শিক্ষা বোর্ড দিনাজপুর - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \((2, 0)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-4x+8=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি?
\(=\sqrt{2^2+0^2-4\times2+8}\)
\(=\sqrt{4-8+8}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(4\)
গ \(2\sqrt{5}\)
গ \(2\sqrt{5}\)
খ \(2\sqrt{2}\)
ঘ \(2\)
\((2, 0)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-4x+8=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত
স্পর্শকের দৈর্ঘ্যঘ \(2\)
\(=\sqrt{2^2+0^2-4\times2+8}\)
\(=\sqrt{4-8+8}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২। \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(2, 0), \ B(5, 0)\) এবং \(C(5,
4)\) হলে, ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র কোনটি?
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(2, 0), \ B(5, 0)\) এবং \(C(5, 4)\) হলে, ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র
\(\left(\frac{2+5+5}{3}, \frac{0+0+4}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{12}{3}, \frac{4}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(4, \frac{4}{3}\right)\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\left(4, \frac{4}{3}\right)\)
গ \((6, 2)\)
গ \((6, 2)\)
খ \(\left(\frac{4}{3}, 4\right)\)
ঘ \((2, 6)\)
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(x_{1}, y_{1}), \ B(x_{2}, y_{2})\)
এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) হলে, ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র ঘ \((2, 6)\)
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(2, 0), \ B(5, 0)\) এবং \(C(5, 4)\) হলে, ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র
\(\left(\frac{2+5+5}{3}, \frac{0+0+4}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{12}{3}, \frac{4}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(4, \frac{4}{3}\right)\)
উত্তরঃ ( ক )
৩। \(x-2y-5=0\) এবং \(2x+4y-1=0\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।
\(i.\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(\left(\frac{11}{4}, -\frac{9}{8}\right)\)
\(ii.\) দ্বিতীয় রেখার ঢাল \(-\frac{1}{2}\)
\(iii.\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ \(0^{o}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(2x+4y-1=0 ......(2)\)
\((1)\times2+(2)\) এর সাহায্যে
\(2x-4y-10+2x+4y-1=0\)
\(\Rightarrow 4x-11=0\)
\(\Rightarrow 4x=11\)
\(\therefore x=\frac{11}{4}\)
\((1)\) হতে,
\(\frac{11}{4}-2y-5=0\)
\(\Rightarrow \frac{11-20}{4}-2y=0\)
\(\Rightarrow -\frac{9}{4}-2y=0\)
\(\Rightarrow -2y=\frac{9}{4}\)
\(\therefore y=-\frac{9}{8}\)
রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(\left(\frac{11}{4}, -\frac{9}{8}\right)\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
দ্বিতীয় রেখা \(2x+4y-1=0\) এর ঢাল
\(=-\frac{2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল বা সমপতিত কোনোটি নয়।
তাই রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(0^{o}\) হতে পারে না।
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(\left(\frac{11}{4}, -\frac{9}{8}\right)\)
\(ii.\) দ্বিতীয় রেখার ঢাল \(-\frac{1}{2}\)
\(iii.\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ \(0^{o}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x-2y-5=0 .....(1)\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(2x+4y-1=0 ......(2)\)
\((1)\times2+(2)\) এর সাহায্যে
\(2x-4y-10+2x+4y-1=0\)
\(\Rightarrow 4x-11=0\)
\(\Rightarrow 4x=11\)
\(\therefore x=\frac{11}{4}\)
\((1)\) হতে,
\(\frac{11}{4}-2y-5=0\)
\(\Rightarrow \frac{11-20}{4}-2y=0\)
\(\Rightarrow -\frac{9}{4}-2y=0\)
\(\Rightarrow -2y=\frac{9}{4}\)
\(\therefore y=-\frac{9}{8}\)
রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(\left(\frac{11}{4}, -\frac{9}{8}\right)\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
দ্বিতীয় রেখা \(2x+4y-1=0\) এর ঢাল
\(=-\frac{2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল বা সমপতিত কোনোটি নয়।
তাই রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(0^{o}\) হতে পারে না।
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের
উত্তর দাওঃ
\(x^2+y^2+6x-2y-10=0\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
৪। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত? \(x^2+y^2+6x-2y-10=0\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক \(5\sqrt{2}\)
গ \(2\sqrt{5}\)
গ \(2\sqrt{5}\)
খ \(\sqrt{30}\)
ঘ \(\sqrt{10}\)
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ব্যাসার্ধঘ \(\sqrt{10}\)
\(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(x^2+y^2+6x-2y-10=0\) বৃত্তের ক্ষেত্রে।
\(2g=6, \ 2f=-2, \ c=-10\)
\(\therefore g=3, \ f=-1, \ c=-10\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{3^2+(-1)^2-(-10)}\)
\(=\sqrt{9+1+10}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=2\sqrt{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
৫। বৃত্তের উপর \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?
