শিক্ষা বোর্ড কুমিল্লা - 2017
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2017 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \([1, 3)\) ব্যবধির অসমতা রূপ নিচের কোনটি ?
\(1\le{x}\lt{3}\)
\(\Rightarrow 3\gt{x}\ge{1}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(3\gt{x}\gt{1}\)
গ \(3\ge{x}>1\)
গ \(3\ge{x}>1\)
খ \(3\gt{x}\ge{1}\)
ঘ \(1\le{x}\le{3}\)
\([1, 3)\) ব্যবধির অসমতা রূপ ঘ \(1\le{x}\le{3}\)
\(1\le{x}\lt{3}\)
\(\Rightarrow 3\gt{x}\ge{1}\)
উত্তরঃ ( খ )
২। \(a=3, \ b=-7\) এবং \(c=-9\) হলে, \(||a-b|-c|\) এর মাণ কোনটি?
\(||a-b|-c|\)
\(=||3-(-7)|-(-9)|\)
\(=||3+7|-(-9)|\)
\(=||10|-(-9)|\)
\(=|10+9|\)
\(=|19|\)
\(=19\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(1\)
গ \(13\)
গ \(13\)
খ \(5\)
ঘ \(19\)
\(a=3, \ b=-7\) এবং \(c=-9\) হলে, ঘ \(19\)
\(||a-b|-c|\)
\(=||3-(-7)|-(-9)|\)
\(=||3+7|-(-9)|\)
\(=||10|-(-9)|\)
\(=|10+9|\)
\(=|19|\)
\(=19\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৩। \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
\(|a+b|=|a|+|b|\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(|a-b|>|a|+|b|\)
গ \(|a+b|=|a|+|b|\)
গ \(|a+b|=|a|+|b|\)
খ \(|a|+|b|>|a+b|\)
ঘ \(|a-b|=|a|+|b|\)
\(a\) ও \(b\) ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হলে,ঘ \(|a-b|=|a|+|b|\)
\(|a+b|=|a|+|b|\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের তথ্যের আলোকে ৪ এবং ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(z=2x-y,\) শর্ত \(x+y\le{6}, \ x\ge{4}, \ x, \ y\ge{0}\)
৪। উল্লেখিত শর্তাধীনে সমাধান অঞ্চলটি-\(z=2x-y,\) শর্ত \(x+y\le{6}, \ x\ge{4}, \ x, \ y\ge{0}\)
ক আয়তাকার
গ ত্রিভুজাকার
গ ত্রিভুজাকার
খ বর্গাকার
ঘ ট্রাপিজিয়াম আকার
প্রদত্ত তথ্য ব্যবহার করে এর চিত্র অঙ্কন করি,ঘ ট্রাপিজিয়াম আকার
চিত্রে ইহা স্পষ্ট যে ইহা ত্রিভুজাকার
উত্তরঃ ( গ )
৫। \(z\) এর সর্বোচ্চ মাণ কোনটি?
চিত্র হতে,
এলাকা বিন্দুগুলি \(A(4, 2), \ B(4, 0), \ C(6, 0)\)
\(A(4, 2)\) বিন্দুতে \(z=2\times{4}-2\)
\(=8-2\)
\(=6\)
\(B(4, 0)\) বিন্দুতে \(z=2\times{4}-0\)
\(=8-0\)
\(=8\)
\(C(6, 0)\) বিন্দুতে \(z=2\times{6}-0\)
\(=12-0\)
\(=12\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(6\)
গ \(10\)
গ \(10\)
খ \(8\)
ঘ \(12\)
ঘ \(12\)
চিত্র হতে,
এলাকা বিন্দুগুলি \(A(4, 2), \ B(4, 0), \ C(6, 0)\)
\(A(4, 2)\) বিন্দুতে \(z=2\times{4}-2\)
\(=8-2\)
\(=6\)
\(B(4, 0)\) বিন্দুতে \(z=2\times{4}-0\)
\(=8-0\)
\(=8\)
\(C(6, 0)\) বিন্দুতে \(z=2\times{6}-0\)
\(=12-0\)
\(=12\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৬। এককের জটিল ঘনমূল দুইটি \(a\) ও \(b\) হলে -
\(i.\) \(1+a+b=0\)
\(ii.\) \(ab=1\)
\(iii.\)\(b=a^2\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(a=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=\omega\) ও \(b=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=\omega^2\)
\(1+a+b=1+\omega+\omega^2\)
\(=0\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(ab=\omega\times{\omega^2}\)
\(=\omega^3\)
\(=1\)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(a^2=\omega^2\)
\(=b\)
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) \(1+a+b=0\)
\(ii.\) \(ab=1\)
\(iii.\)\(b=a^2\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এককের জটিল ঘনমূল দুইটি \(a\) ও \(b\) হলে -ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(a=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=\omega\) ও \(b=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=\omega^2\)
\(1+a+b=1+\omega+\omega^2\)
\(=0\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(ab=\omega\times{\omega^2}\)
\(=\omega^3\)
\(=1\)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(a^2=\omega^2\)
\(=b\)
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
৭। \(z=\frac{1}{1+i}\) এর আর্গুমেন্ট কোনটি?
