শিক্ষা বোর্ড বরিশাল - 2017
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(30\) থেকে \(40\) পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হতে যেকোন একটিকে দৈব্যভাবে নিলে তা মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
তার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা \(31\) ও \(37\) অর্থাৎ মোট মৌলিক সংখ্যা \(=2\) টি।
যেকোন একটিকে দৈব্যভাবে নিলে তা মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{2}{11}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{2}{11}\)
গ \(\frac{3}{11}\)
গ \(\frac{3}{11}\)
খ \(\frac{1}{5}\)
ঘ \(\frac{3}{10}\)
\(30\) থেকে \(40\) পর্যন্ত মোট সংখ্যা \(=11\) টি।ঘ \(\frac{3}{10}\)
তার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা \(31\) ও \(37\) অর্থাৎ মোট মৌলিক সংখ্যা \(=2\) টি।
যেকোন একটিকে দৈব্যভাবে নিলে তা মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{2}{11}\)
উত্তরঃ ( ক )
২। একটি বাক্সে \(7\) টি লাল ও \(3\) নীল বল আছে। প্রতিস্থাপন না করে নিরপেক্ষভাবে পর পর তিনটি বল তুললে সেগুলো নীল হওয়ার সম্ভাবনা কত?
প্রতিস্থাপন না করে নিরপেক্ষভাবে পর পর তিনটি বল তুললে সেগুলো নীল হওয়ার সম্ভাবনা,
\(=\frac{3}{10}\times{\frac{2}{9}}\times{\frac{1}{8}}\)
\(=\frac{1}{120}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{233}{360}\)
গ \(\frac{1}{120}\)
গ \(\frac{1}{120}\)
খ \(\frac{3}{5}\)
ঘ \(\frac{3}{500}\)
মোট বলের সংখ্যা \(=7+3=10\) টি।ঘ \(\frac{3}{500}\)
প্রতিস্থাপন না করে নিরপেক্ষভাবে পর পর তিনটি বল তুললে সেগুলো নীল হওয়ার সম্ভাবনা,
\(=\frac{3}{10}\times{\frac{2}{9}}\times{\frac{1}{8}}\)
\(=\frac{1}{120}\)
উত্তরঃ ( গ )
৩। \(\{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{8}....\}\)এর ইনফিমাম কত?
সেটটি একটি নিম্নসীমিত সেট এর সর্বোবৃহত নিম্নসীমা \(0\)
\(\therefore \) ইনফিমাম \(0\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(0\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(\frac{1}{8}\)
ঘ \(\infty \)
ইনফিমাম অর্থ হলো সর্বোবৃহত নিম্নসীমা।ঘ \(\infty \)
সেটটি একটি নিম্নসীমিত সেট এর সর্বোবৃহত নিম্নসীমা \(0\)
\(\therefore \) ইনফিমাম \(0\)
উত্তরঃ ( ক )
৪। \(\left(\frac{1}{x^2}-x^2\right)^4\)-এর বিস্তৃতিতে কততম পদটি \(x\) বর্জিত?
