x^{12}\)-এর সহগ \(=(-1)^r\frac{15!}{(15-r)!r!}(2)^{15-r}\)
\(=(-1)^1\frac{15!}{(15-1)!1!}(2)^{15-1}\)
\(=-\frac{15.14!}{14!1!}(2)^{14}\)
\(=-\frac{15}{1!}(2)^{14}\)
\(=-(2)^{14}.15\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-2^{14}.15\)
গ \(24\)
গ \(24\)
খ \(-24\)
ঘ \(30\)
ধরি, \(\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)^{15}\) এর বিস্তৃতিতে \(r+1\)
তম পদে \(x^{12}\) আছে। ঘ \(30\)
\(r+1\) তম পদ \(=^15C_{r}(2x)^{15-r}\left(-\frac{1}{x^2}\right)^r\)
\(=^15C_{r}(2)^{15-r}(x)^{15-r}(-1)^r\frac{1}{x^{2r}}\)
\(=(-1)^r\frac{15!}{(15-r)!r!}(2)^{15-r}(x)^{15-3r}\)
যেহেতু পদটিতে \((x)^{12}\) আছে।
\(\therefore 12=15-3r\)
\(\Rightarrow 3r=15-12\)
\(\Rightarrow 3r=3\)
\(\therefore r=1\)
\(x^{12}\)-এর সহগ \(=(-1)^r\frac{15!}{(15-r)!r!}(2)^{15-r}\)
\(=(-1)^1\frac{15!}{(15-1)!1!}(2)^{15-1}\)
\(=-\frac{15.14!}{14!1!}(2)^{14}\)
\(=-\frac{15}{1!}(2)^{14}\)
\(=-(2)^{14}.15\)
উত্তরঃ ( ক )
১৯। সরলরেখায় গতিশীল একটি কণা \(3 ms^{-2}\) সমত্বরণে \(20\) সেকেন্ড
যাবত চলে গড়বেগ \(50 ms^{-1}\) প্রাপ্ত হলে তার আদিবেগ কোনটি?
এবং
\(a=3 ms^{-2}, t=20\)
গড়বেগ \(\frac{u+v}{2}=50\)
\(\Rightarrow u+v=100\)
\(\Rightarrow v=100-u ....(1)\)
আবার, \(v=u+at\)
\(\Rightarrow v=u+3\times{20}\)
\(\Rightarrow v=u+60 ....(2)\)
\(\Rightarrow u+60=100-u\) \((1)\) ও \((2)\) সাহায্যে।
\(\Rightarrow u+u=100-60\)
\(\Rightarrow 2u=40\)
\(\therefore u=20 ms^{-1}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(40 ms^{-1}\)
গ \(20 ms^{-1}\)
গ \(20 ms^{-1}\)
খ \(35 ms^{-1}\)
ঘ \(10 ms^{-1}\)
ধরি, আদিবেগ ও শেষবেগ যথাক্রমে, \(u\) ও \(v\) ঘ \(10 ms^{-1}\)
এবং
\(a=3 ms^{-2}, t=20\)
গড়বেগ \(\frac{u+v}{2}=50\)
\(\Rightarrow u+v=100\)
\(\Rightarrow v=100-u ....(1)\)
আবার, \(v=u+at\)
\(\Rightarrow v=u+3\times{20}\)
\(\Rightarrow v=u+60 ....(2)\)
\(\Rightarrow u+60=100-u\) \((1)\) ও \((2)\) সাহায্যে।
\(\Rightarrow u+u=100-60\)
\(\Rightarrow 2u=40\)
\(\therefore u=20 ms^{-1}\)
উত্তরঃ ( গ )
২০। \(-2\le x\le 3\)-এর -
\(i.\) মধ্যে \(6\)টি পূর্ণসংখ্যা রয়েছে
\(ii.\) উর্দ্ধসীমা \(15\)
\(iii.\) পরম আকার \(|2x-1|\le 5\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(-2\le x\le 3\)-এর উর্দ্ধসীমা \(3\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(-2\le x\le 3\)