\(=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}\)
\(=\frac{1-i}{1^2-i^2}\)
\(=\frac{1-i}{1+1}\)
\(=\frac{1-i}{2}\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}i\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}, \ y=\frac{-1}{2}\)
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{1}{2}}}\)
\(=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(=-\tan^{-1}{(1)}\)
\(=-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=-\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-\frac{3\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
খ \(-\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{3\pi}{4}\)
\(z=\frac{1}{1+i}\)ঘ \(\frac{3\pi}{4}\)
\(=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}\)
\(=\frac{1-i}{1^2-i^2}\)
\(=\frac{1-i}{1+1}\)
\(=\frac{1-i}{2}\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}i\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}, \ y=\frac{-1}{2}\)
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{1}{2}}}\)
\(=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(=-\tan^{-1}{(1)}\)
\(=-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=-\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
৮। কাল্পনিক একক \(i\) এবং এককের জটিল ঘনমূল \(\omega\) হলে-
\(i.\) \(\omega^3=-1\)
\(ii.\) \(i^2=-1\)
\(iii.\)\(\omega+\omega^2=-1\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\omega^3=1\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(i^2=(\sqrt{-1})^2\)
\(=-1\)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\omega+\omega^2=\omega+\omega^2+1-1\)
\(=0-1\)
\(=-1\)
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
\(i.\) \(\omega^3=-1\)
\(ii.\) \(i^2=-1\)
\(iii.\)\(\omega+\omega^2=-1\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
কাল্পনিক একক \(i\) এবং এককের জটিল ঘনমূল \(\omega\) হলে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\omega^3=1\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(i^2=(\sqrt{-1})^2\)
\(=-1\)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\omega+\omega^2=\omega+\omega^2+1-1\)
\(=0-1\)
\(=-1\)
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
৯। কোনো পরিবারের তিনজন বালকের বয়স \(3, \ 4, \ 5\) বছর হলে বালকদের বয়সের পরিমিত ব্যবধান-
\(\sum{x_{i}}=3+4+5\)
\(=12\)
\(\sum{x_{i}^2}=9+16+25\)
\(=50\)
\(n=3\)
পরিমিত ব্যবধান \(\sigma=\sqrt{\frac{\sum{x_{i}^2}}{n}-\left(\frac{\sum{x_{i}}}{n}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{50}{3}-\left(\frac{12}{3}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{50}{3}-(4)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{50}{3}-16}\)
\(=\sqrt{\frac{50-48}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
গ \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
গ \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
খ \(\frac{2}{3}\)
ঘ \(\frac{3}{2}\)
কোনো পরিবারের তিনজন বালকের বয়স \(3, \ 4, \ 5\) বছর ঘ \(\frac{3}{2}\)
\(\sum{x_{i}}=3+4+5\)
\(=12\)
\(\sum{x_{i}^2}=9+16+25\)
\(=50\)
\(n=3\)
পরিমিত ব্যবধান \(\sigma=\sqrt{\frac{\sum{x_{i}^2}}{n}-\left(\frac{\sum{x_{i}}}{n}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{50}{3}-\left(\frac{12}{3}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{50}{3}-(4)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{50}{3}-16}\)
\(=\sqrt{\frac{50-48}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
উত্তরঃ ( ক )
১০। নিচের কোন সমীকরণের একটি মূল \(2+i\)?
অপর মূলটি হবে \(2-i\)
সমীকরণ, \(x^2-(2+i+2-i)x+(2+i)(2-i)=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+2^2-i^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+1=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+5=0\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(x^2-4x+3=0\)
গ \(x^2-4x+5=0\)
গ \(x^2-4x+5=0\)
খ \(x^2+4x+3=0\)
ঘ \(x^2+4x+5=0\)
কোন সমীকরণের একটি মূল \(2+i\) হলে,ঘ \(x^2+4x+5=0\)
অপর মূলটি হবে \(2-i\)
সমীকরণ, \(x^2-(2+i+2-i)x+(2+i)(2-i)=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+2^2-i^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+1=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+5=0\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১১ এবং ১২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2-3x-p=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ
১১। সমীকরণের একটি মূল \(-2\) হলে \(p\) এর মাণ-\(x^2-3x-p=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ
ক \(-10\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(-2\)
ঘ \(10\)
\(x^2-3x-p=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(-2\) ঘ \(10\)
\(\Rightarrow (-2)^2-3(-2)-p=0\)
\(\Rightarrow 4+6-p=0\)
\(\Rightarrow 10-p=0\)
\(\Rightarrow -p=-10\)
\(\therefore p=10\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১২। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, \(p\) এর মাণ কত?