স্পর্শকের সমীকরণ \(xx_{1}+yy_{1}+g(x+x_{1})+f(y+y_{1})+c=0\)
\(x^2+y^2+6x-2y-10=0\) বৃত্তের ক্ষেত্রে।
\(2g=6, \ 2f=-2, \ c=-10\)
\(\therefore g=3, \ f=-1, \ c=-10\)
বৃত্তের উপর \((1, -1)\) বিন্দুতে
স্পর্শকের সমীকরণ \(x.1+y(-1)+3(x+1)-1(y-1)-10=0\)
\(\Rightarrow x-y+3x+3-y+1-10=0\)
\(\Rightarrow 4x-2y-6=0\)
\(\Rightarrow 2(2x-y-3)=0\)
\(\therefore 2x-y-3=0\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(2x-y-4=0\)
গ \(x-3=0\)
গ \(x-3=0\)
খ \(2x-y-3=0\)
ঘ \(x-4=0\)
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপর \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতেঘ \(x-4=0\)
স্পর্শকের সমীকরণ \(xx_{1}+yy_{1}+g(x+x_{1})+f(y+y_{1})+c=0\)
\(x^2+y^2+6x-2y-10=0\) বৃত্তের ক্ষেত্রে।
\(2g=6, \ 2f=-2, \ c=-10\)
\(\therefore g=3, \ f=-1, \ c=-10\)
বৃত্তের উপর \((1, -1)\) বিন্দুতে
স্পর্শকের সমীকরণ \(x.1+y(-1)+3(x+1)-1(y-1)-10=0\)
\(\Rightarrow x-y+3x+3-y+1-10=0\)
\(\Rightarrow 4x-2y-6=0\)
\(\Rightarrow 2(2x-y-3)=0\)
\(\therefore 2x-y-3=0\)
উত্তরঃ ( খ )
৬। \(KOMILLA\) শব্দটির অক্ষরগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
অক্ষরগুলির সাজানো সংখ্যা \(=\frac{7!}{2!}\)
\(=\frac{7.6.5.4.3.2!}{2!}\)
\(=7.6.5.4.3\)
\(=2520\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(5250\)
গ \(5220\)
গ \(5220\)
খ \(5240\)
ঘ \(5202\)
\(KOMILLA\) শব্দটিতে মোট \(7\) টি অক্ষর আছে যার মধ্যে \(2\) টি
\(L\) ঘ \(5202\)
অক্ষরগুলির সাজানো সংখ্যা \(=\frac{7!}{2!}\)
\(=\frac{7.6.5.4.3.2!}{2!}\)
\(=7.6.5.4.3\)
\(=2520\)
উত্তরঃ ( গ )
৭। 
\(OAB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
এখানে,
\(r=4\)সে.মি.
\(\theta=30^{o}=\frac{\pi}{6}\)
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times4^2\times\frac{\pi}{6}\)
\(=\frac{1}{2}\times16\times\frac{3.1415}{6}\)
\(=4\times\frac{3.1415}{3}\)
\(=4.19\)
উত্তরঃ ( গ )
\(OAB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
ক \(1.05\)
গ \(4.19\)
গ \(4.19\)
খ \(2.09\)
ঘ \(8.38\)
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\)ঘ \(8.38\)
এখানে,
\(r=4\)সে.মি.
\(\theta=30^{o}=\frac{\pi}{6}\)
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times4^2\times\frac{\pi}{6}\)
\(=\frac{1}{2}\times16\times\frac{3.1415}{6}\)
\(=4\times\frac{3.1415}{3}\)
\(=4.19\)
উত্তরঃ ( গ )
৮। \(\cos{\theta}=\frac{12}{13}\) এবং
\(0\lt{\theta}\lt{\frac{\pi}{2}}\) হলে, \(\tan{\theta}\) এর মান কত?