\(\Rightarrow -2-\frac{1}{2}\le x-\frac{1}{2}\le 3-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{-4-1}{2}\le \frac{2x-1}{2}\le \frac{6-1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{-5}{2}\le \frac{2x-1}{2}\le \frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow -5\le (2x-1)\le 5\)
\(\therefore |2x-1|\le 5\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) মধ্যে \(6\)টি পূর্ণসংখ্যা রয়েছে
\(ii.\) উর্দ্ধসীমা \(15\)
\(iii.\) পরম আকার \(|2x-1|\le 5\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(-2\le x\le 3\)-এর মধ্যে পূর্ণ সংখ্যাগুলি \(-2,-1, 0, 1, 2, 3\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(-2\le x\le 3\)-এর উর্দ্ধসীমা \(3\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(-2\le x\le 3\)
\(\Rightarrow -2-\frac{1}{2}\le x-\frac{1}{2}\le 3-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{-4-1}{2}\le \frac{2x-1}{2}\le \frac{6-1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{-5}{2}\le \frac{2x-1}{2}\le \frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow -5\le (2x-1)\le 5\)
\(\therefore |2x-1|\le 5\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ২১ এবং ২২ নং
প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(3x+4y\ge 12, \ 4x+7y\le 28, \ x-2y\ge 2\) এবং \(z=4x+y\)
২১। প্রথম ও ২য় অসমতা দ্বারা আবদ্ধ সম্ভাব্য ক্ষেত্র কোনটি?\(3x+4y\ge 12, \ 4x+7y\le 28, \ x-2y\ge 2\) এবং \(z=4x+y\)
ক ষড়ভুজ
গ চতুর্ভুজ
গ চতুর্ভুজ
খ পঞ্চভুজ
ঘ ত্রিভুজ
ঘ ত্রিভুজ
চিত্র হতে,
প্রথম ও ২য় অসমতা দ্বারা আবদ্ধ সম্ভাব্য ক্ষেত্রটি \(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ।
উত্তরঃ ( গ )
২২। ২য় ও ৩য় অসমতা দ্বারা আবদ্ধ সম্ভাব্য ক্ষেত্রে \(z\)-এর সর্বোচ্চ মাণ
কোনটি?
চিত্র হতে,
২য় ও ৩য় অসমতা দ্বারা আবদ্ধ সম্ভাব্য ক্ষেত্রে প্রান্তিক বিন্দুসমুহ \((2, 0), (7, 0), \left(\frac{14}{3}, \frac{4}{3}\right)\)
\((7, 0)\) বিন্দুতে \(z\) এর সর্বোচ্চ মাণ \(=4\times{7}+0\)
\(=28\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(35\)
গ \(20\)
গ \(20\)
খ \(28\)
ঘ \(8\)
ঘ \(8\)
চিত্র হতে,
২য় ও ৩য় অসমতা দ্বারা আবদ্ধ সম্ভাব্য ক্ষেত্রে প্রান্তিক বিন্দুসমুহ \((2, 0), (7, 0), \left(\frac{14}{3}, \frac{4}{3}\right)\)
\((7, 0)\) বিন্দুতে \(z\) এর সর্বোচ্চ মাণ \(=4\times{7}+0\)
\(=28\)
উত্তরঃ ( খ )
২৩। 
চিত্রে প্রদর্শিত বলত্রয় \(O\) বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, \(P\) বলটির মাণ কত?