\(\Rightarrow D=0\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow (-3)^2-4\times{1}\times{-p}=0\)
\(\Rightarrow 9+4p=0\)
\(\Rightarrow 4p=-9\)
\(\Rightarrow p=\frac{-9}{4}\)
\(\therefore p=-\frac{9}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{9}{4}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
খ \(-\frac{9}{4}\)
ঘ \(-\frac{3}{4}\)
\(x^2-3x-p=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ঘ \(-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow D=0\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow (-3)^2-4\times{1}\times{-p}=0\)
\(\Rightarrow 9+4p=0\)
\(\Rightarrow 4p=-9\)
\(\Rightarrow p=\frac{-9}{4}\)
\(\therefore p=-\frac{9}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৩। \(\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)^{8}\) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি হলো-
\(=\left\{x^2+2.x.\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2\right\}^{8}\)
\(=\left\{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\right\}^{8}\)
\(=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{16}\)
এখানে, \(n=16\) যা একটি জোড় সংখ্যা
\(\therefore \) মধ্যপদ আছে একটি
মধ্যপদ \(=\left(\frac{16}{2}+1\right)\) তম
\(=(8+1)\) তম
\(=9\) তম
\(=\) নবম
উত্তরঃ ( ঘ )
ক চতুর্থ
গ অষ্টম
গ অষ্টম
খ পঞ্চম
ঘ নবম
\(\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)^{8}\)ঘ নবম
\(=\left\{x^2+2.x.\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2\right\}^{8}\)
\(=\left\{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\right\}^{8}\)
\(=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{16}\)
এখানে, \(n=16\) যা একটি জোড় সংখ্যা
\(\therefore \) মধ্যপদ আছে একটি
মধ্যপদ \(=\left(\frac{16}{2}+1\right)\) তম
\(=(8+1)\) তম
\(=9\) তম
\(=\) নবম
উত্তরঃ ( ঘ )
১৪। \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতির \(r\) তম পদ হলো-
\(=(r-1)+1\) তম পদ,
\(=^nC_{r-1}a^{n-r+1}x^{r-1}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(^nC_{r-1}a^{n-r+1}x^{r-1}\)
গ \(^nC_{r-1}a^{r-1}x^{n-r+1}\)
গ \(^nC_{r-1}a^{r-1}x^{n-r+1}\)
খ \(^nC_{r}a^{n-r}x^r\)
ঘ \(^nC_{r}a^{r}x^{n-r}\)
\((a+x)^n\) এর বিস্তৃতির \(r\) তম পদ ঘ \(^nC_{r}a^{r}x^{n-r}\)
\(=(r-1)+1\) তম পদ,
\(=^nC_{r-1}a^{n-r+1}x^{r-1}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৫। \((1-x)^{11}\) এর বিস্তৃতিতে-
\(i.\) মোট পদের সংখ্যা \(12\)
\(ii.\) ১ম পদের মাণ \(1\)
\(iii.\) শেষ পদের মাণ \(-x^{11}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
মোট পদের সংখ্যা \(=11+1\)
\(=12\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য।
\((1-x)^{11}\) এর বিস্তৃতি \(1-^{11}C_{1}x+^{11}C_{2}x^2-^{11}C_{3}x^3+...\)
১ম পদের মাণ \(=1 \)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য।
\((1-x)^{11}\) এর বিস্তৃতি \(1-^{11}C_{1}x+^{11}C_{2}x^2-^{11}C_{3}x^3+...+(-1)^{11} \times{^{11}C_{11}}x^{11}\)
শেষ পদের মাণ \(=-x^{11}, \ \because ^{11}C_{11}=1\)
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) মোট পদের সংখ্যা \(12\)
\(ii.\) ১ম পদের মাণ \(1\)
\(iii.\) শেষ পদের মাণ \(-x^{11}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\((1-x)^{11}\) এর বিস্তৃতিতে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
মোট পদের সংখ্যা \(=11+1\)
\(=12\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য।
\((1-x)^{11}\) এর বিস্তৃতি \(1-^{11}C_{1}x+^{11}C_{2}x^2-^{11}C_{3}x^3+...\)
১ম পদের মাণ \(=1 \)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য।
\((1-x)^{11}\) এর বিস্তৃতি \(1-^{11}C_{1}x+^{11}C_{2}x^2-^{11}C_{3}x^3+...+(-1)^{11} \times{^{11}C_{11}}x^{11}\)
শেষ পদের মাণ \(=-x^{11}, \ \because ^{11}C_{11}=1\)
\(\therefore (iii)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
১৬। \(3x^2=12x-4y^2\) সমীকরণটি কি নির্দেশ করে?