যেহেতু \(\cos{\theta}=\frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}\)
অতএব,
ভূমি \(=12\) অতিভুজ \(=13\)
\(\therefore\) লম্ব \(=\sqrt{13^2-12^2}\)
\(=\sqrt{169-144}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
এখন,
\(\tan{\theta}=\frac{\text{লম্ব }}{\text{ভূমি}}\)
\(=\frac{5}{12}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{25}{144}\)
গ \(\frac{13}{12}\)
গ \(\frac{13}{12}\)
খ \(\frac{5}{12}\)
ঘ \(\frac{12}{5}\)
\(\cos{\theta}=\frac{12}{13}\) এবং
\(0\lt{\theta}\lt{\frac{\pi}{2}}\)ঘ \(\frac{12}{5}\)
যেহেতু \(\cos{\theta}=\frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}\)
অতএব,
ভূমি \(=12\) অতিভুজ \(=13\)
\(\therefore\) লম্ব \(=\sqrt{13^2-12^2}\)
\(=\sqrt{169-144}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
এখন,
\(\tan{\theta}=\frac{\text{লম্ব }}{\text{ভূমি}}\)
\(=\frac{5}{12}\)
উত্তরঃ ( খ )
৯। \(y=\cos^2{x}, \ -\frac{3\pi}{2}\le{x}\le{\frac{3\pi}{2}}\) এর
লেখচিত্র কোনটি?
ফাংশনটিতে \(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(y\) এর মান ধনাত্মক।
\(\therefore\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(x\) অক্ষের উপরে অবস্থান করবে যা ঢেউ আকৃতির হবে
এবং যা কখনই মূলবিন্দুগামী হবে না।
উত্তরঃ ( খ )
ক 
গ
গ
খ
ঘ
\(y=\cos^2{x}\) ইহা স্পষ্ট যে, ঘ
ফাংশনটিতে \(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(y\) এর মান ধনাত্মক।
\(\therefore\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(x\) অক্ষের উপরে অবস্থান করবে যা ঢেউ আকৃতির হবে
এবং যা কখনই মূলবিন্দুগামী হবে না।
উত্তরঃ ( খ )
১০। \(\frac{1+\tan{26^{o}}}{1-\tan{26^{o}}}\) এর মান কত?
\(=\frac{\tan{45^{o}}+\tan{26^{o}}}{1-\tan{45^{o}}\tan{26^{o}}}\)
\(=\tan{(45^{o}+26^{o})}\)
\(=\tan{71^{o}}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\tan{71^{o}}\)
গ \(\cot{71^{o}}\)
গ \(\cot{71^{o}}\)
খ \(\tan{19^{o}}\)
ঘ \(\cot{19^{o}}\)
\(\frac{1+\tan{26^{o}}}{1-\tan{26^{o}}}\)ঘ \(\cot{19^{o}}\)
\(=\frac{\tan{45^{o}}+\tan{26^{o}}}{1-\tan{45^{o}}\tan{26^{o}}}\)
\(=\tan{(45^{o}+26^{o})}\)
\(=\tan{71^{o}}\)
উত্তরঃ ( ক )
১১। \(\tan{2\theta}-\tan{\theta}\) এর মান কোনটি?