সাধারণ পদ \(U_{r+1}=^4C_{1}\left(\frac{1}{x^2}\right)^r(-x^2)^{4-r}\)
\(=^4C_{1}\frac{1}{x^{2r}}x^{8-2r}(-1)^{4-r}\)
\(=^4C_{1}(-1)^{4-r}x^{8-2r-2r}\)
\(=^4C_{1}(-1)^{4-r}x^{8-4r}\)
পদটি \(x\) মুক্ত হবে,
যদি \(x^{0}=x^{8-4r}\) হয়।
\(\Rightarrow 0=8-4r\)
\(\Rightarrow 4r=8\)
\(\therefore r=2\)
\(\therefore U_{2+1}\) পদ হবে \(x\) মুক্ত
\(\therefore 3\) তম পদ হবে \(x\) মুক্ত
উত্তরঃ ( খ )
ক \(2\)
গ \(8\)
গ \(8\)
খ \(3\)
ঘ \(9\)
\(\left(\frac{1}{x^2}-x^2\right)^4\)-এর বিস্তৃতিতে, ঘ \(9\)
সাধারণ পদ \(U_{r+1}=^4C_{1}\left(\frac{1}{x^2}\right)^r(-x^2)^{4-r}\)
\(=^4C_{1}\frac{1}{x^{2r}}x^{8-2r}(-1)^{4-r}\)
\(=^4C_{1}(-1)^{4-r}x^{8-2r-2r}\)
\(=^4C_{1}(-1)^{4-r}x^{8-4r}\)
পদটি \(x\) মুক্ত হবে,
যদি \(x^{0}=x^{8-4r}\) হয়।
\(\Rightarrow 0=8-4r\)
\(\Rightarrow 4r=8\)
\(\therefore r=2\)
\(\therefore U_{2+1}\) পদ হবে \(x\) মুক্ত
\(\therefore 3\) তম পদ হবে \(x\) মুক্ত
উত্তরঃ ( খ )
৫। \(x+y\le 2, \ x+4y\le 4, \ x>0, \ y>0\) শর্তসাপেক্ষে \(z=3x+6y \)-এর সর্বোচ্চ মাণ কোনটি?
চিত্র হতে, প্রদত্ত শর্তানুসারে, \(z\) এর সর্বোচ্চ মাণ,
\(\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)\) বিন্দুতে \(z=3\times{\frac{4}{3}}+6\times{\frac{2}{3}}\)
\(=4+4\)
\(=8\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(8\)
গ \(12\)
গ \(12\)
খ \(10\)
ঘ \(18\)
ঘ \(18\)
চিত্র হতে, প্রদত্ত শর্তানুসারে, \(z\) এর সর্বোচ্চ মাণ,
\(\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)\) বিন্দুতে \(z=3\times{\frac{4}{3}}+6\times{\frac{2}{3}}\)
\(=4+4\)
\(=8\)
উত্তরঃ ( ক )
৬। \((1-2x)^{-1}\)-এর বিস্তৃতিতে \(x^n\)-এর সহগ কোনটি?
\(=1+2x+(2x)^2+......+(2x)^n+......\)
\(=1+2x+x^22^2+......+2^nx^n+......\)
\(x^n\)-এর সহগ \(=2^n\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \((-2)^{n}\)
গ \(2^{n}\)
গ \(2^{n}\)
খ \((-1)^{n}\)
ঘ \(1\)
\((1-2x)^{-1}\)ঘ \(1\)
\(=1+2x+(2x)^2+......+(2x)^n+......\)
\(=1+2x+x^22^2+......+2^nx^n+......\)
\(x^n\)-এর সহগ \(=2^n\)
উত্তরঃ ( গ )
৭। \(|x-3|\le 1\) অসমতার সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow -1\le{x-3}\le 1 \because |a|\le{\alpha}\Rightarrow -\alpha\le{a}\le{\alpha}\)
\(\Rightarrow -1+3\le{x-3+3}\le{1+3}\)
\(\therefore 2\le{x}\le{4}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-4\le x\le 4\)
গ \(4\gt{x}\gt{2}\)
গ \(4\gt{x}\gt{2}\)
খ \(4\gt{x}\gt{-4}\)
ঘ \(2\le x\le 4\)
\(|x-3|\le 1\)ঘ \(2\le x\le 4\)
\(\Rightarrow -1\le{x-3}\le 1 \because |a|\le{\alpha}\Rightarrow -\alpha\le{a}\le{\alpha}\)
\(\Rightarrow -1+3\le{x-3+3}\le{1+3}\)
\(\therefore 2\le{x}\le{4}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৮। \(2\cos \theta-1=0\) হলে, \(\theta=?\)
\(\Rightarrow 2\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(2n\pi\pm{\frac{\pi}{6}}\)
গ \(n\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
গ \(n\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
খ \(n\pi\pm{\frac{\pi}{6}}\)
ঘ \(2n\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(2\cos{\theta}-1=0\)ঘ \(2n\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 2\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm{\frac{\pi}{3}}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৯। \(2, \ 4\) ও \(6\)-এর ভেদাংক কোনটি?