\(\Rightarrow 3x^2-12x+4y^2=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x)+4y^2=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x+4-4)+4y^2=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x+4)-12+4y^2=0\)
\(\Rightarrow 3(x-2)^2+4y^2=12\)
\(\Rightarrow \frac{3(x-2)^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(\therefore \frac{(x-2)^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{3})^2}=1\)
যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ ( খ )
ক বৃত্তের সমীকরণ
গ পরাবৃত্তের সমীকরণ
গ পরাবৃত্তের সমীকরণ
খ উপবৃত্তের সমীকরণ
ঘ অধিবৃত্তের সমীকরণ
\(3x^2=12x-4y^2\)ঘ অধিবৃত্তের সমীকরণ
\(\Rightarrow 3x^2-12x+4y^2=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x)+4y^2=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x+4-4)+4y^2=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x+4)-12+4y^2=0\)
\(\Rightarrow 3(x-2)^2+4y^2=12\)
\(\Rightarrow \frac{3(x-2)^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(\therefore \frac{(x-2)^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{3})^2}=1\)
যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ ( খ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৭ এবং ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2=4(1-y)\) একটি কনিক।
১৭। কনিকটির উৎকেন্দ্রিকতা-\(x^2=4(1-y)\) একটি কনিক।
ক \(0\)
গ \(e=1\)
গ \(e=1\)
খ \(1>e>0\)
ঘ \(e>1\)
\(x^2=4(1-y)\)ঘ \(e>1\)
\(\Rightarrow x^2=-4(y-1)\)
\(\therefore X^2=-4Y\) যেখানে, \(X=x, \ Y=y-1\)
যা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
উত্তরঃ ( গ )
১৮। কনিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক-
\(\Rightarrow x^2=-4(y-1)\)
\(\therefore X^2=-4Y\) যেখানে, \(X=x, \ Y=y-1\)
এখানে, \(4a=-4\)
\(\therefore a=-1\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, \ Y=a\)
\(\Rightarrow x=0, \ y-1=-1\)
\(\therefore x=0, \ y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \((0, 0)\)
গ \((0, 1)\)
গ \((0, 1)\)
খ \((0, -1)\)
ঘ \((0, 2)\)
\(x^2=4(1-y)\)ঘ \((0, 2)\)
\(\Rightarrow x^2=-4(y-1)\)
\(\therefore X^2=-4Y\) যেখানে, \(X=x, \ Y=y-1\)
এখানে, \(4a=-4\)
\(\therefore a=-1\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, \ Y=a\)
\(\Rightarrow x=0, \ y-1=-1\)
\(\therefore x=0, \ y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\)
উত্তরঃ ( ক )
১৯। \(2(\sec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x})\) এর মাণ কত?
\(=2\left(\cos^{-1}{\frac{1}{x}}+\sin^{-1}{\frac{1}{x}}\right)\)
\(=2\left(\frac{\pi}{2}\right) \ \because \cos^{-1}{x}+\sin^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(=\pi\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(0\)
গ \(\pi\)
গ \(\pi\)
খ \(\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(2\pi\)
\(2(\sec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x})\)ঘ \(2\pi\)
\(=2\left(\cos^{-1}{\frac{1}{x}}+\sin^{-1}{\frac{1}{x}}\right)\)
\(=2\left(\frac{\pi}{2}\right) \ \because \cos^{-1}{x}+\sin^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(=\pi\)
উত্তরঃ ( গ )
২০। \(f(x)=cosec{(\cot^{-1}{x})}\) একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হলে \(f(2)\) এর মাণ কত?