\(=\frac{\sin{2\theta}}{\cos{2\theta}}-\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(=\frac{\sin{2\theta}\cos{\theta}-\cos{2\theta}\sin{\theta}}{\cos{2\theta}\cos{\theta}}\)
\(=\frac{\sin{(2\theta-\theta)}}{\cos{2\theta}\cos{\theta}}\)
\(=\frac{\sin{\theta}}{\cos{2\theta}\cos{\theta}}\)
\(=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}.\frac{1}{\cos{2\theta}}\)
\(=\tan{\theta}\sec{2\theta}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(cosec \ 2\theta\)
গ \(\sin{2\theta}\)
গ \(\sin{2\theta}\)
খ \(\tan{\theta}\cos{\theta}\)
ঘ \(\tan{\theta}\sec{2\theta}\)
\(\tan{2\theta}-\tan{\theta}\)ঘ \(\tan{\theta}\sec{2\theta}\)
\(=\frac{\sin{2\theta}}{\cos{2\theta}}-\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(=\frac{\sin{2\theta}\cos{\theta}-\cos{2\theta}\sin{\theta}}{\cos{2\theta}\cos{\theta}}\)
\(=\frac{\sin{(2\theta-\theta)}}{\cos{2\theta}\cos{\theta}}\)
\(=\frac{\sin{\theta}}{\cos{2\theta}\cos{\theta}}\)
\(=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}.\frac{1}{\cos{2\theta}}\)
\(=\tan{\theta}\sec{2\theta}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১২। \(y=\sin{\left(n\pi+\frac{\pi}{6}\right)}\) এর ক্ষেত্রে-
\(i.\) এটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন
\(ii.\) \(n\) জোড় হলে এর মান \(\frac{1}{2}\)
\(iii.\) \(n\) বিজোড় হলে এর মান \(-\frac{1}{2}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\therefore y=\sin{\left(n\pi+\frac{\pi}{6}\right)}\) পর্যায়বৃত্ত
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
\(n=2, 4, 6...\) হলে,
\(y=\sin{\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\)
\(y=\sin{\left(4\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\)
\(y=\sin{\left(6\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(n=1, 3, 5...\) হলে,
\(y=\sin{\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{2}\)
\(y=\sin{\left(3\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{2}\)
\(y=\sin{\left(5\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) এটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন
\(ii.\) \(n\) জোড় হলে এর মান \(\frac{1}{2}\)
\(iii.\) \(n\) বিজোড় হলে এর মান \(-\frac{1}{2}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\because \sin{x}\) একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore y=\sin{\left(n\pi+\frac{\pi}{6}\right)}\) পর্যায়বৃত্ত
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
\(n=2, 4, 6...\) হলে,
\(y=\sin{\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\)
\(y=\sin{\left(4\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\)
\(y=\sin{\left(6\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(n=1, 3, 5...\) হলে,
\(y=\sin{\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{2}\)
\(y=\sin{\left(3\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{2}\)
\(y=\sin{\left(5\pi+\frac{\pi}{6}\right)}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের তথ্যের আলোকে ১৩ ও ১৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(X, Y\subset\mathbb{R}\) এবং \(f:X\rightarrow{Y}\) যেখানে, \(f(x)=\frac{2x-3}{4x+5}\)
১৩। \(f(x)\) এর রেঞ্জ কোনটি?\(X, Y\subset\mathbb{R}\) এবং \(f:X\rightarrow{Y}\) যেখানে, \(f(x)=\frac{2x-3}{4x+5}\)
ক \(\mathbb{R}-\left\{-\frac{1}{2}\right\}\)
গ \(\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}\)
গ \(\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}\)
খ \(\mathbb{R}-\{2\}\)
ঘ \(\mathbb{R}-\left\{-\frac{5}{4}\right\}\)
দেওয়া আছে, \(f(x)=\frac{2x-3}{4x+5}\)ঘ \(\mathbb{R}-\left\{-\frac{5}{4}\right\}\)
ধরি, \(y=\frac{2x-3}{4x+5}\)
\(\Rightarrow 4xy+5y=2x-3\)
\(\Rightarrow 4xy-2x=-5y-3\)
\(\Rightarrow -2x(1-2y)=-(5y+3)\)
\(\therefore x=\frac{5y+3}{2(1-2y)}\)
\(f(x)\) এর রেঞ্জ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে,
\(1-2y\ne{0}\)
\(\Rightarrow -2y\ne{-1}\)
\(\therefore y\ne{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore f(x)\) এর রেঞ্জ \(\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৪। \[\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)\] এর মান কত?
এবং \[\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x-3}{4x+5}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x\left(2-\frac{3}{x}\right)}{x\left(4+\frac{5}{x}\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2-\frac{3}{x}}{4+\frac{5}{x}}\]
\[=\frac{2-0}{4+0}\]
\[=\frac{2}{4}\]
\[=\frac{1}{2}\]
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(-\frac{1}{2}\)
গ \(-\frac{1}{2}\)
খ \(\frac{3}{5}\)
ঘ \(-\frac{3}{5}\)
দেওয়া আছে, \(f(x)=\frac{2x-3}{4x+5}\)ঘ \(-\frac{3}{5}\)
এবং \[\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x-3}{4x+5}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x\left(2-\frac{3}{x}\right)}{x\left(4+\frac{5}{x}\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2-\frac{3}{x}}{4+\frac{5}{x}}\]
\[=\frac{2-0}{4+0}\]
\[=\frac{2}{4}\]
\[=\frac{1}{2}\]
উত্তরঃ ( ক )
১৫। \(y=\tan^{-1}\frac{6x}{1-9x^2}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান কোনটি?