\(=\frac{2^2+4^2+6^2}{3}-\left(\frac{2+4+6}{3}\right)^2\)
\(=\frac{4+16+36}{3}-\left(\frac{12}{3}\right)^2\)
\(=\frac{56}{3}-\left(4\right)^2\)
\(=\frac{56}{3}-16\)
\(=\frac{56-48}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{8}{3}\)
গ \(136\)
গ \(136\)
খ \(8\)
ঘ \(\frac{136}{3}\)
ভেদাংক \(=\frac{\sum{x_{i}^2}}{n}-\left(\frac{\sum{x_{i}}}{n}\right)^2\)ঘ \(\frac{136}{3}\)
\(=\frac{2^2+4^2+6^2}{3}-\left(\frac{2+4+6}{3}\right)^2\)
\(=\frac{4+16+36}{3}-\left(\frac{12}{3}\right)^2\)
\(=\frac{56}{3}-\left(4\right)^2\)
\(=\frac{56}{3}-16\)
\(=\frac{56-48}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
১০। \(9x^3+45x^2+60x-27=0\) সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কোনটি?
\(9x^3+45x^2+60x-27=0\) এর আদর্শরূপ \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
এখানে, \(a=9, b=45, c=60, d=-27\)
\(\therefore \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}\)
\(=-\frac{45}{9}\)
\(=-5\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(45\)
গ \(-45\)
গ \(-45\)
খ \(5\)
ঘ \(-5\)
\(9x^3+45x^2+60x-27=0\) এর মূলগুলি \(\alpha, \beta, \gamma\) ঘ \(-5\)
\(9x^3+45x^2+60x-27=0\) এর আদর্শরূপ \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
এখানে, \(a=9, b=45, c=60, d=-27\)
\(\therefore \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}\)
\(=-\frac{45}{9}\)
\(=-5\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১১। \(x^2-4x-2y+1=0\) সমীকরণের প্রকৃতি-
\(\Rightarrow x^2-4x=2y-1\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=2y-1+4\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=2y+3\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=2\left(y+\frac{3}{2}\right)\)
\(\Rightarrow X^2=2Y\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y+\frac{3}{2}\)
\(\therefore X^2=4\times{\frac{1}{2}}Y\)
ইহা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ ( গ )
ক বৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
খ অধিবৃত্ত
ঘ উপবৃত্ত
\(x^2-4x-2y+1=0\)ঘ উপবৃত্ত
\(\Rightarrow x^2-4x=2y-1\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=2y-1+4\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=2y+3\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=2\left(y+\frac{3}{2}\right)\)
\(\Rightarrow X^2=2Y\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y+\frac{3}{2}\)
\(\therefore X^2=4\times{\frac{1}{2}}Y\)
ইহা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ ( গ )
১২। \(z=-4-3i\) হলে, \(|\overline{z}|=?\)
\(\Rightarrow \overline{z}=-4+3i\)
\(\Rightarrow |\overline{z}|=|-4+3i|\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(3)^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\sqrt{7}\)
গ \(7\)
গ \(7\)
খ \(5\)
ঘ \(25\)
\(z=-4-3i\)ঘ \(25\)
\(\Rightarrow \overline{z}=-4+3i\)
\(\Rightarrow |\overline{z}|=|-4+3i|\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(3)^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
উত্তরঃ ( খ )
১৩। এককের একটি জটিল ঘনমূল \(\omega \) হলে, \(\omega^{6n+3}=?\)
\(\therefore \omega^3=1\)
\(\omega^{6n+3}\)
\(=\omega^{3(2n+1)}\)
\(=\left(\omega^{3}\right)^{2n+1}\)
\(=\left(1\right)^{2n+1}\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-1\)
গ \(\omega\)
গ \(\omega\)
খ \(1\)
ঘ \(\omega^2\)
এককের একটি জটিল ঘনমূল \(\omega \)ঘ \(\omega^2\)
\(\therefore \omega^3=1\)
\(\omega^{6n+3}\)
\(=\omega^{3(2n+1)}\)
\(=\left(\omega^{3}\right)^{2n+1}\)
\(=\left(1\right)^{2n+1}\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( খ )