যেহেতু , \(O\) বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় আছে। লামির উপপাদ্য অনুসারে।
\(\therefore \frac{p}{\sin{120^{o}}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sin{135^{o}}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sin{\{360-(120^{o}+135^{o})\}}}\)
\(\Rightarrow \frac{p}{\sin{(90^{o}+30^{o})}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sin{(90^{o}+45^{o})}}\)
\(\Rightarrow \frac{p}{\cos{30^{o}}}=\frac{2\sqrt{2}}{\cos{45^{o}}}\)
\(\Rightarrow p=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\Rightarrow p=2\times{\sqrt{2}}\times{\sqrt{2}}\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\therefore p=2\sqrt{3}N\)
উত্তরঃ ( গ )
চিত্রে প্রদর্শিত বলত্রয় \(O\) বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, \(P\) বলটির মাণ কত?
ক \(4\sqrt{3}N\)
গ \(2\sqrt{3}N\)
গ \(2\sqrt{3}N\)
খ \(2N\)
ঘ \(\sqrt{3}N\)
চিত্রে প্রদর্শিত বলত্রয় ঘ \(\sqrt{3}N\)
যেহেতু , \(O\) বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় আছে। লামির উপপাদ্য অনুসারে।
\(\therefore \frac{p}{\sin{120^{o}}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sin{135^{o}}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sin{\{360-(120^{o}+135^{o})\}}}\)
\(\Rightarrow \frac{p}{\sin{(90^{o}+30^{o})}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sin{(90^{o}+45^{o})}}\)
\(\Rightarrow \frac{p}{\cos{30^{o}}}=\frac{2\sqrt{2}}{\cos{45^{o}}}\)
\(\Rightarrow p=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\Rightarrow p=2\times{\sqrt{2}}\times{\sqrt{2}}\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\therefore p=2\sqrt{3}N\)
উত্তরঃ ( গ )
২৪। \(13x^2-6x-7=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে,
\(\alpha^{-1}+1\) ও \(\beta^{-1}+1\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?
\(\therefore \alpha+\beta=\frac{6}{13}, \alpha\beta=-\frac{7}{13}\)
নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয়ের
যোগফল \(=\alpha^{-1}+1+\beta^{-1}+1\)
\(=\frac{1}{\alpha}+\frac{\beta}+2\)
\(=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}+2\)
\(=2+\frac{\frac{6}{13}}{-\frac{7}{13}}\)
\(=2-\frac{6}{7}\)
\(=\frac{14-6}{7}\)
\(=\frac{8}{7}\)
গুণফল \(=(\alpha^{-1}+1)(\beta^{-1}+1)\)
\(=(\frac{1}{\alpha}+1)(\frac{1}{\beta}+1)\)
\(=\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+1\)
\(=\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}+1\)
\(=1+\frac{1}{-\frac{7}{13}}+\frac{\frac{6}{13}}{-\frac{7}{13}}\)
\(=1-\frac{13}{7}-\frac{6}{7}\)
\(=\frac{7-13-6}{7}\)
\(=\frac{-12}{7}\)
\(=-\frac{12}{7}\)
নির্ণেয় সমীকরণ \(x^2-\frac{8}{7}\times{x}-\frac{12}{7}=0\)
\(\therefore 7x^2-8x-12=0\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(7x^2-8x-12=0\)
গ \(7x^2+8x-12=0\)
গ \(7x^2+8x-12=0\)
খ \(7x^2-20x=0\)
ঘ \(7x^2+8x=0\)
\(13x^2-6x-7=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(7x^2+8x=0\)
\(\therefore \alpha+\beta=\frac{6}{13}, \alpha\beta=-\frac{7}{13}\)
নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয়ের
যোগফল \(=\alpha^{-1}+1+\beta^{-1}+1\)
\(=\frac{1}{\alpha}+\frac{\beta}+2\)
\(=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}+2\)
\(=2+\frac{\frac{6}{13}}{-\frac{7}{13}}\)