\(=\tan^{-1}\frac{2\times3x}{1-(3x)^2}\)
\(=2\tan^{-1}{3x}\)
\(\therefore y=2\tan^{-1}{3x}\)
এখন, \(\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(2\tan^{-1}{3x}\right)\)
\(=2\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{3x}\right)\)
\(=2\frac{1}{1+(3x)^2}\times\frac{d}{dx}(3x)\)
\(=\frac{2}{1+9x^2}\times3\)
\(=\frac{6}{1+9x^2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{6}{1+36x^2}\)
গ \(\frac{2}{1+9x^2}\)
গ \(\frac{2}{1+9x^2}\)
খ \(\frac{6}{1+3x^2}\)
ঘ \(\frac{6}{1+9x^2}\)
দেওয়া আছে, \(y=\tan^{-1}\frac{6x}{1-9x^2}\)ঘ \(\frac{6}{1+9x^2}\)
\(=\tan^{-1}\frac{2\times3x}{1-(3x)^2}\)
\(=2\tan^{-1}{3x}\)
\(\therefore y=2\tan^{-1}{3x}\)
এখন, \(\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(2\tan^{-1}{3x}\right)\)
\(=2\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{3x}\right)\)
\(=2\frac{1}{1+(3x)^2}\times\frac{d}{dx}(3x)\)
\(=\frac{2}{1+9x^2}\times3\)
\(=\frac{6}{1+9x^2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৬। \(y=4e^{x}+e^{-x}\) এর লঘুমান কত?
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(4e^{x}+e^{-x}\right)\)
\(=4e^{x}+e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}-e^{-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4e^{x}-e^{-x}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(4e^{x}-e^{-x}\right)\)
\(=4e^{x}-e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}+e^{-x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+e^{-x}\)
লঘুমান ও গুরুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore 4e^{x}-e^{-x}=0\)
\(\Rightarrow 4e^{x}=e^{-x}\)
\(\Rightarrow 4e^{x}=\frac{1}{e^{x}}\)
\(\Rightarrow 4\left(e^{x}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow \left(e^{x}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\therefore e^{x}=\pm\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{e^{x}}=2\)
এখন, \(e^{x}=\frac{1}{2}\) এর জন্য
\(\frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{1}{e^{x}}\)
\(=4\times\frac{1}{2}+2\)
\(=2+2\)
\(=4\gt{0}\)
\(\therefore e^{x}=\frac{1}{2}\) এর জন্য ফাংশনটির লঘুমান আছে।
\(\therefore\) লঘুমান \(=4\times\frac{1}{2}+2\)
\(=2+2\)
\(=4\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-4\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(3\)
ঘ \(5\)
দেওয়া আছে,\(y=4e^{x}+e^{-x}\)ঘ \(5\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(4e^{x}+e^{-x}\right)\)
\(=4e^{x}+e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}-e^{-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4e^{x}-e^{-x}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(4e^{x}-e^{-x}\right)\)
\(=4e^{x}-e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}+e^{-x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+e^{-x}\)
লঘুমান ও গুরুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore 4e^{x}-e^{-x}=0\)
\(\Rightarrow 4e^{x}=e^{-x}\)
\(\Rightarrow 4e^{x}=\frac{1}{e^{x}}\)
\(\Rightarrow 4\left(e^{x}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow \left(e^{x}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\therefore e^{x}=\pm\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{e^{x}}=2\)
এখন, \(e^{x}=\frac{1}{2}\) এর জন্য
\(\frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{1}{e^{x}}\)
\(=4\times\frac{1}{2}+2\)
\(=2+2\)
\(=4\gt{0}\)
\(\therefore e^{x}=\frac{1}{2}\) এর জন্য ফাংশনটির লঘুমান আছে।
\(\therefore\) লঘুমান \(=4\times\frac{1}{2}+2\)
\(=2+2\)
\(=4\)
উত্তরঃ ( গ )
১৭। \(y=x^3+2x+6\) বক্ররেখার \((0, 6)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3+2x+6)\)
\(=3x^2+2+0\)
\(=3x^2+2\)