১৪। \(6x^2-5x+3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{-5}{6}=\frac{5}{6}\)
এবং \(\alpha\beta=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
\(=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{5}{6}\times{2}\)
\(=\frac{5}{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-\frac{5}{3}\)
গ \(\frac{5}{12}\)
গ \(\frac{5}{12}\)
খ \(-\frac{5}{12}\)
ঘ \(\frac{5}{3}\)
\(6x^2-5x+3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(\frac{5}{3}\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{-5}{6}=\frac{5}{6}\)
এবং \(\alpha\beta=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
\(=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{5}{6}\times{2}\)
\(=\frac{5}{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৫। \(k\) এর কোন মানের জন্য \(x^2-6x+k=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে?
যদি, \((-6)^2-4\times{1}\times{k}=0\) হয়।
\(\Rightarrow 36-4k=0\)
\(\Rightarrow -4k=-36\)
\(\Rightarrow k=\frac{-36}{-4}\)
\(\therefore k=9\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-36\)
গ \(9\)
গ \(9\)
খ \(-9\)
ঘ \(36\)
\(x^2-6x+k=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে,ঘ \(36\)
যদি, \((-6)^2-4\times{1}\times{k}=0\) হয়।
\(\Rightarrow 36-4k=0\)
\(\Rightarrow -4k=-36\)
\(\Rightarrow k=\frac{-36}{-4}\)
\(\therefore k=9\)
উত্তরঃ ( গ )
১৬। \(x^2+8y=0\) কনিকের নিয়ামকের সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow x^2=-8y\)
\(\Rightarrow x^2=4\times{-2}y\)
এখানে, \(a=-2\)
নিয়ামকের সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-(-2)\)
\(\Rightarrow y=2\)
\(\therefore y-2=0\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(x-2=0\)
গ \(x+2=0\)
গ \(x+2=0\)
খ \(y-2=0\)
ঘ \(y+2=0\)
\(x^2+8y=0\)ঘ \(y+2=0\)
\(\Rightarrow x^2=-8y\)
\(\Rightarrow x^2=4\times{-2}y\)
এখানে, \(a=-2\)
নিয়ামকের সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-(-2)\)
\(\Rightarrow y=2\)
\(\therefore y-2=0\)
উত্তরঃ ( খ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৭ এবং ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(9x^2+4y^2=324\) একটি কনিকের সমীকরণ।
১৭। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?\(9x^2+4y^2=324\) একটি কনিকের সমীকরণ।
ক \(\frac{4}{3}\)
গ \(8\)
গ \(8\)
খ \(3\)
ঘ \(27\)
\(9x^2+4y^2=324\)ঘ \(27\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{324}+\frac{4y^2}{324}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{81}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{9^2}=1\)
ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
এখানে, \(a=6, b=9 \Rightarrow b>a\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2\times{6^2}}{9}\)
\(=\frac{2\times{36}}{9}\)
\(=2\times{4}\)
\(=8\)
উত্তরঃ ( গ )
১৮। উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{324}+\frac{4y^2}{324}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{81}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{9^2}=1\)
ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
এখানে, \(a=6, b=9 \Rightarrow b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{36}{81}}\)
\(=\sqrt{\frac{81-36}{81}}\)
\(=\sqrt{\frac{45}{81}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(0, \pm{be}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{9\times{\frac{\sqrt{5}}{3}}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{3\times{\sqrt{5}}}\right)\)
\(\therefore \left(0, \pm{3\sqrt{5}}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \((\pm 3\sqrt{5}, 0)\)
গ \((\pm 2\sqrt{5}, 0)\)
গ \((\pm 2\sqrt{5}, 0)\)