\(=2-\frac{6}{7}\)
\(=\frac{14-6}{7}\)
\(=\frac{8}{7}\)
গুণফল \(=(\alpha^{-1}+1)(\beta^{-1}+1)\)
\(=(\frac{1}{\alpha}+1)(\frac{1}{\beta}+1)\)
\(=\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+1\)
\(=\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}+1\)
\(=1+\frac{1}{-\frac{7}{13}}+\frac{\frac{6}{13}}{-\frac{7}{13}}\)
\(=1-\frac{13}{7}-\frac{6}{7}\)
\(=\frac{7-13-6}{7}\)
\(=\frac{-12}{7}\)
\(=-\frac{12}{7}\)
নির্ণেয় সমীকরণ \(x^2-\frac{8}{7}\times{x}-\frac{12}{7}=0\)
\(\therefore 7x^2-8x-12=0\)
উত্তরঃ ( ক )
২৫। \(z=-1+i\sqrt{3}\) হলে-
\(i.\) \(z^9=64\)
\(ii.\) \(z\)-এর আর্গুমেন্ট \(120^{o}\)
\(iii.\) \(z\)-এর বর্গমূল \( \pm{\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i\sqrt{3})}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\Rightarrow z=2\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow z=2\omega\)
\(\Rightarrow z^9=(2\omega)^9\)
\(=2^9\omega^9\)
\(=2^9(\omega^3)^3\)
\(=512(1)^3\)
\(=512\)
\(\therefore (i.)\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(z=-1+i\sqrt{3}\)-এর আর্গুমেন্ট \(=\pi- \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) \because x=-1 \ (-ve), y=\sqrt{3} \ (+ve)\)
\(=\pi- \tan^{-1}{\sqrt{3}}\)
\(=\pi- \tan^{-1}{\tan{60^{o}}}\)
\(=180^{o}- 60^{o}\)
\(=120^{o}\)
\(\therefore (ii.)\) বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(\sqrt{z}=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i\sqrt{3})}\)
\(\Rightarrow z=\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i\sqrt{3})\right\}^2\)
\(=\frac{1}{2}(1-i\sqrt{3})^2\)
\(=\frac{1}{2}(1-2i\sqrt{3}+i^23)\)
\(=\frac{1}{2}(1-2i\sqrt{3}-3) \because i^2=-1\)
\(=\frac{1}{2}(-2-2i\sqrt{3})\)
\(=\frac{2}{2}(-1-i\sqrt{3})\)
\(=-1-i\sqrt{3}\ne{z}\)
\(\therefore (iii.)\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) \(z^9=64\)
\(ii.\) \(z\)-এর আর্গুমেন্ট \(120^{o}\)
\(iii.\) \(z\)-এর বর্গমূল \( \pm{\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i\sqrt{3})}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(z=-1+i\sqrt{3}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow z=2\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow z=2\omega\)
\(\Rightarrow z^9=(2\omega)^9\)
\(=2^9\omega^9\)
\(=2^9(\omega^3)^3\)
\(=512(1)^3\)
\(=512\)
\(\therefore (i.)\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(z=-1+i\sqrt{3}\)-এর আর্গুমেন্ট \(=\pi- \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) \because x=-1 \ (-ve), y=\sqrt{3} \ (+ve)\)
\(=\pi- \tan^{-1}{\sqrt{3}}\)
\(=\pi- \tan^{-1}{\tan{60^{o}}}\)
\(=180^{o}- 60^{o}\)
\(=120^{o}\)
\(\therefore (ii.)\) বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(\sqrt{z}=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i\sqrt{3})}\)
\(\Rightarrow z=\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i\sqrt{3})\right\}^2\)
\(=\frac{1}{2}(1-i\sqrt{3})^2\)
\(=\frac{1}{2}(1-2i\sqrt{3}+i^23)\)
\(=\frac{1}{2}(1-2i\sqrt{3}-3) \because i^2=-1\)
\(=\frac{1}{2}(-2-2i\sqrt{3})\)
\(=\frac{2}{2}(-1-i\sqrt{3})\)
\(=-1-i\sqrt{3}\ne{z}\)
\(\therefore (iii.)\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( খ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005