\((0, 6)\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}=3\times0^2+2\)
\(=0+2\)
\(=2\)
\((0, 6)\) বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল \(=-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\((0, 6)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\(y-6=-\frac{1}{2}(x-0)\)
\(\Rightarrow y-6=-\frac{1}{2}x\)
\(\Rightarrow 2y-12=-x\)
\(\therefore x+2y-12=0\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(2x-y+6=0\)
গ \(x-2y+12=0\)
গ \(x-2y+12=0\)
খ \(2x+y+6=0\)
ঘ \(x+2y-12=0\)
দেওয়া আছে,\(y=x^3+2x+6\)ঘ \(x+2y-12=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3+2x+6)\)
\(=3x^2+2+0\)
\(=3x^2+2\)
\((0, 6)\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}=3\times0^2+2\)
\(=0+2\)
\(=2\)
\((0, 6)\) বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল \(=-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\((0, 6)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\(y-6=-\frac{1}{2}(x-0)\)
\(\Rightarrow y-6=-\frac{1}{2}x\)
\(\Rightarrow 2y-12=-x\)
\(\therefore x+2y-12=0\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৮। \(\int{\frac{\ln{x}}{x}}dx\) এর মান কোনটি?
\(=\int{\ln{x}\frac{1}{x}}dx\)
\(=\int{t}dt\) ধরি, \(t=\ln{x} \Rightarrow dt=\frac{1}{x}dt\)
\(=\frac{t^2}{2}+c\)
\(=\frac{1}{2}t^2+c\)
\(=\frac{1}{2}(\ln{x})^2+c\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(2(\ln{x})^2+c\)
গ \(\ln{x}+c\)
গ \(\ln{x}+c\)
খ \(\frac{1}{2}(\ln{x})^2+c\)
ঘ \(2\ln{x}+c\)
\(\int{\frac{\ln{x}}{x}}dx\)ঘ \(2\ln{x}+c\)
\(=\int{\ln{x}\frac{1}{x}}dx\)
\(=\int{t}dt\) ধরি, \(t=\ln{x} \Rightarrow dt=\frac{1}{x}dt\)
\(=\frac{t^2}{2}+c\)
\(=\frac{1}{2}t^2+c\)
\(=\frac{1}{2}(\ln{x})^2+c\)
উত্তরঃ ( খ )
১৯। \(\int_{1}^{\sqrt{e}}{x\ln{x}}dx=\) কত?
\(=\left[\ln{x}\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{\sqrt{e}}-\int_{1}^{\sqrt{e}}{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{x})\int{x}dx\right\}}dx\)
\(=\left[\frac{1}{2}x^2\ln{x}\right]_{1}^{\sqrt{e}}-\int_{1}^{\sqrt{e}}{\left\{\frac{1}{x}\times\frac{x^2}{2}\right\}}dx\)
\(=\frac{1}{2}[(\sqrt{e})^2\ln{\sqrt{e}}-1^2\ln{1}]-\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{e}}{x}dx\)
\(=\frac{1}{2}[e\ln{e^{\frac{1}{2}}}-1\times0]-\frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{\sqrt{e}}\)
\(=\frac{1}{2}e\times\frac{1}{2}-\frac{1}{4}[x^2]_{1}^{\sqrt{e}}\)
\(=\frac{1}{4}e-\frac{1}{4}[(\sqrt{e})^2-1^2]\)
\(=\frac{1}{4}e-\frac{1}{4}[e-1]\)
\(=\frac{1}{4}e-\frac{1}{4}e+\frac{1}{4}\)
\(=\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-\frac{1}{4}\)
গ \(\frac{e}{2}+\frac{1}{4}\)
গ \(\frac{e}{2}+\frac{1}{4}\)
খ \(\frac{e}{2}-\frac{1}{4}\)
ঘ \(\frac{1}{4}\)
\(\int_{1}^{\sqrt{e}}{x\ln{x}}dx\)ঘ \(\frac{1}{4}\)
\(=\left[\ln{x}\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{\sqrt{e}}-\int_{1}^{\sqrt{e}}{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{x})\int{x}dx\right\}}dx\)
\(=\left[\frac{1}{2}x^2\ln{x}\right]_{1}^{\sqrt{e}}-\int_{1}^{\sqrt{e}}{\left\{\frac{1}{x}\times\frac{x^2}{2}\right\}}dx\)
\(=\frac{1}{2}[(\sqrt{e})^2\ln{\sqrt{e}}-1^2\ln{1}]-\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{e}}{x}dx\)
\(=\frac{1}{2}[e\ln{e^{\frac{1}{2}}}-1\times0]-\frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{\sqrt{e}}\)
\(=\frac{1}{2}e\times\frac{1}{2}-\frac{1}{4}[x^2]_{1}^{\sqrt{e}}\)
\(=\frac{1}{4}e-\frac{1}{4}[(\sqrt{e})^2-1^2]\)
\(=\frac{1}{4}e-\frac{1}{4}[e-1]\)
\(=\frac{1}{4}e-\frac{1}{4}e+\frac{1}{4}\)
\(=\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২০। 
ছায়াকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত?