\(f(x)=cosec{(\cot^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow f(2)=cosec{(\cot^{-1}{2})}\)
\(=cosec{\left(cosec^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{1}}\right)}\)
\(=cosec{\left(cosec^{-1}{\sqrt{5}}\right)}\)
\(=\sqrt{5}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\sqrt{5}\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
\(f(x)=cosec{(\cot^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow f(2)=cosec{(\cot^{-1}{2})}\)
\(=cosec{\left(cosec^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{1}}\right)}\)
\(=cosec{\left(cosec^{-1}{\sqrt{5}}\right)}\)
\(=\sqrt{5}\)
উত্তরঃ ( ক )
২১। \(\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) হলে-
\(i.\) \(\theta\) এর মূখ্যমাণ \(\frac{\pi}{4}\)
\(ii.\) \(\theta=\{4n+(-1)^{n}\}\frac{\pi}{4}\forall{n\in{Z}}\)
\(iii.\) \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\) যখন \(n\in{Z}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore \theta\) এর মূখ্যমাণ \(\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{4}, \ \forall{n\in{Z}}\)
\(\Rightarrow \theta=\{4n+(-1)^{n}\}\frac{\pi}{4}, \ \forall{n\in{Z}}\)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য।
এবং \( (iii)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(\theta\) এর মূখ্যমাণ \(\frac{\pi}{4}\)
\(ii.\) \(\theta=\{4n+(-1)^{n}\}\frac{\pi}{4}\forall{n\in{Z}}\)
\(iii.\) \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\) যখন \(n\in{Z}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) হলে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore \theta\) এর মূখ্যমাণ \(\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore (i)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{4}, \ \forall{n\in{Z}}\)
\(\Rightarrow \theta=\{4n+(-1)^{n}\}\frac{\pi}{4}, \ \forall{n\in{Z}}\)
\(\therefore (ii)\) নং বাক্যটি সত্য।
এবং \( (iii)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
২২। \(2N\) এবং \(3N\) মানের দুইটি বল পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে। এদের লব্ধি কোন দিকে ক্রিয়া করবে?
এদের লব্ধি, বৃহত্তর বল তথা \(3N\) বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর ক্রিয়া করবে।
উত্তরঃ ( খ )
ক \(3N\) বলের ক্রিয়ারেখার সাথে লম্ব বরাবর
গ \(2N\) বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর
গ \(2N\) বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর
খ \(3N\) বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর
ঘ \(2N\) বলের ক্রিয়ারেখার সাথে লম্ব বরাবর
\(2N\) এবং \(3N\) মানের দুইটি বল পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে। ঘ \(2N\) বলের ক্রিয়ারেখার সাথে লম্ব বরাবর
এদের লব্ধি, বৃহত্তর বল তথা \(3N\) বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর ক্রিয়া করবে।
উত্তরঃ ( খ )
২৩। একটি বস্তু ভূমি থেকে \(\alpha\) কোণে নিক্ষেপ করা হলো। আনুভূমিক পাল্লা সর্বাধিক পেতে \(\alpha\) এর মাণ কত?
\(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
আনুভূমিক পাল্লা \(R\) সর্বাধিক হবে যদি \(\sin{2\alpha}=1\) হয়।
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \alpha=\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(0\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
খ \(\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
একটি বস্তু ভূমি থেকে \(\alpha\) কোণে নিক্ষেপ করা হলো। প্রক্ষেপ বেগ \(u\) হলে, আনুভূমিক পাল্লা ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
\(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
আনুভূমিক পাল্লা \(R\) সর্বাধিক হবে যদি \(\sin{2\alpha}=1\) হয়।
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \alpha=\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
২৪। একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে \(4\) পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?
মোট অনুকূল বিন্দু \(6\)
তার মধ্যে \(4\) আছে \(1\) বার
\(4\) পাওয়ার সম্ভাব্যতা \(=\frac{1}{6}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{1}{6}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(\frac{1}{3}\)
ঘ \(\frac{2}{3}\)
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে ঘ \(\frac{2}{3}\)
মোট অনুকূল বিন্দু \(6\)
তার মধ্যে \(4\) আছে \(1\) বার
\(4\) পাওয়ার সম্ভাব্যতা \(=\frac{1}{6}\)
উত্তরঃ ( ক )
২৫। \(A\) ও \(B\) যে কোনো দুইটি ঘটনা যেখানে \(P(A\cap{B})=0\). নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore\) ঘটনা দুইটি পরস্পর বর্জনশীল
উত্তরঃ ( খ )
ক ঘটনা দুইটি পরস্পর স্বাধীন
গ ঘটনা দুইটি পরস্পর অধীন
গ ঘটনা দুইটি পরস্পর অধীন
খ ঘটনা দুইটি পরস্পর বর্জনশীল
ঘ ঘটনা দুইটি পরস্পর অবর্জনশীল
\(A\) ও \(B\) যে কোনো দুইটি ঘটনা যেখানে \(P(A\cap{B})=0\)ঘ ঘটনা দুইটি পরস্পর অবর্জনশীল
\(\therefore\) ঘটনা দুইটি পরস্পর বর্জনশীল
উত্তরঃ ( খ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005