খ \((0, \pm 3\sqrt{5})\)
ঘ \((0, \pm 2\sqrt{5})\)
\(9x^2+4y^2=324\)ঘ \((0, \pm 2\sqrt{5})\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{324}+\frac{4y^2}{324}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{81}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{9^2}=1\)
ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
এখানে, \(a=6, b=9 \Rightarrow b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{36}{81}}\)
\(=\sqrt{\frac{81-36}{81}}\)
\(=\sqrt{\frac{45}{81}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(0, \pm{be}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{9\times{\frac{\sqrt{5}}{3}}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{3\times{\sqrt{5}}}\right)\)
\(\therefore \left(0, \pm{3\sqrt{5}}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
১৯। \(f(x)=\tan^{-1}{x}\) হলে-
\(i.\) \(f(1)=\frac{\pi}{4}\)
\(ii.\) \(f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}\)
\(iii.\) \(f(2x)=\cos^{-1}\frac{1-x^2}{1+x^2}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\therefore f(x)=\tan^{-1}{1}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore (i)\) বাক্যটি সত্য।
\(f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\times{\frac{1}{3}}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{3+2}{6}}{1-\frac{1}{6}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{5}{6}}{\frac{6-1}{6}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}}\)
\(=\tan^{-1}{1}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore (ii)\) বাক্যটি সত্য।
\(f(2x)\)
\(=\tan^{-1}{2x}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{1}{4x^2+1}}\)
\(\therefore (iii)\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(f(1)=\frac{\pi}{4}\)
\(ii.\) \(f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}\)
\(iii.\) \(f(2x)=\cos^{-1}\frac{1-x^2}{1+x^2}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=\tan^{-1}{x}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore f(x)=\tan^{-1}{1}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore (i)\) বাক্যটি সত্য।
\(f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}+\tan^{-1}{\left(\frac{1}{3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\times{\frac{1}{3}}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{3+2}{6}}{1-\frac{1}{6}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{5}{6}}{\frac{6-1}{6}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}}\)
\(=\tan^{-1}{1}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore (ii)\) বাক্যটি সত্য।
\(f(2x)\)
\(=\tan^{-1}{2x}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{1}{4x^2+1}}\)
\(\therefore (iii)\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
২০। \(\cot^{-1}{p}= cosec^{-1}{\frac{3}{2}}\) হলে \(p=?\)
\(\cot^{-1}{p}= cosec^{-1}{\frac{3}{2}}\)
চিত্র হতে,
\(\Rightarrow \cot^{-1}{p}=\cot^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}\)
\(\therefore p=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
খ \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
ঘ \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
ঘ \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\cot^{-1}{p}= cosec^{-1}{\frac{3}{2}}\)
চিত্র হতে,
\(\Rightarrow \cot^{-1}{p}=\cot^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}\)
\(\therefore p=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
২১। \(10 N\) ও \(8 N\) মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধির মাণ কোনটি?