\(=\int_{2}^{5}{x^2dx}; \ \because y=x^2\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{2}^{5}\)
\(=\frac{1}{3}[x^3]_{2}^{5}\)
\(=\frac{1}{3}[5^3-2^3]\)
\(=\frac{1}{3}[125-8]\)
\(=\frac{1}{3}\times117\)
\(=39\)
উত্তরঃ ( গ )
ছায়াকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত?
ক \(93\)
গ \(39\)
গ \(39\)
খ \(46\)
ঘ \(33\)
ক্ষেত্রফল \(=\int_{2}^{5}{ydx}\)ঘ \(33\)
\(=\int_{2}^{5}{x^2dx}; \ \because y=x^2\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{2}^{5}\)
\(=\frac{1}{3}[x^3]_{2}^{5}\)
\(=\frac{1}{3}[5^3-2^3]\)
\(=\frac{1}{3}[125-8]\)
\(=\frac{1}{3}\times117\)
\(=39\)
উত্তরঃ ( গ )
২১। \(k\) এর মান কত হলে \(\left[\begin{array}{c}3 & 6 \\5 & k\end{array}\right]\) ম্যাটিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে?
যদি এবং কেবল যদি \(\left|\begin{array}{c}3 & 6 \\5 & k\end{array}\right|=0\) হয়।
\(\Rightarrow 3k-30=0\)
\(\Rightarrow 3k=30\)
\(\therefore k=10\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-10\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(0\)
ঘ \(10\)
\(\left[\begin{array}{c}3 & 6 \\5 & k\end{array}\right]\) ম্যাটিক্সটি ব্যতিক্রমী হবেঘ \(10\)
যদি এবং কেবল যদি \(\left|\begin{array}{c}3 & 6 \\5 & k\end{array}\right|=0\) হয়।
\(\Rightarrow 3k-30=0\)
\(\Rightarrow 3k=30\)
\(\therefore k=10\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২২। \(2\left|\begin{array}{c}2 & 5 & x \\3 & 6 & y \\4 & 7 & z \end{array}\right|\) নির্ণায়কের সমান কোনটি?
\(=\left|\begin{array}{c}2 & 5\times2 & x \\3 & 6\times2 & y \\4 & 7\times2 & z \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c}2 & 10 & x \\3 & 12 & y \\4 & 14 & z \end{array}\right|\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\left|\begin{array}{c}4 & 10 & x \\6 & 12 & y \\8 & 14 & z \end{array}\right|\)
গ \(\left|\begin{array}{c}4 & 7 & x+2 \\6 & 8 & y+2 \\8 & 9 & z+2 \end{array}\right|\)
গ \(\left|\begin{array}{c}4 & 7 & x+2 \\6 & 8 & y+2 \\8 & 9 & z+2 \end{array}\right|\)
খ \(\left|\begin{array}{c}4 & 10 & 2x \\6 & 12 & 2y \\8 & 14 & 2z \end{array}\right|\)
ঘ \(\left|\begin{array}{c}2 & 10 & x \\3 & 12 & y \\4 & 14 & z \end{array}\right|\)
\(2\left|\begin{array}{c}2 & 5 & x \\3 & 6 & y \\4 & 7 & z \end{array}\right|\)ঘ \(\left|\begin{array}{c}2 & 10 & x \\3 & 12 & y \\4 & 14 & z \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c}2 & 5\times2 & x \\3 & 6\times2 & y \\4 & 7\times2 & z \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c}2 & 10 & x \\3 & 12 & y \\4 & 14 & z \end{array}\right|\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২৩। \(\left|\begin{array}{c}2 & -4 & \ \ \ 6 \\3 & \ \ \ x & -5 \\5 & -10 & \ \ \ 9 \end{array}\right|=0\) হলে, \(x\)-এর মাণ কোনটি?
\(\left|\begin{array}{c}2 & -4 & \ \ \ 6 \\3 & \ \ \ x & -5 \\5 & -10 & \ \ \ 9 \end{array}\right|=0\)
\(x=-6\) হলে, প্রথম ও দ্বিতীয় কলাম সমান হয়
সে ক্ষেত্রে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
\(\therefore x=-6\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-4\)
গ \(5\)
গ \(5\)
খ \(-6\)
ঘ \(6\)
দেওয়া আছে,ঘ \(6\)
\(\left|\begin{array}{c}2 & -4 & \ \ \ 6 \\3 & \ \ \ x & -5 \\5 & -10 & \ \ \ 9 \end{array}\right|=0\)
\(x=-6\) হলে, প্রথম ও দ্বিতীয় কলাম সমান হয়
সে ক্ষেত্রে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
\(\therefore x=-6\)
উত্তরঃ ( খ )
নিচের তথ্যের আলোকে ২৪ ও ২৫ নং প্রশ্নের
উত্তর দাওঃ
\(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর।
২৪। \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর কোনটি?\(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর।
ক \(\frac{1}{\sqrt{41}}(6\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{29}}(2\hat{i}-3\hat{j}-4\hat{k})\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{29}}(2\hat{i}-3\hat{j}-4\hat{k})\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{69}}(-2\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k})\)
ঘ \(\frac{1}{\sqrt{417}}(5\hat{i}+14\hat{j}+14\hat{k})\)
দেওয়া আছে,ঘ \(\frac{1}{\sqrt{417}}(5\hat{i}+14\hat{j}+14\hat{k})\)
\(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overline{a}+\overline{b}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}+4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\)
\(\therefore \overline{a}+\overline{b}=6\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
এখন,
লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{|\overline{a}+\overline{b}|}\)
\(=\frac{6\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{|6\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}|}\)
\(=\frac{6\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{6^2+(-2)^2+1^2}}\)
\(=\frac{6\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{36+4+1}}\)
\(=\frac{6\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{41}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{41}}(6\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})\)
উত্তরঃ ( ক )
২৫। \(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ কোনটি?
\(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overline{a}.\overline{b}=(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}).(4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\)
\(=8-3-12\)
\(=8-15\)
\(=-7\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=-7\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ \(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{|\overline{b}|^2}\overline{b}\)
\(=\frac{-7}{|4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}|^2}(4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\)
\(=-\frac{7}{\left(\sqrt{4^2+1^2+(-3)^2}\right)^2}(4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\)
\(=-\frac{7}{(16+1+9)}(4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\)
\(=-\frac{7}{26}(4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-\frac{7}{26}(4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\)
গ \(-\frac{7}{\sqrt{29}}(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})\)
গ \(-\frac{7}{\sqrt{29}}(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})\)
খ \(\frac{7}{\sqrt{26}}(-4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})\)
ঘ \(\frac{7}{29}(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})\)
দেওয়া আছে,ঘ \(\frac{7}{29}(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})\)
\(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overline{a}.\overline{b}=(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}).(4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\)
\(=8-3-12\)
\(=8-15\)
\(=-7\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=-7\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ \(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{|\overline{b}|^2}\overline{b}\)
\(=\frac{-7}{|4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}|^2}(4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\)
\(=-\frac{7}{\left(\sqrt{4^2+1^2+(-3)^2}\right)^2}(4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\)
\(=-\frac{7}{(16+1+9)}(4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\)
\(=-\frac{7}{26}(4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})\)
উত্তরঃ ( ক )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005