\(=10N-8N\)
\(=2N\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(164 N\)
গ \(\sqrt{164} N\)
গ \(\sqrt{164} N\)
খ \(18 N\)
ঘ \(2 N\)
লব্ধির মাণ,ঘ \(2 N\)
\(=10N-8N\)
\(=2N\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২২। \(\frac{2-i}{2+i}=A+iB\) হলে \(A=?\)
\(\Rightarrow \frac{(2-i)^2}{(2+i)(2-i)}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{4-4i+i^2}{2^2-i^2}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{4-4i-1}{4+1}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{3-4i}{5}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{3}{5}-i\frac{4}{5}=A+iB\)
\(\therefore A=\frac{3}{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(1\)
গ \(\frac{3}{5}\)
গ \(\frac{3}{5}\)
খ \(\frac{4}{5}\)
ঘ \(-\frac{4}{5}\)
\(\frac{2-i}{2+i}=A+iB\)ঘ \(-\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{(2-i)^2}{(2+i)(2-i)}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{4-4i+i^2}{2^2-i^2}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{4-4i-1}{4+1}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{3-4i}{5}=A+iB\)
\(\Rightarrow \frac{3}{5}-i\frac{4}{5}=A+iB\)
\(\therefore A=\frac{3}{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
২৩। \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1\) সমীকরণ \((-5, -4)\) বিন্দুগামী, \(a^2\) -এর মাণ কত?
\(\Rightarrow \frac{(-5)^2}{a^2}-\frac{(-4)^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{a^2}-\frac{16}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{a^2}=\frac{16}{9}+1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{a^2}=\frac{16+9}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{25}{a^2}=\frac{25}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{1}{9}\)
\(\therefore a^2=9\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(9\)
গ \(\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{1}{3}\)
খ \(3\)
ঘ \(\frac{1}{9}\)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1\) সমীকরণ \((-5, -4)\) বিন্দুগামীঘ \(\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{(-5)^2}{a^2}-\frac{(-4)^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{a^2}-\frac{16}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{a^2}=\frac{16}{9}+1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{a^2}=\frac{16+9}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{25}{a^2}=\frac{25}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{1}{9}\)
\(\therefore a^2=9\)
উত্তরঃ ( ক )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৭ এবং ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(u\) আদিবেগে ভূমির সাথে \(60^{o}\) কোণে একটি বস্তুকণা নিক্ষেপ করা হলে \(t\) সময় পর তা ভূমিতে ফিরে আসে।
২৪। উল্লম্ব দিকে \(u\)-এর উপাংশ কোনটি?\(u\) আদিবেগে ভূমির সাথে \(60^{o}\) কোণে একটি বস্তুকণা নিক্ষেপ করা হলে \(t\) সময় পর তা ভূমিতে ফিরে আসে।
ক \(\frac{2u}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{u}{\sqrt{2}}\)
গ \(\frac{u}{\sqrt{2}}\)
খ \(\frac{\sqrt{3}u}{2}\)
ঘ \(\frac{u}{2}\)
উল্লম্ব দিকে \(u\)-এর উপাংশ ঘ \(\frac{u}{2}\)
\(=u\sin{\alpha}\)
\(=u\sin{60^{o}}\)
\(=u\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{3}u}{2}\)
উত্তরঃ ( খ )
২৫। অনুভূমিক পাল্লা কত?
\(=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{u^2\sin{2\times{60^{o}}}}{g}\)
\(=\frac{u^2\sin{120^{o}}}{g}\)
\(=\frac{u^2\sin{(90^{0}+30^{o})}}{g}\)
\(=\frac{u^2\cos{30^{o}}}{g}\)
\(=\frac{u^2\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{g}\)
\(=\frac{\sqrt{3}u^2}{2g}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{u^2}{2g}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}u^2}{2g}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}u^2}{2g}\)
খ \(\frac{u^2}{\sqrt{2}g}\)
ঘ \(\frac{2u^2}{\sqrt{3}g}\)
অনুভূমিক পাল্লাঘ \(\frac{2u^2}{\sqrt{3}g}\)
\(=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{u^2\sin{2\times{60^{o}}}}{g}\)
\(=\frac{u^2\sin{120^{o}}}{g}\)
\(=\frac{u^2\sin{(90^{0}+30^{o})}}{g}\)
\(=\frac{u^2\cos{30^{o}}}{g}\)
\(=\frac{u^2\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{g}\)
\(=\frac{\sqrt{3}u^2}{2g}\)
উত্তরঃ ( গ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005